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1、观观 察察在图（）中，根据圆内接四边形性质，在图（）中，根据圆内接四边形性质，在图（）中，根据圆内接四边形性质，在图（）中，根据圆内接四边形性质， 有有有有在图（）中，是切线时，在图（）中，是切线时， 仍成立吗？仍成立吗？（）（）（）（） （）（）猜想：猜想：ABCABC是是O O的内接三角形，的内接三角形，CECE是是O O切切线，则线，则BCE= A.BCE= A. 分分析：延用从特殊到一般的思路。先分析析：延用从特殊到一般的思路。先分析ABCABC为直角三角形时的情形，再将锐角三角为直角三角形时的情形，再将锐角三角形和钝角三角形的情形化归为直角三角形的形和钝角三角形的情形化归为直角三角形
2、的情形。情形。O OC CO OC CO OC C(1)圆心O在 ABC的边BC上证明证明: :即即ABCABC为直角三角形为直角三角形A AB BO OC CE ECECE为切线，为切线， BCEBCE90 90 又又A A是半圆上的是半圆上的圆周角，圆周角， A A90 90 BCEBCEA A(2)(2)圆心圆心o o在在ABCABC的内部的内部作作o o的直径的直径CP,CP,则则O OC CP PPCE= PAC= 90 PCE= PAC= 90 BCE= PCE-PCBBCE= PCE-PCB= 90= 90-PCB.-PCB.BAC= PAC-PABBAC= PAC-PAB= 9
3、0= 90- -PAB.PAB.而而PAB= PCBPAB= PCBBCE= BACBCE= BAC(3)(3)圆心圆心0 0在在ABCABC的外部的外部, ,作作O O的直径的直径CP,CP,那么那么 O OC CP PPCE= PAC= 90 PCE= PAC= 90 BCE= PCE+PCBBCE= PCE+PCB = 90= 90+PCB.+PCB.BAC= PAC+PABBAC= PAC+PAB = 90= 90+ +PAB.PAB.而而PAB= PCBPAB= PCBBCE= BACBCE= BAC综上所述，综上所述，猜想成立。猜想成立。A AA AA AA AA AB BB BB
4、 BB BB BC CC CC CC CC下面五个图中的下面五个图中的BACBAC是不是弦切角？是不是弦切角？ 1. 1.弦切角弦切角: :顶点在圆上，一边与圆相交，另一边顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角。与圆相切的角叫做弦切角。几何语言几何语言: : BABA切切O O于于A AACAC是圆是圆O O的弦的弦2.2.弦切角定理弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。D DBAC= ADCBAC= ADCm m例例1.1.如图已知如图已知ABAB是是O O的直径的直径,AC,AC是弦是弦, ,直线直线CECE和和O O切于点切于点C,
5、ADCE,C,ADCE,垂足为垂足为D.D.求证求证:AC:AC平分平分BAD.BAD.O OA AB BC CD DE E1 12 2思路一思路一: :思路二思路二思路二思路二: : 连结连结OC,由切线性质由切线性质,可得可得OC AD,于是于是有有2= 3,又由于又由于1= 3,可证得可证得1= 2OABCDE3121.1.弦切角弦切角: :顶点在圆上，一边与圆相交，顶点在圆上，一边与圆相交， 另一边与圆相切的角。另一边与圆相切的角。一般情况下，弦切角、圆周角、圆心一般情况下，弦切角、圆周角、圆心角都是通过它们角都是通过它们所夹的（或所对的）同一所夹的（或所对的）同一条弧（或等弧）条弧（
6、或等弧）联系起来，因此，当已知联系起来，因此，当已知有切线时有切线时常添线构建弦切角常添线构建弦切角或或添切点处的添切点处的半径半径应用切线的性质求解。应用切线的性质求解。 2.2.弦切角定理弦切角定理: : 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角. .小结小结：注意：注意：习题2.4 1.如图，经过圆上的点T的切线和弦AB的延长线相交于点C。 求证：ATC=TBC 2.如图，O和O都经过A,B点，AC是O的切线，交O于点C,AD是O的切线，交O于点D,求证：AB=BCBDACTBBACOOD 问问题题1 1：四四边边形形ACBDACBD为为O O的的内内接接四四边边
7、形形，ABAB是是直直径径，CDABCDAB，图图中中有有哪哪些些直直角角三三角角形形？有有哪哪些些相相等等的的线线段段？有有哪哪些些相相等等的的弧弧？有有哪哪些些相相等等的的角角？有有哪些相似三角形（包括全等）？哪些相似三角形（包括全等）？ O OB BA AC CD DP P 相交弦定理相交弦定理: :圆内的两条相交弦，被交点分圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。成的两条线段长的积相等。 推论推论: :如果弦与如果弦与直径垂直直径垂直相交时相交时, ,那么弦的那么弦的一半是它分直径所成两线段的比例中项。一半是它分直径所成两线段的比例中项。 PAPAPB=PCPB=PCPDPD
8、PCPC2 2 = = PAPAPBPB例例1.1.如图如图:O:O的弦的弦ABAB、CDCD相交于点相交于点P,PA=8,PB=9P,PA=8,PB=9（1 1）若）若PC=4PC=4，则，则PD=PD= ，CD=CD= 。（4 4）若）若CD=18(PCPD)CD=18(PCPD)，则，则PC=PC= ，PD=PD= 。（3 3）若）若PC:PD=2:3PC:PD=2:3，则，则PC=PC= ，PD=PD= 。（2 2）若）若PC=PDPC=PD，则，则CD=CD= 。D DO OB BA AC CP P8 89 91818222212126 6 例例例例2 2 2 2、已知、已知、已知、
9、已知ABABABAB是是是是O O O O的弦，的弦，的弦，的弦，P P P P是是是是ABABABAB上一点，上一点，上一点，上一点，AB=11AB=11AB=11AB=11，PA=3PA=3PA=3PA=3，OP=5OP=5OP=5OP=5，求求求求O O O O的半径。的半径。的半径。的半径。 O OB BA AP PC CD D 例例例例3 3 3 3、已知：点、已知：点、已知：点、已知：点C C C C为为为为ABABABAB的中点，点的中点，点的中点，点的中点，点D D D D为弦为弦为弦为弦ABABABAB的中的中的中的中点，点，点，点，CD=1CD=1CD=1CD=1，AB=6
10、AB=6AB=6AB=6，求求求求O O O O的直径。的直径。的直径。的直径。 C CA AB BD DE E 例例4 4、如图：、如图：O O1 1和和O O2 2相交于相交于A A、B B两点，两点，直线直线CFCF交弦交弦ABAB于于P P，分别交分别交O O1 1于于C C、D D，交交O O2 2于于E E、F F，求证：求证：PCPCPD=PEPD=PEPF PF C CO O1 1O O2 2F FA AB BP PE ED D 例例5 5、如图：已知、如图：已知ABCABC中，以中，以BCBC为直径的为直径的O O分别分别交交ABAB、ACAC于于F F、E E，ADBCADBC，垂足为垂足为D D，ADAD交交O O于于G G，交，交BEBE于于H H， 求证：求证：DGDG2 2=DH=DHDA DA C CB BD DA AE EH HG GF F 练习：已知：练习：已知：B B为为CDCD的中点的中点,AB,AB为为O O的的直径直径,F,F为为ABAB延长线上一点延长线上一点,AB,AB与与CDCD相交于相交于P P，PEDFPEDF，求证：求证：APAP PB=DEPB=DE DF DF O OB BA AF FC CD DP PE E
