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1、本节主要解决以下两个方面的问题本节主要解决以下两个方面的问题: :1 1 空间曲线的切线问题空间曲线的切线问题2 2 空间曲面的切平面问题空间曲面的切平面问题第六节第六节 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用设曲线的参数方程为设曲线的参数方程为一、空间曲线的一、空间曲线的切线切线与与法平面法平面切线切线: 割线的极限位置称为切线割线的极限位置称为切线.割线割线 的方程为的方程为上式分母同除以上式分母同除以切线切线:割线的极限位置称为切线割线的极限位置称为切线.法平面法平面: 过过M点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面,曲线在点曲线在点M处的法平面方程为：处的法平面方程为：解解故
2、故,切线方程为切线方程为: 法平面方程为法平面方程为:例例1 1解解练习练习1 1故故,切线方程为切线方程为: 法平面方程为法平面方程为:1. 空间曲线的方程为空间曲线的方程为:法平面方程为：法平面方程为：特殊地：特殊地：切线方程为切线方程为:解解练习练习2切向量切向量2. 空间曲线的方程为空间曲线的方程为:切线方程为切线方程为:法平面方程为：法平面方程为：( 方程两边求导方程两边求导 法求法求例例2解解2 将所给方程的两边对将所给方程的两边对x求导并移项，得求导并移项，得:解解1 直接利用公式直接利用公式(不提倡使用该法不提倡使用该法).所以有切向量所以有切向量故故, 所求切线方程为所求切线
3、方程为:法平面方程为法平面方程为:设曲面方程为设曲面方程为曲线在曲线在M处的一个切向量为处的一个切向量为: :切平面切平面二、曲面的二、曲面的切平面切平面与与法线法线在曲面上任取一条通在曲面上任取一条通过点过点M的曲线的曲线法线法线令令显然显然曲线在曲线在M处的一个切向量为处的一个切向量为:令令显然显然故故, ,切平面方程为切平面方程为: :法线方程为法线方程为: :垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量法向量. .若曲面方程为若曲面方程为曲面在点曲面在点M(x0, y0, z0) 的的切平面方切平面方程程法线方程法线方程为为曲面在曲面在 M (x0, y0
4、, z0) 处的处的法向量法向量解解 令令例例3 3故故,切平面方程为：切平面方程为：法线方程为：法线方程为：时时, 法线方程法线方程令令特别特别, 当光滑曲面当光滑曲面 的方程为显式的方程为显式 切平面方程切平面方程曲面在曲面在 M (x0, y0, z0) 处的处的法向量法向量解解1切平面方程为切平面方程为法线方程为法线方程为练习练习3 3解解2练习练习3 3故故,切平面方程为：切平面方程为：法线方程为：法线方程为：点点M处的切平面的一个法向量为处的切平面的一个法向量为:解解例例4 4依题意依题意, 切平面平行于已知平面切平面平行于已知平面, 所以所以:代入曲面方程代入曲面方程, 解得解得
5、:故故, 所求切点为：所求切点为：所以所以, 所求切平面的方程为所求切平面的方程为:和和故故, 所求切点为：所求切点为：空间曲面方程形为空间曲面方程形为曲面在点曲面在点M处的切平面方程为处的切平面方程为:令令曲面在点曲面在点 M ( x0, y0, z0 ) 处的切平面的法向量为处的切平面的法向量为:全微分的几何意义全微分的几何意义:练习练习解解: 设切点为设切点为依题意知依题意知, 切平面另一个法向量为切平面另一个法向量为因为切点满足曲面和平面方程，所以因为切点满足曲面和平面方程，所以:三、小结与教学基本要求三、小结与教学基本要求( (掌握掌握):):曲线的切线与法平面曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线切向量切向量法向量法向量习题习题 9-6 ( P100): 4, 5,6, 8,12. 12. 试证曲面试证曲面上上任何点处任何点处的的切平面在各坐标轴上的截距之和等于切平面在各坐标轴上的截距之和等于 a。证证曲面上任取一点曲面上任取一点 M (x0, y0, z0).设设曲面在点曲面在点 M (x0, y0, z0) 处的法向量处的法向量切平面方程切平面方程（书（书100页）页）切平面方程切平面方程点点 M 在曲面上，因此在曲面上，因此切平面方程切平面方程化为截距式化为截距式所以截距之和为所以截距之和为
