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1、4.2.1 4.2.1 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系2021/3/111问题提出问题提出 1 1、点到直线的距离公式、点到直线的距离公式, ,圆的标准方圆的标准方程和一般方程分别是什么？程和一般方程分别是什么？ 2021/3/1122021/3/113思考思考2:2:如何根据直线与圆的公共点个数判断直线如何根据直线与圆的公共点个数判断直线与圆的位置关系？与圆的位置关系？ 相交相交 两个公共点两个公共点相切相切 一个公共点一个公共点相离相离 没有公共点没有公共点思考思考1:1:在平面几何中在平面几何中, ,直线与圆的位置关直线与圆的位置关系有几种？系有几种？ 知识探究知识探究( (一一)
2、 )：直线与圆的位置关系的判定直线与圆的位置关系的判定2021/3/114思考思考3:3:在平面几何中，我们怎样判断直线在平面几何中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？与圆的位置关系？ drdrdrd dr r2021/3/115思考思考4:4:在平面直角坐标系中，我们用方程表在平面直角坐标系中，我们用方程表示直线和圆，如何根据直线与圆的方程判断示直线和圆，如何根据直线与圆的方程判断它们之间的位置关系？它们之间的位置关系？方法一方法一: :根据直线与圆的联立方程组的根据直线与圆的联立方程组的公共解个数判断；公共解个数判断； 方法二方法二: :根据圆心到直线的距离与圆半径根据圆心到直线的距离与圆半
3、径的大小关系判断的大小关系判断. .直线直线l：Ax+By+C=0圆圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)2021/3/116思考思考5:5:上述两种判断方法的操作步骤分别如何？上述两种判断方法的操作步骤分别如何？ 1.1.将直线方程与圆方程联立成方程组；将直线方程与圆方程联立成方程组；2.2.通过消元，得到一个一元二次方程；通过消元，得到一个一元二次方程；3.3.求出其判别式求出其判别式的值；的值；4.4.比较比较与与0 0的大小关系：的大小关系：若若0 0，则直线与圆相交；若，则直线与圆相交；若0 0，则直线，则直线与圆相切；若与圆相切；若0 0，则直线与圆相离，则直线与圆相离代数
4、法代数法n=0n=1n=2直线与圆直线与圆相离相离直线与圆直线与圆相切相切直线与圆直线与圆相交相交0利用直线与圆的公共点的个数进行判断：利用直线与圆的公共点的个数进行判断：2021/3/117几何法：几何法：1.1.把直线方程化为一般式把直线方程化为一般式, ,并求出圆心坐标和半径并求出圆心坐标和半径r r；2.2.利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离d d；3.3.利用圆心到直线的距离利用圆心到直线的距离d与半径与半径r的大小关系判断：的大小关系判断：d rd = rd 0所以，直线所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点与圆相交，有两个公共点202
5、1/3/1110 解法二解法二：圆圆 可化为可化为其圆心其圆心C的坐标为（的坐标为（0，1），半径长为），半径长为 ，点，点C （0，1）到）到直线直线 l 的距离的距离所以，直线所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点与圆相交，有两个公共点 例例1 如图，已知直线如图，已知直线l： 和圆心为和圆心为C的圆的圆 ，判断直线，判断直线 l 与圆的位置关系；与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标如果相交，求它们交点的坐标比较：几何法比代数法运算量少，比较：几何法比代数法运算量少，简便简便.2021/3/1111所以，直线所以，直线 l 与圆有两个交点，它们的坐标分别是：与圆有两个交点，它们的坐标
