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1、 1.3 1.3 逆逆逆逆 矩矩矩矩 阵阵阵阵一、逆矩阵的一、逆矩阵的定义定义二、用行初等变换求逆矩阵二、用行初等变换求逆矩阵二二、逆矩阵的运算性质逆矩阵的运算性质1则矩阵则矩阵 称为称为 的的逆矩阵逆矩阵或或逆阵逆阵.在数的乘法运算中在数的乘法运算中，当数当数 时时，有有其中其中 为为 的的倒数倒数 （或称（或称 的的逆逆）. 在矩阵的在矩阵的乘法乘法运算中，运算中，单位阵单位阵 I 相当于数相当于数1的作用的作用对于矩阵对于矩阵A ， 是否有一个类似于是否有一个类似于使得使得一、逆矩阵的定义一、逆矩阵的定义1.1.1.1.概念的引入概念的引入概念的引入概念的引入22.2.2.2.定义定义定
2、义定义由定义由定义 可知，若可知，若 B 是是 A 的逆矩阵，则的逆矩阵，则 A 也是也是 B 逆矩阵，即逆矩阵，即 A与与 B 是是互逆互逆互逆互逆的的.3例例 设设且且4例例 设设解解设设 是是 的逆矩阵的逆矩阵,则则利用待定系数法利用待定系数法逆逆矩阵的求法一：待定系数法矩阵的求法一：待定系数法5验证验证: :所以所以此法对于高阶不适合此法对于高阶不适合.6单位阵单位阵：对角阵：对角阵： 不存在不存在k=0时，时，零矩阵：零矩阵： 数量矩阵：数量矩阵：7若若A是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则A的逆矩阵是的逆矩阵是唯一唯一的的.证明证明3.3.3.3.唯一性唯一性唯一性唯一性若设若设 和和 是
3、是 的逆矩阵的逆矩阵，则有则有可得可得所以所以 的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的,即即8推论推论意义意义(此推论将在此推论将在2.2中证明中证明)9二二、逆矩阵的运算性质逆矩阵的运算性质 10证明证明11证明证明12注意注意但但不可逆不可逆13注意注意可逆可逆14例例证明证明1516 (2)若若A+I 可逆可逆. 17解解18问题问题问题问题 初等矩阵可逆吗初等矩阵可逆吗？其逆阵呢其逆阵呢？初等矩阵是可逆的初等矩阵是可逆的,且其逆矩阵仍为初等矩阵且其逆矩阵仍为初等矩阵19定理定理 设设A为为n阶矩阵，则下列各命题等价阶矩阵，则下列各命题等价： 1. A是可逆的是可逆的； 2. AX = 0只有
4、零解只有零解； 3. A与与I 行等价行等价； 4. A可表为有限个初等矩阵的乘积可表为有限个初等矩阵的乘积.“12”:证证设设X是是AX = 0的的解解, 则则所以所以 AX = 0只只有零解有零解.“12”; “23”; “34”; “41”.证明过程证明过程20定理定理 设设A为为n阶矩阵，则下列各命题等价阶矩阵，则下列各命题等价： 1. A是可逆的是可逆的； 2. AX = 0只有零解只有零解； 3. A与与I 行等价行等价； 4. A可表为有限个初等矩阵的乘积可表为有限个初等矩阵的乘积.“23”:证证等于未知量个数等于未知量个数n,21由由条件，条件，A可可经行初等变换得经行初等变换
5、得I.“34”:定理定理 设设A为为n阶矩阵，则下列各命题等价阶矩阵，则下列各命题等价： 1. A是可逆的是可逆的； 2. AX = 0只有零解只有零解； 3. A与与I 行等价行等价； 4. A可表为有限个初等矩阵的乘积可表为有限个初等矩阵的乘积.22显然显然（ ？）“41”:由于初等矩阵可逆由于初等矩阵可逆, 它们的乘积也可逆它们的乘积也可逆.定理定理 设设A为为n阶矩阵，则下列各命题等价阶矩阵，则下列各命题等价： 1. A是可逆的是可逆的； 2. AX = 0只有零解只有零解； 3. A与与I 行等价行等价； 4. A可表为有限个初等矩阵的乘积可表为有限个初等矩阵的乘积.23定理定理 设
6、设A为为n阶矩阵，则下列各命题等价阶矩阵，则下列各命题等价： 1. A是可逆的是可逆的； 2. AX = 0只有零解只有零解； 3. A与与I 行等价行等价； 4. A可表为有限个初等矩阵的乘积可表为有限个初等矩阵的乘积.推论推论 设设A为为n阶矩阵，则下列各命题等价阶矩阵，则下列各命题等价： 1. A是不可逆的是不可逆的； 2. AX = 0有非零解有非零解； 3. A不不与与I 行等价行等价； 4. A不可表为有限个初等矩阵的乘积不可表为有限个初等矩阵的乘积.24推论推论 设设A为为n阶矩阵，则阶矩阵，则AX = b有唯一解的有唯一解的充要充要条件条件 是是A可逆可逆.证证 充分性充分性
7、必要性必要性 设设A不可逆不可逆, 令令Y=C+Z, (反证法反证法)与与AX = b有唯一解有唯一解矛盾矛盾. AX = O有非零解有非零解Z,则则Y为为AX = b的解，的解，若若A可逆可逆, 若若AX =b有有唯一解唯一解C,25类似的类似的若若A可逆可逆, 26三、三、 用行初等变换求逆矩阵用行初等变换求逆矩阵设设A可逆可逆， 所以存在初等矩阵所以存在初等矩阵E1, , Ek, 使得使得27 解解例例2829求求A的逆矩阵的逆矩阵解解A不可逆不可逆.302.在求矩阵的逆时，若作行初等变换时在求矩阵的逆时，若作行初等变换时, 出现出现全全行为行为0，则可知则可知矩阵不可逆矩阵不可逆!1.
8、用初等用初等行行变换求逆时变换求逆时, 必须坚持始终必须坚持始终, 不能不能夹杂任何夹杂任何列列变换变换.注意注意31求解矩阵方程求解矩阵方程 AX=A+X,其中其中解解 ( A- -I ) X = A把所给方程变形为把所给方程变形为323334 例例 设设 求求 解解 易求易求 35361. 逆矩阵的概念、唯一性逆矩阵的概念、唯一性.小小 结结2. 逆矩阵的运算性质逆矩阵的运算性质.37(2)利用利用行行初等变换求逆矩阵初等变换求逆矩阵4. 逆矩阵的计算方法逆矩阵的计算方法3. 设设A为为n阶矩阵，则下列各命题阶矩阵，则下列各命题等价等价： (1) A是可逆的是可逆的； (2) AX = O只有零解只有零解； (3) A与与I 行等价行等价； (4) A可表为有限个初等矩阵的乘积可表为有限个初等矩阵的乘积.5. 利用逆矩阵求解矩阵方程利用逆矩阵求解矩阵方程.38作业作业 P39 3 ，5 (2) ，74 (1) (3) ，8 (3) ，9 ，13 39
