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1、第一章 投影根底 本章主要引见投影图的构成过程、投影本章主要引见投影图的构成过程、投影图的分类；点、直线、平面的相互位置关图的分类；点、直线、平面的相互位置关系以及如何根据它们的投影图来判别空间系以及如何根据它们的投影图来判别空间几要素的相互关系等内容。几要素的相互关系等内容。1 1 概概 述述 本课程是一门专业技术根底课。它主要本课程是一门专业技术根底课。它主要包括：制图的根本知识、工程制图的实际包括：制图的根本知识、工程制图的实际根底、专业制图及计算机绘图等。根底、专业制图及计算机绘图等。 主要主要义务是：培育学生具有一定的三是：培育学生具有一定的三维空空间的的逻辑思想和思想和笼统思想才干
2、，思想才干，阅读和和绘制建筑工程制建筑工程图样的才干。的才干。2 2 投影的根本知投影的根本知识识 物物体体在在光光源源的的照照射射下下会会出出现影影子子。人人们从从这种种景景象象中中得得到到启启示示，发明明了了投投射射线经过物物体体，向向选定定的的平平面面投投射射，并并在在该平面得到平面得到图形的方法称形的方法称为投影法。投影法。 根根据据投投影影法法得得到到的的图形形称称为投投影影或或投投影影图；构成投影的平面称；构成投影的平面称为投影面。投影面。投影投影中心投影中心投影平行投影平行投影斜投影斜投影正投影正投影 根据投影线性质的不同将投影两根据投影线性质的不同将投影两大类：中心投影和平行投
3、影。大类：中心投影和平行投影。二、投影的分类二、投影的分类投影面投影面P投射线投射线BAC规规 定定定定大写字母表示空大写字母表示空大写字母表示空大写字母表示空间间点点点点; ;小写字母表示相小写字母表示相小写字母表示相小写字母表示相应应空空空空间间点的投影。点的投影。点的投影。点的投影。中心投影：中心投影：投影投影线集中于投影中心所集中于投影中心所构成的投影。构成的投影。 如如图1-1，用，用汇交与交与一点一点S的投影的投影线将将ABC向投影面向投影面P投射，在投投射，在投影面影面P上得到的投影上得到的投影图abc即即为ABC的投影。的投影。其中其中S称称为投影中心，投影中心，SA、SB、S
4、C称称为投影投影线。中心投影中心投影abc投影投影投射中心投射中心S图图1-1 投影投影线线相互平行相互平行时产时产生的投影称生的投影称为为平行投平行投影。影。P PSP PS正投影法正投影法投影投影线S 垂直于投影面垂直于投影面P 平行投影平行投影斜投影法斜投影法投影投影线S 倾斜于投影面斜于投影面P三、建筑中常用的投影图三、建筑中常用的投影图建筑中常用的投影建筑中常用的投影图有：正投影有：正投影图、轴测投影投影图、透、透视投影投影图。1 1、正投影图、正投影图单面投影图单面投影图双面投影图双面投影图多面投影图多面投影图物体在两个相互垂直的物体在两个相互垂直的投影面上的投影投影面上的投影物体
5、在三个或三个以上物体在三个或三个以上相互垂直的投影面上的相互垂直的投影面上的投影。如图投影。如图1-5 2、轴侧投影是平行投影之一，它是把物、轴侧投影是平行投影之一，它是把物体按体按 平行投影法投射到单一投影面上所平行投影法投射到单一投影面上所得到的投影图。得到的投影图。 特点：立体感较强，但不够顺眼和自然。特点：立体感较强，但不够顺眼和自然。在工程中常用来绘制给排水、暖通等方面在工程中常用来绘制给排水、暖通等方面的管道系统图。的管道系统图。 3、透视投影图是利用中心投影法所得到、透视投影图是利用中心投影法所得到的图形。的图形。 特点：立体感非常强，笼统逼真，但不特点：立体感非常强，笼统逼真，
6、但不容易绘制。常用为设计方案比较和展览用容易绘制。常用为设计方案比较和展览用的图样。的图样。aHA2A1A 仅仅有点的一个投影不有点的一个投影不能确定点的空能确定点的空间间位置。位置。3 3 点的投影点的投影 点、直线、平面是组成几何体最根本的点、直线、平面是组成几何体最根本的几何元素，首先研讨点的投影特性。几何元素，首先研讨点的投影特性。 因此，在建筑工程中，因此，在建筑工程中，经经常用多面投常用多面投影来表达物体。影来表达物体。 过过空空间间点点A的投射的投射线线与与投影面投影面H的交点即的交点即为为点点A在在H面上的投影。面上的投影。一、一、 点的单面投影点的单面投影二、点的两面投影二、
7、点的两面投影如图如图1-10所示，设置两个相互垂直的投影面，所示，设置两个相互垂直的投影面，程度面程度面H和正立投影面和正立投影面VHVOX两个投两个投影面相影面相互垂直互垂直正立投影面正立投影面 或称或称V面面 程度投影面程度投影面 或称或称H面面 OX轴轴 V面与面与H面的交面的交线线投影投影轴投影面投影面空间点空间点A在两个投影面上的投影在两个投影面上的投影a点点A A的程度投影的程度投影a点点A A的正面投影的正面投影X XO OV VH HA Aaaxa留意：留意： 空间空间点用点用大写大写字母字母表示，表示，点的点的投影投影用小用小写字写字母表母表示。示。图 1-11三、点的三面投
