《人教A版选修21242第2课时抛物线方程及性质的应用课件52张》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教A版选修21242第2课时抛物线方程及性质的应用课件52张（52页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2课时抛物线方程及性质的应用类型类型 一一 直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系 【典型例题典型例题】1.1.过点点(0,-1)(0,-1)的直的直线与抛物与抛物线x x2 2=-2y=-2y公共点的个数公共点的个数为( () )A.0A.0 B.1B.1 C.2C.2 D.1D.1或或2 22.2.已知直已知直线y=(a+1)x-1y=(a+1)x-1与曲与曲线y y2 2=ax=ax恰有一个公共点恰有一个公共点, ,求求实数数a a的的值. .【解题探究解题探究】1.1.过定点的直线与抛物线有几个公共点过定点的直线与抛物线有几个公共点, ,关键条关键条件是什么件是什么? ?2.2
2、.曲线曲线y y2 2=ax=ax在什么情况下表示抛物线在什么情况下表示抛物线? ?探究提示探究提示: :1.1.过定点的直线与抛物线有几个公共点过定点的直线与抛物线有几个公共点, ,其关键要看定点与抛其关键要看定点与抛物线的位置关系物线的位置关系. .2.2.曲线曲线y y2 2=ax=ax中中, ,当当a=0a=0时表示时表示x x轴轴, ,当当a0a0时时, ,表示焦点在表示焦点在x x轴上轴上的抛物线的抛物线. .【解析解析】1.1.选选D.D.因为点因为点(0,-1)(0,-1)在抛物线内部在抛物线内部, ,故过该点的直线故过该点的直线斜率不存在时斜率不存在时, ,与抛物线有一个公共
3、点与抛物线有一个公共点, ,是相交的是相交的; ;斜率存在时斜率存在时, ,有两个公共点有两个公共点, ,因此公共点的个数是因此公共点的个数是1 1个或个或2 2个个. .2.2.联立方程组联立方程组(1)(1)当当a=0a=0时时, ,此方程组恰有一组解此方程组恰有一组解(2)(2)当当a0a0时时, ,消去消去x x得得 y y2 2-y-1=0.-y-1=0.若若 即即a=-1a=-1时时, ,方程变为一元一次方程方程变为一元一次方程-y-1=0,-y-1=0,方程组恰有一组解方程组恰有一组解若若 0,0,即即a-1,a-1,令令=0,=0,得得1+ =0,1+ =0,可解得可解得a=-
4、 ,a=- ,这时直线与曲线相切这时直线与曲线相切, ,只有一个公共点只有一个公共点. .综上所述综上所述, ,当当a=0,-1,- a=0,-1,- 时时, ,直线直线y=(a+1)x-1y=(a+1)x-1与曲线与曲线y y2 2=ax=ax恰恰有一个公共点有一个公共点. .【互互动探究探究】题2 2中中, ,若直若直线与曲与曲线有两个不同的公共点有两个不同的公共点, ,求求a a的取的取值范范围. .【解析解析】由题意可知显然由题意可知显然a0.a0.由由 得得 y y2 2-y-1=0.-y-1=0.因为直线与曲线有两个不同的公共点因为直线与曲线有两个不同的公共点. .所以所以=1+4
5、=1+4 0 0且且a+10.a+10.即即 00且且a-1,a-1,解得解得a0a0或或a- a0),=2px(p0),将直线将直线方程与抛物线方程联立整理成关于方程与抛物线方程联立整理成关于x(x(或或y)y)的一元二次方程形的一元二次方程形式式:Ax:Ax2 2+Bx+C=0(+Bx+C=0(或或AyAy2 2+By+C=0).+By+C=0).相交相交:有两个交点有两个交点: :有一个交点有一个交点:A=0(:A=0(直线与抛物线的对称轴平行直线与抛物线的对称轴平行, ,即相交即相交););相切相切: :有一个公共点有一个公共点, ,即即相离相离: :没有公共点没有公共点, ,即即类型
