第5章曲线与曲面ppt课件

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1、青岛农业大学第二篇 几 何青岛农业大学第第6章章 曲曲线与曲面与曲面青岛农业大学青岛农业大学6.1 基础知识基础知识n n自由曲线和曲面发展过程自由曲线和曲面发展过程自由曲线和曲面发展过程自由曲线和曲面发展过程n n自由曲线曲面的最早是出现在工作车间，为了获得特殊的曲线，人们自由曲线曲面的最早是出现在工作车间，为了获得特殊的曲线，人们自由曲线曲面的最早是出现在工作车间，为了获得特殊的曲线，人们自由曲线曲面的最早是出现在工作车间，为了获得特殊的曲线，人们用一根富有弹性的细木条或塑料条（叫做样条），用压铁在几个特殊用一根富有弹性的细木条或塑料条（叫做样条），用压铁在几个特殊用一根富有弹性的细木条或

2、塑料条（叫做样条），用压铁在几个特殊用一根富有弹性的细木条或塑料条（叫做样条），用压铁在几个特殊的点（控制点）压住样条，样条通过这几个点并且承受压力后就变形的点（控制点）压住样条，样条通过这几个点并且承受压力后就变形的点（控制点）压住样条，样条通过这几个点并且承受压力后就变形的点（控制点）压住样条，样条通过这几个点并且承受压力后就变形为一条曲线。人们调整不断调整控制点，使样条达到符合设计要求的为一条曲线。人们调整不断调整控制点，使样条达到符合设计要求的为一条曲线。人们调整不断调整控制点，使样条达到符合设计要求的为一条曲线。人们调整不断调整控制点，使样条达到符合设计要求的形状，则沿样条绘制曲线。

3、形状，则沿样条绘制曲线。形状，则沿样条绘制曲线。形状，则沿样条绘制曲线。n n1963196319631963年，美国波音，弗格森提出使用参数三次方程来构造曲面年，美国波音，弗格森提出使用参数三次方程来构造曲面年，美国波音，弗格森提出使用参数三次方程来构造曲面年，美国波音，弗格森提出使用参数三次方程来构造曲面n n1964-19671964-19671964-19671964-1967年，美国年，美国年，美国年，美国MITMITMITMIT，孔斯用封闭曲线的四条边界来定义曲面，孔斯用封闭曲线的四条边界来定义曲面，孔斯用封闭曲线的四条边界来定义曲面，孔斯用封闭曲线的四条边界来定义曲面n n197

4、1197119711971年，法国雷诺汽车，年，法国雷诺汽车，年，法国雷诺汽车，年，法国雷诺汽车，BezierBezierBezierBezier提出用控制多边形来定义曲线和曲面提出用控制多边形来定义曲线和曲面提出用控制多边形来定义曲线和曲面提出用控制多边形来定义曲线和曲面n n1974197419741974年，美国通用汽车，戈登和里森菲尔德年，美国通用汽车，戈登和里森菲尔德年，美国通用汽车，戈登和里森菲尔德年，美国通用汽车，戈登和里森菲尔德, B, B, B, B样条理论用于形状描样条理论用于形状描样条理论用于形状描样条理论用于形状描述述述述n n1975197519751975年，美国锡

5、拉丘兹大学，佛斯普里尔提出有理年，美国锡拉丘兹大学，佛斯普里尔提出有理年，美国锡拉丘兹大学，佛斯普里尔提出有理年，美国锡拉丘兹大学，佛斯普里尔提出有理B B B B样条样条样条样条n n80808080年代，皮格尔和蒂勒年代，皮格尔和蒂勒年代，皮格尔和蒂勒年代，皮格尔和蒂勒, , , , 将有理将有理将有理将有理B B B B样条发展成非均匀有理样条发展成非均匀有理样条发展成非均匀有理样条发展成非均匀有理B B B B样条，样条，样条，样条，NURBSNURBSNURBSNURBS方法方法方法方法青岛农业大学6.1 基础知识基础知识从从表示形式表示形式来看，曲线可分成两大类：来看，曲线可分成两