8、影三、点的三面投影1、三面投影体系的建立、三面投影体系的建立正面投影面正面投影面 - V - V面面程度投影面程度投影面 - H - H面面侧面投影面面投影面 - W - W面面H HW WV VO OZX XY三个投三个投影面相影面相互垂直互垂直2、投影轴、投影轴OXOX轴轴 V V面与面与H H面的交面的交线线OZOZ轴轴 V V面与面与W W面的交面的交线线OYOY轴轴 H H面与面与W W面的交面的交线线长度方向度方向高高度度方方向向宽度度方方向向 1 1、点的投影、点的投影a点点A A的正面投影。的正面投影。a点点A的程度投影。的程度投影。a 点点A A的侧面投影。的侧面投影。 规规
9、定：定： 空空间间点用大写字母表示，点的三点用大写字母表示，点的三个投影都用同一个小写字母表示。其个投影都用同一个小写字母表示。其中中H H 投影不加撇，投影不加撇，V V 投影加一撇，投影加一撇，W W 投影加两撇。投影加两撇。 OXYZWa aaAVH点的三面投影的构成点的三面投影的构成XZ2 2、投影面展开、投影面展开HVWaaZaayayaX YH YW O azxYOVHWAaa axaa zay向右翻向右翻向下翻向下翻不动不动 在投影时，投影的大小不受限制，在投影时，投影的大小不受限制，通常不用画出投影面的边框。通常不用画出投影面的边框。ZaaXYH YWO axaazyaay2、
10、V、W两投影都反映两投影都反映高高标标，且投影，且投影连线连线垂直垂直Z轴轴；aaOZ轴轴。3.2 点的投影规律点的投影规律ZaaXYH YW a1、V、H两投影都反映横两投影都反映横标标，且投影，且投影连线连线垂直垂直X轴轴；aaOX轴轴。 其中其中W面上的一段垂直面上的一段垂直OYW，H面上的一面上的一段垂直段垂直OYH，中，中间间可用折可用折线线、45。斜。斜线线或以或以O为圆为圆心的心的圆圆弧弧联络联络起来。起来。 xa3、H、W两投影都反两投影都反映映纵标纵标，投影，投影连线连线是是一条折一条折线线。azyaayOaax= a az= y = A 到到V 面的间隔面的间隔aax= a
11、ay= z = A 到到H 面的间隔面的间隔aay = aaz= x = A 到到W 面的间隔面的间隔aaZaayayaXYH YWO azx1、点的投影、点的投影连连线线垂直于相垂直于相应应的的投影投影轴轴。2、点的投影到投影、点的投影到投影轴轴的的间间隔等于空隔等于空间间点点到投影面的到投影面的间间隔。隔。小小 结：结：ZaaXYH YWO axaazyaayXZ YOVHWAaa axaa zayc例例1知点知点C的两个投影的两个投影c和和c ，求作其程度投影求作其程度投影c。c ccz经过作经过作45转转宽线使宽线使c cz=ccxXZYHYwcywcyHocx 点的每个投影反映两个坐
12、点的每个投影反映两个坐标标： V 投影反映高投影反映高标标和横和横标标(aaX 和和aaZ )， H 投影反映投影反映纵标纵标和横和横标标(aaX 和和aaYH )， W 投影反映高投影反映高标标和和纵标纵标(aaYW 和和aaZ)。3.3 3.3 点的投影和坐标点的投影和坐标XZ YOVHWAaA axaa zayXZaaXYH YWO axaazyaay1、普通位置点、普通位置点 X、Y、Z 1)投影面上的点：投影面上的点：V 面上点面上点 X、0、Z H 面上点面上点 X、Y、0 W 面上点面上点 0、Y、Z 3)原点上的点原点上的点: 0、0、0 2)投影投影轴轴上点上点: X 轴轴上
13、点上点 X、0、0 Y 轴轴上点上点 0、Y、0 Z 轴轴上点上点 0、0、Z 留意留意: 点的各个投影一定要写在它所属的投影面区点的各个投影一定要写在它所属的投影面区域内。域内。各种位置点的投影各种位置点的投影 2、特殊位置点、特殊位置点各种位置点的投影各种位置点的投影 两点的相两点的相对对位位置指两点在空置指两点在空间间的的上下、前后、左右上下、前后、左右位置关系。位置关系。判判别方法：方法：X 坐坐标标大的在左大的在左 Y 坐坐标标大的在前大的在前Z 坐坐标标大的在上大的在上3.4.1 3.4.1 两点的相两点的相对对位置位置左左右右后后上上下下前前上上下下后后前前左左右右3.4 3.4
14、 两点的相对位置和重影点两点的相对位置和重影点作作图步步骤： 1 在在a左方左方12 mm ，上方上方8 mm 处处确定确定b； 2 作作bbOX 轴轴，且在，且在a 前前10 mm 处处确定确定b ； 3 按投影关系求得按投影关系求得b。例例2如图，知点如图，知点A 的三投影，另一点的三投影，另一点B 在在 点点A 上方上方8 mm，左方，左方12 mm，前方，前方10 mm处，处， 求求:点点B 的三个投影。的三个投影。 ayayZaaaxazXYH YWOa bybybxbzbbb 12810 当空当空间间两点位于两点位于对对投影面的投影面的同一条投影同一条投影线线上上时时，这这两点在两