6、分别是：把把 代入方程代入方程，得，得 ；把把 代入方程代入方程 ，得，得 A（2，0），），B（1，3）由由 ，解得：，解得： 例例1 如图，已知直线如图，已知直线l： 和圆心为和圆心为C的圆的圆 ，判断直线，判断直线 l 与圆的位置关系；与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标如果相交，求它们交点的坐标解解：思考：此时弦长思考：此时弦长AB？2021/3/1112drD解法一：先求两个交点A,B，再用两点距离公式可求出。知识探究（二）：求直线与圆相交时的弦长知识探究（二）：求直线与圆相交时的弦长2021/3/1113解：解：将圆的方程写成标准形式，得：将圆的方程写成标准形式，得：即圆心到
7、所求直线的距离为即圆心到所求直线的距离为 如图，因为直线如图，因为直线l 被圆所截得的弦长是被圆所截得的弦长是 ，所以弦心距，所以弦心距为为 例例2 已知过点已知过点 的直线被圆的直线被圆所截得的弦长为所截得的弦长为 ，求直线的方程，求直线的方程因为直线因为直线l 过点过点 ，根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l 的距离：的距离：因此：因此：所以可设所求直线所以可设所求直线l 的方程为：的方程为：注意：利用斜率研究直线时，要注意：利用斜率研究直线时，要注意直线斜率不存在的情形，应注意直线斜率不存在的情形，应通过检验，判断它是否符合题意通过检验，判断它是
8、否符合题意.2021/3/1114即：即：两边平方，并整理得到：两边平方，并整理得到：解得：解得： 所以，所求直线所以，所求直线l有两条，它们的方程有两条，它们的方程分别为：分别为：或或 例例2 已知过点已知过点 的直线被圆的直线被圆所截得的弦长为所截得的弦长为 ，求直线的方程，求直线的方程解：解：即即:2021/3/11152021/3/1116知识探究（三）：圆的切线方程知识探究（三）：圆的切线方程思考思考1:1:过圆上一点、圆外一点作圆的切过圆上一点、圆外一点作圆的切线，分别可作多少条？线，分别可作多少条？ M MM M2021/3/1117思考思考2:2:设点设点M(xM(x0 0，y
9、 y0 0) )为圆为圆x x2 2y y2 2=r=r2 2上一点，如何上一点，如何求过点求过点M M的圆的切线方程？的圆的切线方程？M Mx xo oy y.,),(.,.12002202000000000ryyxxryxMxxyxyyMyxkxykk则则kkOMOM=+=+-=-=-= 所求的切线方程是所求的切线方程是在圆上在圆上, ,所以所以因为点因为点的切线方程是的切线方程是经过点经过点， 解解: :设切线的斜率为设切线的斜率为 2021/3/1118思考思考3:3:设点设点M(xM(x0 0，y y0 0) )为圆为圆 x x2 2y y2 2=r=r2 2外一点，如何外一点，如何
10、求过点求过点M M的圆的切线方程？的圆的切线方程？M Mx xo oy y2021/3/1119例例3.已知已知 C：(x-1)2+(y-2) 2=2，P(2,-1)，过，过P作作 C的的切线，切点为切线，切点为A、B。求切线直线求切线直线PA、PB的方程；的方程；解：解：1221-1-1OAB2021/3/1120例例4、直线直线l过点过点A(-1,4)且与圆且与圆(x-2)2+(y-3)2=1相相切切,求直线求直线l的方程。的方程。 注意：利用斜注意：利用斜率研究直线时，率研究直线时，要注意直线斜要注意直线斜率不存在的情率不存在的情形，应通过检形，应通过检验，判断它是验，判断它是否符合题意
11、否符合题意.当点当点A的坐标为的坐标为(2,2)或或(1,1)时，结果有变化吗？时，结果有变化吗？2021/3/1121例例6、求以求以N(1,3)为圆心，并且与直线为圆心，并且与直线3x-4y-7=0相切的圆的方程。相切的圆的方程。知识探究（三）：圆的方程知识探究（三）：圆的方程2021/3/11222021/3/1123知识小结知识小结有无交点，有几个有无交点，有几个直线直线l与圆与圆C的方程组成的方的方程组成的方程组是否有解，有几个解程组是否有解，有几个解判断圆判断圆C的圆心到直线的圆心到直线l的距的距离离d与圆的半径与圆的半径r的关系（大的关系（大于、小于、等于）于、小于、等于）判断直线与圆判断直线与圆的位置关系的位置关系2021/3/1124作业作业:P132:P132习题习题4.2A4.2A组：组：2 2，3 3，5 52021/3/1125