6、大类：规则曲线规则曲线自由曲线自由曲线可以用可以用标准方程标准方程描述的曲线。如圆、描述的曲线。如圆、椭圆、抛物线、双曲线、渐开线、椭圆、抛物线、双曲线、渐开线、摆线等摆线等无法用标准方程描述无法用标准方程描述的曲线，通常的曲线，通常由一系列由一系列实测数据点实测数据点确定。如汽车确定。如汽车的外形曲线、等高线等。的外形曲线、等高线等。曲线曲线青岛农业大学6.1 基础知识基础知识r从从生成算法生成算法来看来看，曲线可分成两大类：，曲线可分成两大类： q拟合型拟合型q设计型设计型对对已经存在的离散点列已经存在的离散点列构造出尽可能光滑构造出尽可能光滑的曲线，以直观（而忠实）地反映出实验的曲线，以

7、直观（而忠实）地反映出实验特性、变化规律和趋势等。特性、变化规律和趋势等。 设计人员对其所设计的曲线并无定量的设计人员对其所设计的曲线并无定量的概念，而是在设计过程中概念，而是在设计过程中即兴发挥即兴发挥。青岛农业大学6.1.1 曲线的表示曲线的表示 r曲线的表示方法曲线的表示方法 r参数表示参数表示 r非参数表示非参数表示r显示表示显示表示r隐式表示隐式表示青岛农业大学6.1.1 曲线的表示曲线的表示 r显示表示显示表示 r隐式表示隐式表示青岛农业大学6.1.1 曲线的表示曲线的表示 r参数表示参数表示 r参数的含义参数的含义t t：表示时间，距离，角度，比例等等：表示时间，距离，角度，比例

8、等等规范参数区间规范参数区间00，11青岛农业大学6.1.1 曲线的表示曲线的表示-以直线为例以直线为例n已知直线的起点坐标已知直线的起点坐标P1（x1，y1）和终点坐标）和终点坐标P2（x2，y2）,直线的直线的显式方程显式方程表示为：表示为：n直线的隐式方程表示为：青岛农业大学6.1.1 曲线的表示曲线的表示 n直线的参数方程表示为： ，t0,1 青岛农业大学6.1.1 曲线的表示曲线的表示 1 1）用参数表示的曲线形状本质与）用参数表示的曲线形状本质与坐标系的选取坐标系的选取无关，具有无关，具有几几 何不变性；何不变性；2 2）有更大自由度来控制曲线的形状；）有更大自由度来控制曲线的形状

9、；3 3）容易实现各种线性变换运算；）容易实现各种线性变换运算；4 4）曲线的端点、导数等计算简单，避免了无穷大斜率的问题；曲线的端点、导数等计算简单，避免了无穷大斜率的问题；5 5）便于曲线的分段描述；）便于曲线的分段描述；6 6）易于处理多值问题；）易于处理多值问题；7 7）参数的变化约定为参数的变化约定为0,10,1，自然规定了曲线是，自然规定了曲线是有界有界的。的。参数表示法的优越性：参数表示法的优越性：青岛农业大学曲线构造方法插值法插值法逼近法逼近法青岛农业大学6.1.2 插值插值 通过测量或计算得到的通过测量或计算得到的曲线曲线上上少量描述曲线几何形状少量描述曲线几何形状的数据点的

10、数据点。型值点型值点 控制点控制点 用来控制或调整曲线形状的特殊点用来控制或调整曲线形状的特殊点（不一定在曲线上）（不一定在曲线上） 插值点插值点 在型值点或控制点之间插入的一系列点。在型值点或控制点之间插入的一系列点。青岛农业大学6.1.2 插值插值 n n插值插值插值插值n n 给定一组有序的数给定一组有序的数给定一组有序的数给定一组有序的数据点据点据点据点PiPi，i=0, 1, , i=0, 1, , n n，构造一条曲线，构造一条曲线，构造一条曲线，构造一条曲线顺序通过这些数据顺序通过这些数据顺序通过这些数据顺序通过这些数据点，称为对这些数点，称为对这些数点，称为对这些数点，称为对这

11、些数据点进行据点进行据点进行据点进行插值插值插值插值，所，所，所，所构造的曲线称为构造的曲线称为构造的曲线称为构造的曲线称为插插插插值曲线值曲线值曲线值曲线。青岛农业大学6.1.2 插值插值 线性插性插值n线性插值线性插值：假设给定函数：假设给定函数f(x)f(x)在两个不同点在两个不同点x1x1和和x2x2的值，用线形函数的值，用线形函数 y=y=(x)=(x)=ax+bax+b近似代替，近似代替，称称(x)(x)为为f(x)f(x)的线性插值函数。的线性插值函数。青岛农业大学6.1.2 插值插值 抛物抛物线插插值抛物线插值抛物线插值(二次插值二次插值) 已知已知f(x)在三个互异点在三个互