15、点在该该投影面上的投影重合，称投影面上的投影重合，称这这两点两点为对该为对该投影面的重影点。投影面的重影点。 3.4.2 3.4.2 重影点重影点 点点A、B 在对在对H 面的同一条投射线上，面的同一条投射线上，它们在它们在H 面的投影重合，称为对面的投影重合，称为对H 面的重面的重影点。而点影点。而点C、A那么称为对那么称为对W 面的重影面的重影点。点。 4 4 直直线线的投影的投影 普通情况下，直普通情况下，直线线的投影仍的投影仍为为直直线线。 两点确定一条直两点确定一条直线线，将直，将直线线上两点的上两点的同面投影用直同面投影用直线衔线衔接接起来，就得到直起来，就得到直线线的的三个投影。
16、三个投影。4.1 4.1 直直线线的投影的投影aaa b bbXZYHYWo直直线的投影的投影规定用粗定用粗实线绘制。制。4.2 4.2 各种位置直线各种位置直线投影面平行投影面平行线平行于某一投影面而平行于某一投影面而与其他两投影面倾斜与其他两投影面倾斜投影面垂直投影面垂直线正平正平线平行于面平行于面侧平平线平行于面平行于面程度程度线平行于面平行于面正垂正垂线垂直于面垂直于面侧垂垂线垂直于面垂直于面铅垂垂线垂直于面垂直于面普通位置直普通位置直线与三个投影面都与三个投影面都倾斜的直斜的直线统称特殊位置直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面垂直于某一投影面4.2.1 4.2.1 普通位置直线普通位
17、置直线 直直线线与与H、V 和和W 三投影面的三投影面的夹夹角分角分别别用用 、表示。表示。投影投影长长分分别别是：是：a b = AB cosab = AB cosab=AB cos普通位置直线投影特性普通位置直线投影特性各投影的各投影的长度均小于直度均小于直线本身的本身的实长。直直线的各投影均不平行于各投影的各投影均不平行于各投影轴。b aa bbaXZYHYWb a ababXZYHYWba aabb XZYW程度程度线YH4.2.2 4.2.2 投影面平行线投影面平行线1 1 在其平行的那个投影面上的投影反映在其平行的那个投影面上的投影反映实长实长， 并反映直并反映直线线与另两投影面的
18、真与另两投影面的真实倾实倾角。角。2 2 另两个投影面上的投影平行于相另两个投影面上的投影平行于相应应的投影的投影轴轴。侧平平线正平正平线投投 影影 特特 性性与与H面的面的夹角角:与与V 面的面的夹角角:与与W面的面的夹角角:实长实长实长实长实长实长投投影影面面平平行行线称号称号立体图立体图投影图投影图投影特性投影特性程度程度线(H正平正平线(V )侧平平线(W )(1)abOX,abOYW(2)ab=AB ；(3)反映反映夹夹角角、大小。大小。(1)abOX,abOZ(2)ab =AB(3)反映反映夹夹角角、 大小。大小。(1)abOYH,abOZ；(2)ab=AB(3)反映反映夹夹角角、
19、大小。大小。4.2.3 4.2.3 投影面垂直线投影面垂直线 2 2 另外两个投影另外两个投影, , 反映反映线线段段实长实长，且垂直于相且垂直于相应应的投影的投影轴轴。 1 1 在其垂直的投影面上，投影有在其垂直的投影面上，投影有积积聚性。聚性。投投 影影 特特 性性侧垂线侧垂线efefe (f )XZoYHYW正垂线正垂线c(d)cdd c XZoYHYW铅垂线铅垂线aba(b)a b XZoYWYH称号称号立体图立体图投影图投影图投影特性投影特性铅垂线铅垂线H正垂线正垂线V侧垂线侧垂线W(1) H 投影为一投影为一点，有积聚性；点，有积聚性；(2) ab OX , abOYW ；(3)
20、ab=ab =AB(1) V 影为一点，影为一点， 有积聚性；有积聚性；(2) abOX , abOZ ；(3) ab=ab =AB(1) W 投影为一投影为一点，有积聚性；点，有积聚性；(2) Ab OYH, ab OZ ；(3) Ab =ab =AB投投影影面面垂垂直直线 4.3.1 点和直点和直线线的从属关系的从属关系 4.3 点与直线点与直线 假假设设点在直点在直线线上，那上，那么点的各个投影必在直么点的各个投影必在直线线的的同面投影上。如下同面投影上。如下图图，CAB ，那么有，那么有c ab ，cab，cab。 反之，假反之，假设设点的各个投影点的各个投影均在直均在直线线的同面投影
21、上，那的同面投影上，那么点在直么点在直线线上。上。从属性从属性 在在图图中，中，C点在直点在直线线AB上，而上，而D、E两点均不两点均不满满足上述条件，所以都不在足上述条件，所以都不在AB直直线线上。上。 Z例例1判别点判别点C能否在线段能否在线段AB上。上。abc 因因c不在不在a b上，故点上，故点C不在不在AB上。上。运用运用简单比定理比定理abcabc另一判另一判别法法?XoYHYW4.3.2 点分割线段成定比点分割线段成定比AC/CB=ac/cb=ac/cb直直线上的点分割上的点分割线段之比等于其投影之比。即：段之比等于其投影之比。即：定比定理定比定理abcabcXABCVHbccb