6、类型 二二 与弦长有关的问题与弦长有关的问题 【典型例题典型例题】1.1.斜率斜率为1 1的直的直线经过抛物抛物线y y2 2=4x=4x的焦点的焦点, ,与抛物与抛物线交于交于A,BA,B两两点点, ,则线段段ABAB的的长为. .2.(20132.(2013合肥高二合肥高二检测) )设抛物抛物线C:yC:y2 2=4x,F=4x,F为C C的焦点的焦点, ,过F F的的直直线l与与C C相交于相交于A,BA,B两点两点. .(1)(1)设l的斜率的斜率为2,2,求求|AB|AB|的大小的大小. .(2)(2)求求证: : 是一个定是一个定值. .【解题探究解题探究】1.1.题题1 1中的直
7、线已知了哪些条件中的直线已知了哪些条件? ?2.2.求过焦点的弦长时求过焦点的弦长时, ,有几种方法有几种方法? ?探究提示探究提示: :1.1.首先已知斜率为首先已知斜率为1,1,其次经过抛物线的焦点其次经过抛物线的焦点. .2.|AB|= |x2.|AB|= |x1 1-x-x2 2| |或或|AB|=|AB|=或或|AB|=x|AB|=x1 1+x+x2 2+p+p等等. .【解析解析】1.1.方法一方法一:抛物线焦点为抛物线焦点为(1,0),(1,0),直线直线l的方程为的方程为y=x-1.y=x-1.设设A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),
8、由由 得得x x2 2-6x+1=0.-6x+1=0.|AB|=x|AB|=x1 1+x+x2 2+p=6+2=8.+p=6+2=8.方法二方法二: :由由ABAB所在直线斜率为所在直线斜率为1,1,则其所在直线的倾斜角则其所在直线的倾斜角=45=45, ,故故|AB|=|AB|=答案答案: :8 82.(1)2.(1)依题意得依题意得F(1,0),F(1,0),直线直线l的方程为的方程为y=2(x-1).y=2(x-1).设直线设直线l与抛物线的交点与抛物线的交点A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),由由 消去消去y y整理得整理得x x2 2-3x
9、+1=0,-3x+1=0,xx1 1+x+x2 2=3,x=3,x1 1x x2 2=1.=1.方法一方法一:|AB|= |x:|AB|= |x1 1-x-x2 2| |= =5.=5.方法二方法二:|AB|=|AF|+|BF|:|AB|=|AF|+|BF|=x=x1 1+x+x2 2+p=3+2=5.+p=3+2=5.(2)(2)设直线设直线l的方程为的方程为x=ky+1,x=ky+1,设直线设直线l与抛物线的交点与抛物线的交点A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),由由 消去消去x x整理得整理得y y2 2-4ky-4=0,-4ky-4=0,yy1
10、 1+y+y2 2=4k,y=4k,y1 1y y2 2=-4.=-4. =(x =(x1 1,y,y1 1) )(x(x2 2,y,y2 2)=x)=x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2=(ky=(ky1 1+1)(ky+1)(ky2 2+1)+y+1)+y1 1y y2 2=k=k2 2y y1 1y y2 2+k(y+k(y1 1+y+y2 2)+1+y)+1+y1 1y y2 2=-4k=-4k2 2+4k+4k2 2+1-4=-3,+1-4=-3, 是一个定值是一个定值. .【拓展提升拓展提升】直线与抛物线相交的弦长问题直线与抛物线相交的弦长问题直线和抛物线相交于直线和抛物