12、异点x1,x2,x3的函数值为的函数值为y1,y2,y3，要求构造函数要求构造函数 y = (x)=ax2+bx+c,使得使得 (x)在在xi处与处与f(x)在在xi处的值相等。处的值相等。青岛农业大学6.1.3 逼近逼近n逼近逼近n构造一条曲线使之在构造一条曲线使之在某种意义下最接近给某种意义下最接近给定的数据点，称对这定的数据点，称对这些数据点进行些数据点进行逼近逼近，所构造的曲线称为所构造的曲线称为逼逼近曲线。近曲线。n用这种方法建立的曲用这种方法建立的曲线数学模型只是线数学模型只是近似近似地接近已知的控制点，地接近已知的控制点，并不一定完全通过所并不一定完全通过所有的控制点。有的控制点

13、。控制点控制点控制多边形控制多边形或或特征多边形特征多边形青岛农业大学6.1.4 拟合拟合 n拟合拟合： 在曲线曲面的设计过程中，用在曲线曲面的设计过程中，用插值插值或或逼近逼近的方法使生的方法使生成的曲线曲面达到某些设计要求成的曲线曲面达到某些设计要求。青岛农业大学6.1.5 曲线的连续性曲线的连续性 n构造复杂曲线时，可以首先构造一些简单的自由构造复杂曲线时，可以首先构造一些简单的自由曲线曲线, ,然后将这些简单曲线段连接成复杂曲线。然后将这些简单曲线段连接成复杂曲线。n拼接条件拼接条件：首先必须有连接点，其次必须在连接：首先必须有连接点，其次必须在连接点处平滑过渡，即需要满足连续性条件。

14、点处平滑过渡，即需要满足连续性条件。n连续性条件有两种：连续性条件有两种：参数连续性参数连续性和和几何连续性几何连续性。青岛农业大学6.1.5 曲线的连续性曲线的连续性 参数参数连续性性n零阶参数连续性（零阶参数连续性（记作记作C0）：）：n指相邻两个曲线段在交点处具有相同的坐标。指相邻两个曲线段在交点处具有相同的坐标。青岛农业大学6.1.5 曲线的连续性曲线的连续性参数连续性参数连续性 n一阶参数连续性一阶参数连续性（记作（记作C1）n相邻两个曲线段在交点处具有相同的相邻两个曲线段在交点处具有相同的一阶导数一阶导数。青岛农业大学6.1.5 曲线的连续性曲线的连续性参数连续性参数连续性 n二阶

15、参数连续性二阶参数连续性（记作（记作C2）n指相邻两个曲线段在交点处具有相同的一阶和指相邻两个曲线段在交点处具有相同的一阶和二阶导数。二阶导数。青岛农业大学6.1.5 曲线的连续性曲线的连续性几何连续性几何连续性 n几何连续性只要求导数成比例，而不是相等。几何连续性只要求导数成比例，而不是相等。 n零阶几何连续性零阶几何连续性（记作（记作 G 0）：）：n与零阶参数连续性相同，即相邻两个曲线段在与零阶参数连续性相同，即相邻两个曲线段在交点处有相同的坐标。交点处有相同的坐标。 青岛农业大学6.1.5 曲线的连续性曲线的连续性几何连续性几何连续性 n一阶几何连续性一阶几何连续性（记作（记作 G 1

16、）n指相邻两个曲线段在交点处的一阶导数成比例，指相邻两个曲线段在交点处的一阶导数成比例，但大小不一定相等。但大小不一定相等。 青岛农业大学6.1.5 曲线的连续性曲线的连续性 几何几何连续性性n二阶几何连续性（记作二阶几何连续性（记作 G 2）n指相邻两个曲线段在交点处的一阶和二阶导指相邻两个曲线段在交点处的一阶和二阶导数成比例，即曲率一致。数成比例，即曲率一致。 青岛农业大学样条曲线样条曲线 n在汽车制造厂里，传统上采用在汽车制造厂里，传统上采用样条样条绘制曲线的形状。绘制曲线的形状。n绘图员弯曲样条（如绘图员弯曲样条（如弹性细木条弹性细木条）通过各实测点，其）通过各实测点，其它地方自然过渡