22、aaX例例试在在AB 线段上取一点段上取一点C ，使，使AC CB1 2 ， 求求 :分点分点C 的投影。的投影。 abcabcXC1B1分点分点C 的投影，必在的投影，必在AB 线段的同面投影上，且段的同面投影上，且 ac cbac cb1 2 可用比例作可用比例作图法作法作图。 1 过过a(或或b)任作不断任作不断线线aB1 或或 bB1) ；5 过过c作作X轴轴的垂的垂线线与与ab交于交于c 。那么。那么c 、c即所求分点即所求分点C 的投影。的投影。 2 在在aB1上取上取C1，使使aC1 C1B11 2；3 衔衔接接B1、b；4 过过C1作作C1cB1b，与，与ab交于交于c ；作作
23、图步步骤：分析：分析：ekfefX例例 知直线知直线EF 及点及点K 的二投影，的二投影，试判别试判别:点点K 能否在直线能否在直线EF 线上。线上。作作图步步骤：运用运用简单比定理比定理E1 k1。k 1 在在H投影上，投影上，过过f 或或e 任作一条直任作一条直线线fE1 ;2 )在在fE1上取上取fK1=fk,K1E1=ke;3) 衔衔接接E1e，过过K1作直作直线线平行于平行于E1e ，与，与fe交于交于k 1 ；由于知投影由于知投影 k 与与k 1不重合，不重合，所以点所以点K 不在直不在直线EF 上。上。.K14.4 4.4 线段的实长及其对投影面的倾角线段的实长及其对投影面的倾角
24、采用直角三角形法求采用直角三角形法求线段的段的实长和和倾角。角。作作图过程如下：程如下：1、以直、以直线的一个投影的一个投影为直角直角边。2、以直、以直线的另一个投影的两个端点至相的另一个投影的两个端点至相应的投影的投影轴间隔之差隔之差为另不断角另不断角边。3、衔接两直角接两直角边的直角三角形，其斜的直角三角形，其斜边的的长即即为直直线的的实长，斜，斜边与直与直线在在该投投影面上的影面上的夹角即角即为直直线与与该投影面的投影面的夹角。角。空空间两直两直线的相的相对位置分位置分为： 平行、相交、交叉。平行、相交、交叉。1 1、两直、两直线线平行平行投影特性：投影特性： 空空间间两直两直线线平平行
25、，那么其各同名行，那么其各同名投影必相互平行，投影必相互平行，反之亦然。反之亦然。4.5 4.5 两直线的相对位置两直线的相对位置aVHcbcdABCDbdaX例例4 4判别图中两条直线能否平行。判别图中两条直线能否平行。 对对于普通位于普通位置直置直线线，只需有，只需有两个同面投影相两个同面投影相互平行，空互平行，空间间两两直直线线就平行。就平行。AB/CDabcdcabdXbdcacbaddbac 对对于特殊位置于特殊位置直直线线，只需两个同，只需两个同面投影相互平行，面投影相互平行，空空间间直直线线不一定平不一定平行。行。求出求出侧面投影后可知：面投影后可知：AB与与CD不平行。不平行。
26、例例5判别图中两条直线能否平行。判别图中两条直线能否平行。XZoYHYW相互平行得两直相互平行得两直线，假，假设垂直与某投影面，那么两垂直与某投影面，那么两直直线在在该投影面上的投影投影面上的投影积聚成两点，两点聚成两点，两点间的的间隔反映两直隔反映两直线间的的间隔。隔。abcdbacdkkX2 2、两直线相交、两直线相交判判别方法：方法： 假假设设空空间间两直两直线线相交，那么其同名投影必相相交，那么其同名投影必相交，且交点的投影必符合空交，且交点的投影必符合空间间一点的投影一点的投影规规律。律。交点是两直线的共有点交点是两直线的共有点HVABCDKabcdkabckdX 相交两直线的三面投
27、影：相交两直线的三面投影： 假假设设空空间间两直两直线线相交，那么其同面投影必相交，相交，那么其同面投影必相交，且交点的投影必符合空且交点的投影必符合空间间一点的投影一点的投影规规律。反之，假律。反之，假设设两直两直线线的各同面投影相交，且交点符合一个点的投的各同面投影相交，且交点符合一个点的投影影规规律，那么此两直律，那么此两直线线在空在空间间一定相交。一定相交。 2 1dbaabcdc 3(4)2(1)34X、 是对是对H 面的重影点，面的重影点，、 是对是对V 面的重影点。面的重影点。3、两直线交叉、两直线交叉AB既不平行又不相交的两直既不平行又不相交的两直线称称为交叉两直交叉两直线例例
28、1-7 判判别图中两直中两直线的相的相对位置，假位置，假设是交叉是交叉直直线，判，判别交叉点的可交叉点的可见性。性。情况情况立体图立体图投影图投影图投影特性投影特性平平行行两两直直线相相交交两两直直线交交叉叉两两直直线 假设空间两直假设空间两直线相互平行，那线相互平行，那么其各同名投影么其各同名投影也一定相互平行。也一定相互平行。反之，假设两直反之，假设两直线的各同名投影线的各同名投影相互平行，那么相互平行，那么此两直线在空间此两直线在空间一定相互平行。一定相互平行。 假设空间两直线假设空间两直线相交，那么其各同相交，那么其各同名投影也一定相交，名投影也一定相交，且交点一定符合点且交点一定符合