11、线相交于A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2) )两点两点, ,直线的斜率为直线的斜率为k.k.(1)(1)一般的弦长公式一般的弦长公式:|AB|= |x:|AB|= |x1 1-x-x2 2|.|.(2)(2)焦点弦长公式焦点弦长公式: :当直线经过抛物线当直线经过抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)的焦点时的焦点时, ,弦弦长长|AB|=x|AB|=x1 1+x+x2 2+p.+p.【变式式训练】已知焦点在已知焦点在y y轴上的抛物上的抛物线被直被直线x-2y-1=0x-2y-1=0截截得弦得弦长是是 , ,求此抛物求此抛物线的的标准方程准
12、方程. .【解题指南解题指南】本题没有明确焦点是在本题没有明确焦点是在y y轴的正半轴还是负半轴轴的正半轴还是负半轴, ,应该两种情况分类求解应该两种情况分类求解, ,为避免讨论为避免讨论, ,巧设抛物线方程为巧设抛物线方程为x x2 2=ay(a0).=ay(a0).【解析解析】设抛物线方程为设抛物线方程为x x2 2=ay(a0),=ay(a0),与直线方程联立方程与直线方程联立方程组得组得 消去消去y y得得2x2x2 2-ax+a=0,=(-a)-ax+a=0,=(-a)2 2-4-42 2a0,a0,解得解得a0a8.a8.设两交点坐标是设两交点坐标是P P1 1(x(x1 1,y,
13、y1 1),P),P2 2(x(x2 2,y,y2 2),),则则x x1 1+x+x2 2= ,x= ,x1 1x x2 2= = 代入弦长公式得代入弦长公式得: :|P|P1 1P P2 2|=|=解得解得a=-4a=-4或或a=12a=12都符合题意都符合题意, ,故抛物线方程为故抛物线方程为x x2 2=-4y=-4y或或x x2 2=12y.=12y.类型类型 三三 与抛物线有关的中点弦问题与抛物线有关的中点弦问题 【典型例题典型例题】1.1.已知抛物已知抛物线y y2 2=2x,=2x,点点(4,0)(4,0)恰是直恰是直线被抛物被抛物线所截得的弦的所截得的弦的中点中点, ,则直直
14、线方程是方程是. .2.2.过点点M(4,1)M(4,1)作抛物作抛物线y y2 2=8x=8x的弦的弦AB,AB,若弦若弦ABAB恰被点恰被点M M所平分所平分, ,求求弦弦ABAB所在直所在直线的方程的方程. .【解题探究解题探究】1.1.若直线与抛物线相交若直线与抛物线相交, ,且所得的弦的中点在对且所得的弦的中点在对称轴上称轴上, ,则此直线应具备什么特点则此直线应具备什么特点? ?2.2.如何判断以某点为中点的弦一定存在如何判断以某点为中点的弦一定存在? ?探究提示探究提示: :1.1.此直线垂直于抛物线的对称轴此直线垂直于抛物线的对称轴. .2.2.当点在抛物线的内部时当点在抛物线
15、的内部时, ,以该点为中点的弦一定存在以该点为中点的弦一定存在, ,否则否则就不存在就不存在. .【解析解析】1.1.由于由于(4,0)(4,0)恰在抛物线的对称轴上恰在抛物线的对称轴上, ,能符合题意的能符合题意的直线与对称轴垂直直线与对称轴垂直, ,故直线方程是故直线方程是x=4.x=4.答案答案: :x=4x=42.2.方法一方法一: :设以设以M M为中点的弦为中点的弦ABAB的两个端点为的两个端点为A(xA(x1 1,y,y1 1),),B(xB(x2 2,y,y2 2),),则有则有x x1 1+x+x2 2=2=24=8,y4=8,y1 1+y+y2 2=2=21=2,1=2,由
16、题知直线由题知直线ABAB的的斜率斜率k k存在且不为存在且不为0,k=0,k=把把A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2) )的坐标代入抛物线的方程得的坐标代入抛物线的方程得y y1 12 2=8x=8x1 1, , y y2 22 2=8x=8x2 2.-得得y y2 22 2-y-y1 12 2=8(x=8(x2 2-x-x1 1),),8= =2k,k=4,8= =2k,k=4,所求弦所求弦ABAB所在的直线方程为所在的直线方程为y-1=4(x-4),y-1=4(x-4),即即4x-y-15=0.4x-y-15=0.方法二方法二: :由题知直线由题知直
