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1、一、复习引入一、复习引入 如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 f/（x）0 ,右侧右侧f/(x)0 ,那那么么,f(x0)是极大值是极大值; 如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 f/(x)0 ,那那么么,f(x0) 是极小值是极小值.2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充而不是充 分条件分条件.极值只能在函数的极值只能在函数的导数为零且在其附近左右导数为零且在其附近左右两侧的导数异号两侧的导数异号时取到时取到.3.在某些问题中在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上往往关心的是函数在一个定义区间上, 哪个值最大哪个值最大,哪个值最小哪个
2、值最小,而不是极值而不是极值.1.当函数当函数f(x)在在x0处连续时处连续时,判别判别f(x0)是极大是极大(小小)值的值的方法是方法是:洪泽外国语中学洪泽外国语中学 程怀宏程怀宏二、新课二、新课最大值与最小值最大值与最小值x xX X2 2o oa aX X3 3b bx x1 1y y 观察右边一个定义观察右边一个定义在区间在区间a,b上的函数上的函数y=f(x)的图象，你能的图象，你能找出函数找出函数y=f（x）在）在区间区间a，b上的最大上的最大值、最小值吗？值、最小值吗？发现图中发现图中_是极小值，是极小值，_是极大是极大值，在区间上的函数的最大值是值，在区间上的函数的最大值是_，
3、最小值是，最小值是_。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3) 问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出样才能判断出f(x3)是最小值，而是最小值，而f(b)是最大值呢？是最大值呢？ 一、是利用函数性质一、是利用函数性质二、是利用不等式二、是利用不等式三、今天学习三、今天学习利用导数利用导数 求函数最值的一般方法：求函数最值的一般方法： (2)将将y=f(x)的的各各极极值值与与f(a)、f(b)比比较较，其其中中最大的一个为最大值，最小的一个最小值最大的一个为最大值，最小的一个最小值 f(x)在在闭区间闭区间a,b上的最值：上
4、的最值：(1)求求f(x)在区间在区间(a,b)内极值内极值(极大值或极小值极大值或极小值)表格法表格法(如果在区间a,b上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值)例例1、求函数求函数f(x)=x2-4x+3在区间在区间-1，4内内 的最大值和最小值的最大值和最小值 法法一一 、 将将二二次次函函数数f(x)=x2-4x+3配配方方，利利用用二次函数单调性处理二次函数单调性处理例例1 求函数求函数f(x)=x2-4x+3在区间在区间-1，4内的最值。内的最值。 故故函函数数f(x) 在在区区间间-1，4内内的的最最大大值值为为8，最小值为，最小值为-1. 解法二
5、、解法二、 f (x)=2x-4令令f (x)=0，即，即2x-4=0，得得x=2x-1（-1，2）2（2，4）4y，0y-+83-1 一般地，求函数一般地，求函数y=f(x)在在a,b上的最大值与最小上的最大值与最小值的值的步骤步骤如下：如下：:求求y=f(x)在在(a，b)内的极值内的极值(极大值与极小值极大值与极小值); :将函数将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b) 比较比较,其中最大的一个为最大值其中最大的一个为最大值,最小的一个为最最小的一个为最小值小值. 求函数的最值时求函数的最值时,应注意以下几点应注意以下几点:(1)函数的函数的极
6、值是极值是在局部范围内讨论问题在局部范围内讨论问题,是一个是一个局部概局部概 念念,而函数的而函数的最值最值是对整个定义域而言是对整个定义域而言,是在整体范是在整体范围围 内讨论问题内讨论问题,是一个是一个整体性的概念整体性的概念.(2)闭区间闭区间a,b上的连续函数一定有最值上的连续函数一定有最值.开区间开区间(a,b)内内 的可导函数不一定有最值的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值但若有唯一的极值,则此则此极极 值必是函数的最值值必是函数的最值. (3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个一个,而函数的极值则可能不止一个而函数的极值则可能
7、不止一个,也可能没有极也可能没有极值值,并且极大值并且极大值(极小值极小值)不一定就是最大值不一定就是最大值(最小值最小值),但除端点外在区间内部的最大值但除端点外在区间内部的最大值(或最小值或最小值),则则一定是极大值一定是极大值(或极小值或极小值). (4)如果函数不在闭区间如果函数不在闭区间a,b上可导上可导,则在确定函则在确定函数的最值时数的最值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值处的值. (5)在解决实际应用问题中在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只如果函数
8、在区间内只有一个极值点有一个极值点(这样的函数称为单峰函数这样的函数称为单峰函数),那么要那么要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可根据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必不必再与端点的函数值进行比较再与端点的函数值进行比较.练习练习P77 1、2解解:当当x变化时变化时, 的变化情况如下表的变化情况如下表:从上表可知从上表可知,最大值是最大值是,最小值是最小值是0.令令 ,解得解得x 0f(x) +-+000练习练习1:求函数求函数f(x)=2x3+3x2-12x+14在区间在区间-3,4上的上的最最 大值和最小值大值和最小值.答案答案:最大值为最大值为f(4)=142,最小值为最小值
9、为f(1)=7.延伸延伸1:设设 ,函数函数 的最的最 大值为大值为1,最小值为最小值为 ,求常数求常数a,b. 解解:令令 得得x=0或或a.当当x变化时变化时, ,f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表:x-1(-1,0)0 (0,a) a(a,1) 1f(x) + 0 - 0 +f(x)-1-3a/2+b b -a3/2+b 1-3a/2+b由表知由表知,当当x=0时时,f(x)取得极大值取得极大值b,而而f(0)f(a),f(0)f(-1),f(1)f(-1).故需比较故需比较f(1)与与f(0)的大小的大小.f(0)-f(1)=3a/2-10,所以所以f(x)的最大值为的最大值为f
10、(0)=b,故故b=1.又又f(-1)-f(a)=(a+1)2(a-2)/21,0x1,求函数求函数f(x)=xp+(1-x)p的值域的值域.说明说明:由于由于f(x)在在0,1上连续可导上连续可导,必有最大值与最小必有最大值与最小值值, 因此求函数因此求函数f(x)的值域的值域,可转化为求最值可转化为求最值.解解:令令 ,则得则得xp-1=(1-x)p-1,即即x=1-x,x=1/2.而而 f(0)=f(1)=1,因为因为p1,故故11/2p-1.所以所以f(x)的最小值为的最小值为 ,最大值为最大值为1.从而函数从而函数f(x)的值域为的值域为练习练习2:求函数求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p是正数是正数)在在0,1上的上的最最 大值大值.解解:令令 ,解得解得在在0,1上上,有有f(0)=0,f(1)=0,故所求最大值是故所求最大值是练习练习1:求函数求函数f(x)=2x3+3x2-12x+14在区间在区间-3,4上的上的最最 大值和最小值大值和最小值.答案答案:最大值为最大值为f(4)=142,最小值为最小值为f(1)=7.思考、思考、已知函数已知函数f(x)=x2-2(m-1)x+4在区间在区间1,5内的最小值为内的最小值为2，求，求m的值的值