29、点的投影规律。反之，的投影规律。反之，假设两直线的各同假设两直线的各同名投影相交，且交名投影相交，且交点符合点的投影规点符合点的投影规律，那么此两直线律，那么此两直线在空间一定相交。在空间一定相交。 假设两直线既不假设两直线既不平行又不相交，为平行又不相交，为相错直线。它能够相错直线。它能够有一个或两个同面有一个或两个同面投影相互平行；也投影相互平行；也能够有一个、两个能够有一个、两个或三个同面投影相或三个同面投影相交，但其交点不符交，但其交点不符合点的投影规律，合点的投影规律，这些点都是重影点。这些点都是重影点。 直直线的的夹角当两直角当两直线平行于某一投影面平行于某一投影面时，直直线的的夹
30、角在其平行的投影面才干真角在其平行的投影面才干真实的反的反映出来。映出来。 对于直角，只需有一于直角，只需有一边平行于某一投影面，平行于某一投影面，那么此直那么此直线在在该投影面上的投影仍是直角投影面上的投影仍是直角4.6 4.6 一边平行于投影面的直角投影一边平行于投影面的直角投影例例1-10 知点知点C和正平和正平线AB的投影，求点的投影，求点C到直到直线AB的的间隔。隔。5.1 5.1 平面的表示法平面的表示法不在同不不在同不断断线上的上的三个点三个点直直线及及线外一点外一点两平行两平行直直线两相交两相交直直线平面平面图形形5.1.1 5.1.1 用几何元素表示平面用几何元素表示平面5
31、5 平面的投影平面的投影5.1.2 5.1.2 用平面的迹线表示平面用平面的迹线表示平面 平面和投影面的交平面和投影面的交线，称，称为平面的迹平面的迹线。 平面和平面和H 面的交面的交线线，称，称为为程度迹程度迹线线PH ，和，和V 面的交面的交线线，称称为为正面迹正面迹线线PV ，和，和W 面的交面的交线线，称，称为侧为侧面迹面迹线线PW。 两相交迹线两相交迹线两平行迹两平行迹线 迹线上的点迹线上的点: : 根据迹根据迹线线的的投影投影规规律可知：律可知： 点点A、B 位于位于平面平面P上，上， 而点而点C、D那么不在平面那么不在平面P上。上。投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行
32、面普通位置平面普通位置平面特殊位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面 铅垂面铅垂面 正平面正平面 侧平面侧平面 程度面程度面5.3 5.3 各种位置平面各种位置平面平面平面对于三投影面的位置可分于三投影面的位置可分为三三类：5.3.1 5.3.1 普通位置平面普通位置平面 普通位置平面和三个投影面既不垂直也不平行，普通位置平面和三个投影面既不垂直也不平行，与三个投影面都与三个投影面都倾倾斜，所以，如用平面形
33、斜，所以，如用平面形( (例如三角形例如三角形) )表示普通位置平面，那么它的三个投影均不是表示普通位置平面，那么它的三个投影均不是实实形，形，但具有相仿性。但具有相仿性。 5.3.2 5.3.2 投影面垂直面投影面垂直面 只垂直于一个投影面的平面，只垂直于一个投影面的平面，称称为为投影面垂直面。投影面垂直面。 根根据据其其所所垂垂直直的的投投影影面面不不同同，可以分可以分为为三种：三种： 1) 1)铅铅垂面垂面垂直于垂直于H H 面；面； 2) 2)正垂面正垂面垂直于垂直于V V 面；面； 3) 3)侧侧垂面垂面垂直于垂直于W W 面。面。abcacbc b a XZoYHYW投影面垂直面投
34、影面垂直面 1)1)在在其其所所垂垂直直的的投投影影面面上上，投投影影为为斜斜直直线线，有有积积聚聚性性；该该斜斜直直线线与与投投影影轴轴的的夹夹角角反反映映该该平平面面对对相相应应投影面的投影面的倾倾角；角； 2)2)如如用用平平面面图图形形表表示示平平面面，那那么么在在另另外外两两个投影面上的投影不是个投影面上的投影不是实实形，但有相仿性。形，但有相仿性。铅垂面垂面相仿性相仿性相仿性相仿性积聚性聚性 投影面投影面垂直面的投垂直面的投影特性是：影特性是：称号称号立体图立体图投影图投影图投影特性投影特性铅垂面铅垂面H正垂面正垂面V侧垂面侧垂面W1)H投影为斜直线，投影为斜直线，有积聚性，且反有
35、积聚性，且反映映、 大小大小2)V、W投影不是投影不是实形，但有相仿实形，但有相仿性。性。1)V投影为斜直线，投影为斜直线，有积聚性，且反有积聚性，且反映映、大小大小2)H、W投影不是投影不是实形，但有相仿实形，但有相仿性。性。1)W投影为斜直投影为斜直线，有积聚性，线，有积聚性，且反映且反映、大大小小2)H、V投影不是投影不是实形，但有相仿实形，但有相仿性。性。 用迹线表示投影面平行面和投用迹线表示投影面平行面和投影面垂直面影面垂直面: :5.3.3 5.3.3 投影面平行面投影面平行面 垂直于两个投影面的平面，平行垂直于两个投影面的平面，平行于第三个投影面。于第三个投影面。 根根据据其其所