17、线ABAB的斜率存在的斜率存在, ,且不为且不为0,0,设为设为k,k,弦弦ABAB所所在的直线方程为在的直线方程为y=k(x-4)+1,y=k(x-4)+1,由由消去消去x x得得kyky2 2-8y+8-32k=0,y-8y+8-32k=0,y1 1+y+y2 2= .= .又知又知ABAB的中点就是的中点就是M,yM,y1 1+y+y2 2=2= ,k=4,=2= ,k=4,弦弦ABAB所在的直线方程为所在的直线方程为y=4(x-4)+1,y=4(x-4)+1,即即4x-y-15=0.4x-y-15=0.【拓展提升拓展提升】“中点弦中点弦”问题解题策略两法问题解题策略两法【变式式训练】求
18、求过点点(2,1)(2,1)的直的直线与抛物与抛物线y y2 2=4x=4x相交所得弦的相交所得弦的中点的中点的轨迹方程迹方程. .【解题指南解题指南】可采用可采用“点差法点差法”, ,即用点差法表示出直线斜率即用点差法表示出直线斜率及斜率公式求得的斜率相等建立方程求解及斜率公式求得的斜率相等建立方程求解. .【解析解析】设弦的中点为设弦的中点为M(x,y),M(x,y),弦的端点坐标分别为弦的端点坐标分别为(x(x1 1,y,y1 1),),(x(x2 2,y,y2 2),),则则x x1 1+x+x2 2=2x,y=2x,y1 1+y+y2 2=2y.=2y.由由 得得(y(y1 1+y+
19、y2 2)(y)(y1 1-y-y2 2)=4(x)=4(x1 1-x-x2 2),),当当x x1 1xx2 2即直线的斜率存在时即直线的斜率存在时, ,设直线的斜率为设直线的斜率为k,k,则则又由斜率公式得又由斜率公式得k= (x2),k= (x2),整理得整理得y y2 2-2x-y+4=0(x2).-2x-y+4=0(x2).当当x x1 1=x=x2 2, ,即即x=2x=2时时, ,此时斜率不存在此时斜率不存在, ,弦的中点坐标为弦的中点坐标为(2,0),(2,0),也符合也符合式式, ,故中点的轨迹方程为故中点的轨迹方程为y y2 2-2x-y+4=0.-2x-y+4=0. 抛物
20、抛物线的的综合合问题【典型例题典型例题】 1.(20131.(2013南昌高二南昌高二检测) )设A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2) )两点在抛物两点在抛物线y=2xy=2x2 2上上, ,l是是ABAB的垂直平分的垂直平分线, ,(1)(1)当且当且仅当当x x1 1+x+x2 2取何取何值时, ,直直线l经过抛物抛物线的焦点的焦点F?F?证明你明你的的结论. .(2)(2)当当x x1 1=1,x=1,x2 2=-3=-3时, ,求直求直线l的方程的方程. .2.2.已知抛物已知抛物线y y2 2=4x=4x的焦点的焦点为F,F,过点点F F的直的直
21、线交抛物交抛物线于于A,BA,B两点两点. .(1)(1)若若 求直求直线ABAB的斜率的斜率. .(2)(2)设点点M M在在线段段ABAB上运上运动, ,原点原点O O关于点关于点M M的的对称点称点为C,C,求四求四边形形OACBOACB面面积的最小的最小值. .【解析解析】1.(1)1.(1)抛物线抛物线y=2xy=2x2 2, ,即即x x2 2= ,= ,p=p=焦点为焦点为F(0, ),F(0, ),直线直线l的斜率不存在时的斜率不存在时, ,显然有显然有x x1 1+x+x2 2=0,=0,直线直线l的斜率存在时的斜率存在时, ,设为设为k,k,截距为截距为b,b,即直线即直线
22、l:y=kx+b,:y=kx+b,由已知由已知得得: :所以所以即即由于由于x x1 12 2+x+x2 22 2=- +b0,b ,=- +b0,b ,即即l的斜率存在时的斜率存在时, ,不可能经过焦点不可能经过焦点F(0, ),F(0, ),所以当且仅当所以当且仅当x x1 1+x+x2 2=0=0时时, ,直线直线l经过抛物线的焦点经过抛物线的焦点F.F.(2)(2)当当x x1 1=1,x=1,x2 2=-3=-3时时, ,直线直线l的斜率显然存在的斜率显然存在, ,设设l:y=kx+b,:y=kx+b,则由则由(1)(1)得得: :所以所以, ,直线直线l的方程为的方程为y= y=
