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1、 第十章第十章第十章第十章 微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程微分方程与差分方程10.1 10.1 10.1 10.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念微分方程的基本概念微分方程的基本概念10.2 10.2 10.2 10.2 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程10.3 10.3 10.3 10.3 一阶微分方程在经济学中的综合应用一阶微分方程在经济学中的综合应用一阶微分方程在经济学中的综合应用一阶微分方程在经济学中的综合应用10.4 10.4 10.4 10.4 可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程10.5 1
2、0.5 10.5 10.5 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程10.6 10.6 10.6 10.6 差分与差分方程的概念、常系数线性差分方程差分与差分方程的概念、常系数线性差分方程差分与差分方程的概念、常系数线性差分方程差分与差分方程的概念、常系数线性差分方程解的结构解的结构解的结构解的结构10.7 10.7 10.7 10.7 一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程10.8 10.8 10.8 10.8 二阶常系数线性差分方程二阶常系数线性差分方程二阶常系数线性差分方程二阶常系数线性差分
3、方程10.9 10.9 10.9 10.9 差分方程的简单经济应用差分方程的简单经济应用差分方程的简单经济应用差分方程的简单经济应用1N(t) N(t) 时刻时刻时刻时刻 t t 的人口数量的人口数量的人口数量的人口数量基本假设基本假设基本假设基本假设 : : 人口净增长率人口净增长率人口净增长率人口净增长率 r r单位时间内人口单位时间内人口单位时间内人口单位时间内人口 的净增长数与人口总数之比）的净增长数与人口总数之比）的净增长数与人口总数之比）的净增长数与人口总数之比） 是常数。是常数。是常数。是常数。 马尔萨斯人口模型马尔萨斯人口模型英英国国人人口口学学家家Malthus(1766-1
4、834Malthus(1766-1834于于17981798年年提出提出. .随着时间增加，人口按指数规律无限增长随着时间增加，人口按指数规律无限增长随着时间增加，人口按指数规律无限增长随着时间增加，人口按指数规律无限增长. .2例例1 1 （以一种新的观点描述连续复利）（以一种新的观点描述连续复利） 假设某人以本金假设某人以本金P0元进行一项投资，投资的年利率为元进行一项投资，投资的年利率为r，若以连，若以连续复利计，则续复利计，则t年末的资金总额为：年末的资金总额为： 现在我们将从另一种观点导出现在我们将从另一种观点导出1）. 设设t时刻的资金总额为时刻的资金总额为P(t)，且资金没有取出
5、也没有新的投入，且资金没有取出也没有新的投入.那那么么: t时刻资金总额的变化率时刻资金总额的变化率 = t时刻资金总额获取的利息时刻资金总额获取的利息.解得解得3二、基本概念微分方程微分方程微分方程微分方程Differential EquationsDifferential EquationsDifferential EquationsDifferential Equations）: : : :联系着自变量、未联系着自变量、未联系着自变量、未联系着自变量、未知函数及函数的导数或微分的关系式知函数及函数的导数或微分的关系式知函数及函数的导数或微分的关系式知函数及函数的导数或微分的关系式. .