36、所平平行行的的投投影影面面不不同同，投投影影面平行面也可分面平行面也可分为为三种：三种： 1)程度面程度面平行于平行于H 面；面； 2)正平面正平面平行于平行于V 面；面； 3)侧侧平面平面平行于平行于W 面。面。abca b c abcXZoYHYW投影面平行面投影面平行面投影面平行面的投影特性是：投影面平行面的投影特性是： 1)1)如如平平面面用用平平面面形形表表示示，那那么么其其在在所所平平行行的的投投影影面面上的投影，反映平面形的上的投影，反映平面形的实形；形； 2)2)在在另另外外两两个个投投影影面面上上的的投投影影均均为直直线段段，有有积聚聚性，且平行于相性，且平行于相应的投影的投
37、影轴。程度面程度面积聚性聚性积聚性聚性实 形形称号称号立体图立体图投影图投影图投影特性投影特性程度面程度面H正平面正平面V侧平面平面W)1)H投影反映实投影反映实形；形；2)V、W投影分投影分别为平行别为平行OX 、OYW轴的直线轴的直线段，有积聚性段，有积聚性1)V投影反映实投影反映实形；形；2)H、W投影分投影分别为平行别为平行OX、OZ轴的直线段，轴的直线段，有积聚性有积聚性1)W投影反映实投影反映实形；形；2)V、H投影分投影分别为平行别为平行OZ、OYH轴的直线轴的直线段，有积聚性段，有积聚性5.5 5.5 平面上的直线和点平面上的直线和点点在平面上的条件：点在平面上的条件： 假假设
38、点在平面上的某不断点在平面上的某不断线上，那么此上，那么此点必在点必在该平面上平面上 。5.5.1 5.5.1 平面内的点平面内的点 直直线线在平面上的条件在平面上的条件: :经过经过平面上的两个点或平面上的两个点或经过经过平面上的一个点且平行于平面上的一条直平面上的一个点且平行于平面上的一条直线线 。5.5.2 5.5.2 平面内的直线平面内的直线1abcabcdkd过平面内两知点平面内两知点作作辅助助线求解求解kX2abcabcdkd过平面内一个知点作平面内平面内一个知点作平面内知直知直线的平行的平行线求解求解kX例例1知平面知平面ABC内一点内一点K的的H投影投影k, 试求试求K 点的点
39、的V 投影投影k。003 3abcabcdd过平面内一个知点作投影面的平行平面内一个知点作投影面的平行线求解求解kXk例例1知平面知平面ABC内一点内一点K的的H投影投影k, 试求试求K 点的点的V 投影投影k。例例2知四知四边形平面形平面ABCD的的H投影投影abcd和和ABC的的V 投影投影abc，试完成其完成其V 投影投影 。1 衔衔接接ac 和和ac 得得辅辅助助线线AC 的两投影；的两投影；d acbdbacX2 衔衔接接bd 交交ac于于e； 3 由由e 在在ac上求出上求出e；4 衔衔接接be， 在在be上求出上求出d；5 分分别衔别衔接接ad ；及；及 cd，即，即为为所求。所
40、求。 eePVPHabXab例例3知铅垂面知铅垂面P内一条程度线内一条程度线AB的端点的端点A的两的两投影，且投影，且AB=20mm，求直线，求直线AB的两投影。的两投影。分析：分析：铅垂面垂面P 的的H 投影有投影有积聚聚性，性，铅垂面垂面P 内点和直内点和直线的的H 投投影，必重合于影，必重合于P H 迹迹线上，而直上，而直线AB为程度程度线，故其，故其H 投影反投影反映映实长。作作图步步骤：1 在迹在迹线线PH上，上，过过a量取量取ab=20mm，得点，得点b ；202 由由b引垂引垂线线，与自，与自a所作所作OX 的平行的平行线线相交，相交， 其交点其交点为为b，那么，那么ab,ab
41、即即为为所求。所求。05.6 5.6 直线与平面平行直线与平面平行 直直线线与平面平行的条件与平面平行的条件: :直直线线平行于平行于该该平面的平面的一条直一条直线线。例例1-13判别图判别图1-54中，直线中，直线AB与平面与平面CDE能否平行。能否平行。作作图步步骤：在：在V面上作直面上作直线12平行于平行于ab,过1、2向下做垂向下做垂线，分，分别与与cd和和ce交与交与1、2两点两点 由于由于12与与ab不平行，不平行，即直即直线AB与平面与平面CDE不平不平行。行。例例1-14如图如图1-55所示，经过所示，经过A点，作一条正点，作一条正平线，与平面平线，与平面CDE平行。平行。作作
42、图步步骤：在：在H面上作不面上作不断断线与与OX轴平行，与平行，与cd和和ce交与交与m、n两点，两点，过m、n两点分两点分别向上引垂向上引垂线，与与cd和和ce交与交与m、n两两点点,那么直那么直线MN就是平面就是平面CDE内的一条正平内的一条正平线。 过a、a分分别作作ab mn、 ab mn,那么那么AB既是一条正既是一条正平平线，同，同时也与平面也与平面CDE平行。平行。 留意：当平面是特殊位置平面留意：当平面是特殊位置平面时，判，判别直直线与平面能与平面能否平行，只需看否平行，只需看该平面平面积聚聚为不断不断线的投影能否与直的投影能否与直线的同名投影平行就可以了。的同名投影平行就可以