23、即即x-4y+41=0.x-4y+41=0.2.(1)2.(1)依题意依题意F(1,0),F(1,0),设直线设直线ABAB的方程为的方程为x=my+1.x=my+1.将直线将直线ABAB的方程与抛物线的方程联立的方程与抛物线的方程联立, ,消去消去x x得得y y2 2-4my-4=0.-4my-4=0.设设A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),所以所以y y1 1+y+y2 2=4m,y=4m,y1 1y y2 2=-4. =-4. 因为因为所以所以y y1 1=-2y=-2y2 2 联立联立和和, ,消去消去y y1 1,y,y2 2, ,得得m
24、=m= , ,即即所以直线所以直线ABAB的斜率是的斜率是2 .2 .(2)(2)由点由点C C与原点与原点O O关于点关于点M M对称对称, ,得得M M是线段是线段OCOC的中点的中点, ,从而点从而点O O与点与点C C到直线到直线ABAB的距离相等的距离相等. .所以四边形所以四边形OACBOACB的面积等于的面积等于2S2SAOBAOB. .因为因为2S2SAOBAOB=2=2 |OF|OF|y|y1 1-y-y2 2| |= =4=4所以所以m=0m=0时时, ,四边形四边形OACBOACB的面积最小的面积最小, ,最小值是最小值是4.4.【拓展提升拓展提升】与抛物线有关的综合问题
25、的类型与抛物线有关的综合问题的类型(1)(1)抛物线中的最值问题抛物线中的最值问题. .(2)(2)抛物线中的定值问题抛物线中的定值问题. .(3)(3)抛物线的性质的综合应用抛物线的性质的综合应用. .(4)(4)抛物线在实际问题中的应用抛物线在实际问题中的应用. .(5)(5)抛物线与其他数学知识的综合问题抛物线与其他数学知识的综合问题. .【规范解答规范解答】抛物线定义及性质的综合应用抛物线定义及性质的综合应用【典例典例】 【条件分析条件分析】【规范解答规范解答】(1)(1)由已知可得由已知可得BFDBFD为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，|BD|=2p|BD|=2p, ,圆圆F F的
26、半径的半径|FA|= p,|FA|= p,由抛物线定义可知由抛物线定义可知A A到到l的距离的距离d=|FA|= p.d=|FA|= p.2 2分分因为因为ABDABD的面积为的面积为4 ,4 ,所以所以 |BD|BD|d=4 ,d=4 ,即即 2p2p p=4 , p=4 ,解得解得p=-2(p=-2(舍去舍去),p=2.),p=2.4 4分分所以所以F(0,1),F(0,1),圆圆F F的方程为的方程为x x2 2+(y-1)+(y-1)2 2=8.=8.5 5分分(2)(2)因为因为A A，B B，F F三点在同一直线三点在同一直线m m上上, ,所以所以ABAB为圆为圆F F的直径的直
27、径, ,ADB=90ADB=90, ,由抛物线定义知由抛物线定义知 . .所以所以ABD=30ABD=30,m,m的斜率为的斜率为 或或- ,- ,7 7分分当当m m的斜率为的斜率为 时时, ,由已知可设由已知可设n:y= x+b,n:y= x+b,代入代入x x2 2=2py=2py得得x x2 2- px-2pb=0.- px-2pb=0.由于由于n n与与C C只有一个公共点只有一个公共点, ,故故= p= p2 2+8pb=0,+8pb=0,解得解得b=- .b=- .9 9分分因为因为m m的截距的截距b b1 1= , = , , ,所以坐标原点到所以坐标原点到m,nm,n距离的