6、. .常微分方程常微分方程常微分方程常微分方程Ordinary Differential EquationsOrdinary Differential EquationsOrdinary Differential EquationsOrdinary Differential Equations）: : : :自变量自变量自变量自变量只有一个的微分方程只有一个的微分方程只有一个的微分方程只有一个的微分方程. . . .偏微分方程偏微分方程偏微分方程偏微分方程Partial Differential EquationsPartial Differential EquationsPartial Di
7、fferential EquationsPartial Differential Equations）: : : :自变量自变量自变量自变量有两个或两个以上的微分方程有两个或两个以上的微分方程有两个或两个以上的微分方程有两个或两个以上的微分方程. . . .微分方程的阶微分方程的阶微分方程的阶微分方程的阶: : : : 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称之微分方程的阶阶数，称之微分方程的阶阶数，称之微分方程的阶阶数，称之微分方程的阶. . . .一阶微分方程 二阶微分方
8、程 4微分方程的解微分方程的解微分方程的解微分方程的解: : : : 代入微分方程能使方程成为恒等式的函代入微分方程能使方程成为恒等式的函代入微分方程能使方程成为恒等式的函代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解数称为微分方程的解数称为微分方程的解数称为微分方程的解. . . .例例1 1 （以一种新的观点描述连续复利）（以一种新的观点描述连续复利） 设设t t时刻的资金总额为时刻的资金总额为P(t)P(t)，且资金没有取出也没有新，且资金没有取出也没有新的投入的投入. .那么那么 t t时刻资金总额的变化率时刻资金总额的变化率 = t = t时刻资金时刻资金总额获取的利息总额获取
9、的利息. .（C为任意的常数）为任意的常数）通解通解通解通解特解特解特解特解初始条件初始条件5(2)(2)(2)(2)特解特解特解特解: : : :确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解. . . .微分方程的解的分类：微分方程的解的分类：微分方程的解的分类：微分方程的解的分类：(1)(1)(1)(1)通解通解通解通解: : : : 微分方程的解中含有相互独立的任意常微分方程的解中含有相互独立的任意常微分方程的解中含有相互独立的任意常微分方程的解中含有相互独立的任意常数数数数, , , ,且任意常数的个数与微分方程的阶数
10、相同且任意常数的个数与微分方程的阶数相同且任意常数的个数与微分方程的阶数相同且任意常数的个数与微分方程的阶数相同. . . .例例例例通解通解通解通解: : : :特解特解特解特解: : : :特解的图象特解的图象特解的图象特解的图象: : : :微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线. . . .通解的图象通解的图象通解的图象通解的图象: : : :积分曲线族积分曲线族积分曲线族积分曲线族. . . .xy06解解 由于由于7解解 知知因此所求特解为因此所求特解为 x=Acost .8练习练习 验证验证下列函数是二下列函数是二下列函数是二下列函数是二阶阶微分
11、方程微分方程微分方程微分方程 的解的解的解的解. . （1）（2 2）(C1 ,C2 (C1 ,C2 为任意常数为任意常数为任意常数为任意常数) )验证验证令令令令 C1=-1, C2=1 , C1=-1, C2=1 , 即解即解即解即解(2).(2).通解通解通解通解 特解特解特解特解 9二、基本概念微分方程微分方程微分方程微分方程Differential EquationsDifferential EquationsDifferential EquationsDifferential Equations）: : : :联系着自变量、未联系着自变量、未联系着自变量、未联系着自变量、未知函数及
12、函数的导数或微分的关系式知函数及函数的导数或微分的关系式知函数及函数的导数或微分的关系式知函数及函数的导数或微分的关系式. . . .常微分方程常微分方程常微分方程常微分方程Ordinary Differential EquationsOrdinary Differential EquationsOrdinary Differential EquationsOrdinary Differential Equations）: : : :自变量自变量自变量自变量只有一个的微分方程只有一个的微分方程只有一个的微分方程只有一个的微分方程. . . .偏微分方程偏微分方程偏微分方程偏微分方程Partia
13、l Differential EquationsPartial Differential EquationsPartial Differential EquationsPartial Differential Equations）: : : :自变量自变量自变量自变量有两个或两个以上的微分方程有两个或两个以上的微分方程有两个或两个以上的微分方程有两个或两个以上的微分方程. . . .微分方程的阶微分方程的阶微分方程的阶微分方程的阶: : : : 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的微分方程中出现的未知函数的最高阶导数
14、的阶数，称之微分方程的阶阶数，称之微分方程的阶阶数，称之微分方程的阶阶数，称之微分方程的阶. . . .一阶微分方程 二阶微分方程 10微分方程的解微分方程的解微分方程的解微分方程的解: : : : 代入微分方程能使方程成为恒等式的函代入微分方程能使方程成为恒等式的函代入微分方程能使方程成为恒等式的函代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解数称为微分方程的解数称为微分方程的解数称为微分方程的解. . . .(1)(1)(1)(1)通解通解通解通解: : : : 微分方程的解中含有相互独立的任意常微分方程的解中含有相互独立的任意常微分方程的解中含有相互独立的任意常微分方程的解中含有相互独立的任意常数数数数, , , ,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同且任意常数的个数与微分方程的阶数相同且任意常数的个数与微分方程的阶数相同且任意常数的个数与微分方程的阶数相同. . . .(2)(2)(2)(2)特解特解特解特解: : : :确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解. . . .初始条件初始条件11思考题思考题思考题解答思考题解答中不含任意常数中不含任意常数,故为微分方程的特解故为微分方程的特解.