43、了。5.7 5.7 平面与平面平行平面与平面平行平面与平面平行的几何条件是：一平面内的两条平面与平面平行的几何条件是：一平面内的两条相交直相交直线，分，分别平行另一平面内的两条相交直平行另一平面内的两条相交直线。【例【例1-15 】判】判别平面平面ABC与平面与平面DEFG能否平行。能否平行。作作图步步骤：有：有图可知可知acef,ac ef,那么直那么直线AC EF。过a点作点作a2直直线，过2点向上点向上引垂引垂线，与，与bc交与交与2点，点，得到直得到直线a 2，在平面，在平面defg内，作内，作e1 a2，利用一，利用一样的方法得到的方法得到1点，点，衔接接e 1，由，由图可知，可知，
44、 e 1 a 2，因此，直，因此，直线E A .5.8 5.8 直线与平面相交、平面与平面相交直线与平面相交、平面与平面相交 直直线与平面相交，就是研与平面相交，就是研讨直直线和平面的交点如何确定和平面的交点如何确定的的问题。当直。当直线与平面相交与平面相交时，只需交点。，只需交点。一直一直线与特殊位置平面相交与特殊位置平面相交 求直求直线与特殊位置平面的交点与特殊位置平面的交点时，应该利用特殊平面的利用特殊平面的积聚性。聚性。留意：直留意：直线与平与平面相交面相交时，直，直线的某一部分能的某一部分能够被平面所遮被平面所遮挡，因此需求判因此需求判别直直线的可的可见性性【例【例1-17 】求作直
45、线和正垂面的交点。】求作直线和正垂面的交点。作作图步步骤：用字母：用字母k 表示表示ab与与cd e产生的交点。由生的交点。由k 向下引垂向下引垂线与与ab相交，那么交点就是直相交，那么交点就是直线AB与平面与平面CDE交点交点K的的H面投影面投影k。可可见性判性判别：自：自21向上引垂向上引垂线，交，交cd e与与1 点，点，交交 ab与与2 点，由于点，由于2 点在上，是可点在上，是可见的，的，1 在下，不在下，不可可见，因此，因此，kb是可是可见的，的，k4是不可是不可见的，的，4a外仍外仍为可可见的。的。e2 1 e二普通位置平面与特殊位置平面相交二普通位置平面与特殊位置平面相交 两平
46、面相交，交两平面相交，交线是一条直是一条直线，交，交线上的点是两平面的上的点是两平面的共有点。共有点。 求普通位置平面与特殊位置平面的交求普通位置平面与特殊位置平面的交线时，可以，可以归结为求普通位置平面上两直求普通位置平面上两直线与特殊位置平面的两个交点，与特殊位置平面的两个交点，交点的交点的连线就是两平面的交就是两平面的交线。 应该充分利用特殊位置平面在其垂直的投影面上的投影充分利用特殊位置平面在其垂直的投影面上的投影积聚成一条直聚成一条直线，交，交线的投影和特殊位置平面的的投影和特殊位置平面的积聚投聚投影一定重合。影一定重合。【例【例1-18】求平面】求平面ABC与平面与平面DEF的交的
47、交线线。作作图分析：由于分析：由于ABC是是铅垂面，在垂面，在H面上面上积聚成一条直聚成一条直线，因此两平面的交因此两平面的交线一定在一定在ABC的的积聚投影上。聚投影上。用用12表示出交表示出交线的程度投影，自的程度投影，自1、2分分别向上引垂向上引垂线，与，与de、df分分别产生交点生交点1、2，衔接接1、2两点，那么两点，那么1、2就是交就是交线的的V面投影。由于面投影。由于1 点在点在图形形a b c 之外，因之外，因此交此交线为两平面公共部分。两平面公共部分。可可见性分析：判性分析：判别时，利用重，利用重影点来确定。影点来确定。详细判判别过程如下：程如下：过34向下引垂向下引垂线，首
48、先与平面，首先与平面DEF的的H面投影交与面投影交与4点，然后点，然后与平面与平面ABC的的H面投影交与面投影交与3点。点。由于由于3点在前，是可点在前，是可见的，的，3点点在平面在平面ABC上，所以，在上，所以，在V面面投影中，投影中，12ef是可是可见的，用的，用实线表示，而表示，而12c是不可是不可见的，的，用虚用虚线表示，表示，图形以外的部分形以外的部分依然用依然用实线表示。表示。 由于交由于交线是可是可见与不可与不可见的分界限，在的分界限，在12的另一的另一侧，12ab是可是可见的，的，12d是不可是不可见的，用虚的，用虚线表示，表示，图形以形以外的同外的同样用用实线表示。表示。三直
49、三直线与普通位置平面相交与普通位置平面相交 直直线与普通位置平面相交，求交点。首先与普通位置平面相交，求交点。首先过直直线做一做一辅助平面，助平面，该辅助平面必需是特殊位置平面，助平面必需是特殊位置平面，普通普通为投影面的垂直面，通常用迹投影面的垂直面，通常用迹线来表示。来表示。 然后求出然后求出辅助平面与普通位置平面的交助平面与普通位置平面的交线，交，交线与知直与知直线的交点就是直的交点就是直线与普通位置平面的交点。与普通位置平面的交点。【例【例1-19】求直线】求直线EF与普通位置平面的交点。与普通位置平面的交点。【例【例1-19】求直线】求直线EF与普通位置平面的交点。与普通位置平面的交