28、比距离的比值为值为3.3.1111分分当当m m的斜率为的斜率为- - 时时, ,由图形的对称性可知由图形的对称性可知, ,坐标原点到坐标原点到m,nm,n距离的比值为距离的比值为3.3.1212分分【失分警示失分警示】【防范措施防范措施】1.1.巧挖三角形的特征巧挖三角形的特征解题中要特别关注特殊的三角形解题中要特别关注特殊的三角形, ,如直角三角形如直角三角形, ,等腰三角形等腰三角形, ,等边三角形和等腰直角三角形等边三角形和等腰直角三角形, ,尤其是三角形中的边与角的尤其是三角形中的边与角的关系关系, ,对解题会起到非常重要的作用对解题会起到非常重要的作用, ,如本例如本例处处RtBF
29、DRtBFD中中,|BD|=2p,|BD|=2p的挖掘的挖掘. .2.2.巧挖条件的内涵巧挖条件的内涵解题中任何条件都是对解题有用的解题中任何条件都是对解题有用的, ,要善于利用条件要善于利用条件, ,如本例如本例中中A,B,FA,B,F共线共线, ,从而从而ADB=90ADB=90. .3.3.善于使用定义善于使用定义抛物线是灵活的圆锥曲线抛物线是灵活的圆锥曲线, ,特别是它的定义特别是它的定义, ,如本例如本例处处, ,如果没如果没有利用好有利用好, ,就无法得出结论就无法得出结论. .4.4.“距离距离”与与“截距截距”不同不同应注意区别二者应注意区别二者, ,如本例如本例, ,切不可把
30、距离之比写成截距之比切不可把距离之比写成截距之比. .【类题试解解】已知已知过抛物抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)的焦点的焦点, ,斜率斜率为 的的直直线交抛物交抛物线于于A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2)(x)(x1 1x0,SA(-a, ),B(a, ),a0,SAOBAOB= = 2a2a =16, =16,解得解得a=4,AOBa=4,AOB为等腰直角三角形为等腰直角三角形,AOB=90,AOB=90. .3.3.过点点M(2,5)M(2,5)与抛物与抛物线y y2 2=8x=8x只有一个公共点的直只有一个公共点的直线有有条条.
31、 .【解析解析】把把x=2x=2代入代入y y2 2=8x=8x得得y y2 2=16,y=16,y=4.4.54,54,点点M M在抛物线的外部在抛物线的外部, ,所以所求的直线有三条所以所求的直线有三条, ,分别为分别为两条切线和一条平行于两条切线和一条平行于x x轴的直线轴的直线. .答案答案: :3 34.4.抛物抛物线y y2 2=12x=12x被直被直线y=x+1y=x+1所截得的弦所截得的弦长是是. .【解析解析】由由 得得x x2 2-10x+1=0.-10x+1=0.设两交点设两交点A(xA(x1 1,y,y1 1),),B(xB(x2 2,y,y2 2),),则则x x1
32、1+x+x2 2=10,x=10,x1 1x x2 2=1,=1,|AB|= =|AB|= =答案答案: :8 85.5.求求过点点P(0,1)P(0,1)且与抛物且与抛物线y y2 2=2x=2x只有一个公共点的直只有一个公共点的直线方程方程. .【解析解析】(1)(1)若直线斜率不存在若直线斜率不存在, ,则过则过P(0,1)P(0,1)的直线方程为的直线方程为x=0.x=0.直线直线x=0x=0与抛物线只有一个公共点与抛物线只有一个公共点. .(2)(2)若直线斜率存在若直线斜率存在, ,设为设为k,k,则过点则过点P P的直线方程为的直线方程为y=kx+1.y=kx+1.由方程组由方程组 消元得消元得:k:k2 2x x2 2+2(k-1)x+1=0,+2(k-1)x+1=0,当当k=0k=0时时, ,得得 即直线即直线y=1y=1与抛物线只有一个公共点与抛物线只有一个公共点. .当当k0k0时时, ,若直线与抛物线只有一个公共点若直线与抛物线只有一个公共点, ,则则=4(k-1)=4(k-1)2 2-4k-4k2 2=0.=0.k= ,k= ,故直线方程为故直线方程为:y= x+1.:y= x+1.综上所述综上所述: :所求直线方程为所求直线方程为x=0x=0或或y=1y=1或或y= x+1.y= x+1.
