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1、人教版八年级（上册）人教版八年级（上册）第十一章全等三角形第十一章全等三角形11.311.3角的平分线的性质角的平分线的性质( (第第1 1课时课时) )角的平分线的性质角的平分线的性质(1)(1) 不利用工具，请你将一张用纸不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？么办法？AOBC活活 动动1 再再再再打打打打开开开开纸纸纸纸片片片片 ，看看看看看看看看折折折折痕与这个角有何关系？痕与这个角有何关系？痕与这个角有何关系？痕与这个角有何关系？ （对折对折）1、如如图图，是是一一个个角角平平分分仪仪，其中其中AB=AD,BC=DC。将将点点
2、A放放在在角角的的顶顶点点,AB和和AD沿沿着着角角的的两两边边放放下下,沿沿AC画画一一条条射射线线AE,AE就就是是角角平平分分线线，你能说明它的道理吗你能说明它的道理吗?活活 动动2ADBCE 如如果果前前面面活活动动中中的的纸纸片片换换成成木木板板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？钢板等没法折的角，又该怎么办呢？证明：在ACD和和ACB中，中， AD=AB（已知），（已知）， DC=BC（已知），（已知）， CA=CA（公共边），（公共边）， 所以所以 ACD ACB（SSS）。）。 所以所以CAD=CAB（全等三角形的（全等三角形的 对应边相等）。对应边相等）。 所以所以AC平分平分
3、DAB（角平分线的定义）。（角平分线的定义）。ADBCE 根据角平分仪的制作原理怎样作根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器。）量角器。）OABCE活活 动动3NOMCENM1 1平分平角平分平角AOBAOB2 2通过上面的步骤，得到射线通过上面的步骤，得到射线OCOC以后，把以后，把它反向延长得到直线它反向延长得到直线CDCD，直线，直线CDCD与直线与直线ABAB是什么关系？是什么关系？ 3 3结论：作平角的平分线即可平分平角，结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂由此也得到过直线上一点作这条直线的
4、垂线的方法。线的方法。活活 动动4ABOCD探究角平分线的性质 (1)实验实验：将：将AOB对折，再折出一个直角对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？活活 动动5 (2)(2)猜猜想想: :角角的的平平分分线线上上的的点点到到角角的的两两边的距离相等边的距离相等. .证明：证明：因为因为OC平分平分 AOB ， 所以所以 1= 2。 因为因为PD OA，PE OB。 所以所以PDO= PEO。 在在PDO和和PEO中，中， PDO= PEO，
5、1= 2 ， OP=OP ， 所以所以 PDO PEO（AAS）。）。 所以所以PD=PE。P PA AO OB BC CE ED D12已知：如图，已知：如图，OCOC平分平分AOBAOB，点，点P P在在OCOC上，上，PDPDOAOA于点于点D D，PEOBPEOB于点于点E E，求证求证: PD=PE: PD=PE探究角平分线的性质探究角平分线的性质活活 动动5(3)验证验证猜想。猜想。角平分线上角平分线上的点到角两的点到角两边的距离相边的距离相等。等。(4)得到得到角平分线角平分线的性质：的性质：活活 动动5 利利用用此此性性质质怎怎样书写推理过程样书写推理过程?因为因为 1= 2,
6、 PD OA， PE OB，所以所以PD=PE（全等（全等三角形的对应边相三角形的对应边相等）。等）。P PA AO OB BC CE ED D12思考：思考：要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁要在区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处路距离相等且离公路，铁路的交叉处米，应建在何处？（比例尺米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）公路铁路活活 如如 图图 ， 在在 ABC中中 ，C=90 AD是是BAC的的平平分分线线，DEAB于于 E， F在在 AC上上 ，BD=DF，求证：，求证：CF=EB。ACDEBF 分分析析:要要证证CF=EB,首首先先我我们们想想到
7、到的的是是要要证证它它们所在的两个三角形全等们所在的两个三角形全等,即即RtCDF RtEDB. 现现已已有有一一个个条条件件BD=DF(斜斜边边相相等等),还还需需要我们找什么条件要我们找什么条件DC=DE (因因为为角角的的平平分分线线的的性性质质) 再用再用HL证明证明.试试自己写试试自己写证明。你一证明。你一定行！定行！一、过程小结：一、过程小结：情境情境观察观察作图作图应用应用探究探究再应用再应用二、知识小结：二、知识小结：本本节节课课学学习习了了那那些些知知识识？有有哪哪些些运运用用？你你学了吗？做了吗？用了吗？学了吗？做了吗？用了吗？课后作业课后作业课本P22习题11.3第2题。