50、点。作作图步步骤：过直直线做一做一铅垂面，垂面，用用PH表示。先求出平面表示。先求出平面P与平面与平面ABC交交线的的H面投影面投影12，然后，然后过1、2分分别向上引垂向上引垂线，得到两平，得到两平面交面交线V面投影面投影1 2 ， 1 2 与与直直线EF的的V面投影面投影e f 的交点的交点m ,那么那么m 就是直就是直线EF与平面与平面ABC交点的交点的V面投影。面投影。过m 向向下做垂下做垂线与与ef相交，得到交点相交，得到交点m，即，即为交点的交点的H面投影。面投影。直直线的可的可见性判性判别：从：从d(1)点向上引垂点向上引垂线，与，与ac交与交与1点，与点，与ef交与交与d点，点
51、， d点在上，点在上， 1点在下，因此，在点在下，因此，在H面投影上，面投影上，me是可是可见的，另一部分的，另一部分mf中中m2是不可是不可见的，的，用虚用虚线表示。从表示。从3 g 向下引垂向下引垂线，与，与ac交与交与g，交，交ef与与3，3点在前，点在前，g点在后，那么点在后，那么m f 是可是可见的，的， m e位位于平面内的部分是不可于平面内的部分是不可见的的四两普通位置平面相交四两普通位置平面相交 两普通位置平面相交，求两相交平面两普通位置平面相交，求两相交平面产生生的交的交线时，可采用上述求普通位置平面的，可采用上述求普通位置平面的交点的方法，求出一个平面的两条直交点的方法，求
52、出一个平面的两条直线与与另一平面另一平面产生的交点，两交点生的交点，两交点衔接起来就接起来就是两普通位置平面相交是两普通位置平面相交产生的交生的交线。【例【例1-20】求两普通位置平面】求两普通位置平面ABC与与DEF的交的交线线过DE做做辅助助铅垂面垂面P，在，在H面上的投影用迹面上的投影用迹线PH表示作表示作出平面出平面P与平面与平面ABC的交的交线TU的两面投影，求出的两面投影，求出TU与与DE的交点的交点M的投影。采用一的投影。采用一样的方法，的方法，过直直线DF做做辅助助铅垂面垂面Q，求出，求出Q与平面与平面ABC的投影，做出交的投影，做出交线RS与与DF的的交点交点N的投影，的投影
53、，衔接接MN的同名投影，那么的同名投影，那么mn与与m n 即即为两平面两平面产生的交生的交线。五直五直线与平面垂直与平面垂直 判判别直直线与平面垂直的与平面垂直的规那么是：一条那么是：一条直直线假假设和平面内的恣意两条直和平面内的恣意两条直线垂直，垂直，那么那么该直直线与与该平面垂直。平面垂直。这样直直线与平与平面的垂直面的垂直问题就化就化为直直线与直与直线的垂直的垂直问题。 选取平面内的两条相交直取平面内的两条相交直线时，普通，普通选择特殊位置直特殊位置直线，其中一条，其中一条为程度程度线，另，另一条一条为正平正平线；假；假设直直线与平面垂直，那与平面垂直，那么么该直直线一定与平面内的程度
54、一定与平面内的程度线和正平和正平线垂直。垂直。【例【例1-21】过过知点知点M作平面作平面ABC的垂的垂线线。解解 过b 作直作直线平行于平行于OX轴，与，与a c 交与点交与点d ,过d 作作铅垂垂线，与，与ac相交得到相交得到d点，点，过m作作bd的垂的垂线mn。 过c作平行于作平行于OX轴的平行的平行线ce，用同，用同样的方法求出的方法求出c e 的的投影，的的投影，过m 做做c e 的垂的垂线。过n点向上引垂点向上引垂线，与与过m 的点所做的垂的点所做的垂线相交，交点就是相交，交点就是n ，那么，那么MN即即为所求。所求。六平面与平面垂直六平面与平面垂直 判判别平面与平面垂直的平面与平
55、面垂直的规那么是：假那么是：假设一个平面一个平面经过另一个平面的一条垂另一个平面的一条垂线，或，或者一个平面有一条直者一个平面有一条直线垂直与另一平面，垂直与另一平面，这两个平面相互垂直。据此判两个平面相互垂直。据此判别两个平面两个平面能否垂直，也可以作知平面的垂面。能否垂直，也可以作知平面的垂面。【例【例1-22】判】判别别两平面能否垂直。两平面能否垂直。解解 在在 平面上，分平面上，分别作程度作程度线和正平和正平线15、 15 、24 、24。 过a点点15的垂的垂线，交，交bc与与m点，根据点的三面投影点，根据点的三面投影规律求律求得得m 点，延伸点，延伸a m 、2 4 ，两直，两直线垂直，那么垂直，那么阐明直明直线AM垂直与平面垂直与平面 ，直，直线AM又在平面又在平面ABC内，因此，内，因此，两平面垂直。两平面垂直。七平面多七平面多边形的形的实形形 利用直角三角形法可以求普通位置直利用直角三角形法可以求普通位置直线的的实长，对于平面多于平面多边形而言，可以反复利用直角三角形形而言，可以反复利用直角三角形法把平面多法把平面多边形的形的实长求出来，然后利用几何作求出来，然后利用几何作图法，最法，最终求出平面多求出平面多边形的形的实形。形。