17、，然后沿样条画下曲线，即得到它地方自然过渡，然后沿样条画下曲线，即得到样条样条曲线曲线（Spline Curve)Spline Curve)。青岛农业大学样条曲线样条曲线 n在计算机图形学中，在计算机图形学中，样条曲线样条曲线是指由是指由多项式曲线段多项式曲线段（可为规则（可为规则/ /自由曲线段）连接而成的曲线，在每段自由曲线段）连接而成的曲线，在每段的的边界处边界处满足特定的连续性条件。满足特定的连续性条件。 青岛农业大学样条曲线的插值样条曲线的插值n通常通常：进行分段插值：进行分段插值nn+1个控制点进行分段，建立简单的数学模型；个控制点进行分段，建立简单的数学模型；n在线段交点处，设置

18、边界条件进行光滑连接。在线段交点处，设置边界条件进行光滑连接。青岛农业大学构造通过构造通过5个型值点的抛物线参数样条曲线个型值点的抛物线参数样条曲线P1P1P2P2P3P3P4P4P5P5 这样构造出来的抛物线参数样条曲线完全通过给定的这样构造出来的抛物线参数样条曲线完全通过给定的5 5型值型值点，除了点，除了P1P1到到P2P2的区间的区间, P4, P4到到P5P5的区间其他两个型值点之间都的区间其他两个型值点之间都是重合区间是重合区间青岛农业大学6.1.6 Hermite样条曲线样条曲线 n从从a3x到到a0z有有12个系数为个系数为代数系数代数系数，它们确定了，它们确定了这条参数曲线的

19、形状和位置。这条参数曲线的形状和位置。系数不同则曲线不系数不同则曲线不同同。n把上述的代数方程改写为把上述的代数方程改写为矢量形式矢量形式nP(t)表示曲线上任一点的位置矢量；系数表示曲线上任一点的位置矢量；系数a0表示表示(a0x,a0y,a0z)一般的三次参数样条曲线的一般的三次参数样条曲线的代数形式代数形式青岛农业大学6.1.6 Hermite样条曲线样条曲线 n n给出给出给出给出端点坐标、端点坐标的切矢量，端点坐标、端点坐标的切矢量，端点坐标、端点坐标的切矢量，端点坐标、端点坐标的切矢量，即：即：即：即：n nP(0),P(1), PP(0),P(1), PP(0),P(1), PP

20、(0),P(1), P(0),P(0),P(0),P(0),P(1)(1)(1)(1)根据条件，得出方程：根据条件，得出方程：根据条件，得出方程：根据条件，得出方程：青岛农业大学6.1.6 Hermite样条样条曲曲线矩阵形式：矩阵形式：则：则：青岛农业大学6.1.6 Hermite样条曲线样条曲线 令三次参数样条曲线方程可以写成：三次参数样条曲线方程可以写成：根据：Hermite矩阵矩阵三次三次Hermite样样条曲线的方程条曲线的方程青岛农业大学6.1.6 Hermite样条样条曲曲线n n上式展开上式展开因因为为它它们们调调和和了了边边界界约约束束值值，使使在在整整个个参参数数范范围围内

21、内产产生生曲曲线线的的坐标值。坐标值。调和函数仅与参数调和函数仅与参数t t有关，而与初始条件无关有关，而与初始条件无关。 其中其中:称为称为Hermite样条调和函数样条调和函数青岛农业大学6.1.6 Hermite样条样条曲曲线nHermite Hermite 样条曲线样条曲线通过给定的通过给定的N N个型值点个型值点构造，构造，每每两个型值点之间生成一条两个型值点之间生成一条HermiteHermite曲线段曲线段， Hermite Hermite 样条曲线由样条曲线由N-1N-1条首尾相连的条首尾相连的HermiteHermite曲线曲线构成，并且构成，并且相邻的相邻的HermiteH

22、ermite曲线段在连接点处二阶曲线段在连接点处二阶导数相等导数相等（C2C2连续性）连续性）nHermiteHermite曲线段定义曲线段定义：给定曲线段的两个端点给定曲线段的两个端点Pi Pi 、 Pi+1Pi+1和和两端点处的一阶导数两端点处的一阶导数RiRi和和Ri+1Ri+1构造而成构造而成。青岛农业大学6.1.6 Hermite样条样条曲曲线例例1：给定：给定9个型值点，其中起始点和终止点是同一个点，从而其特个型值点，其中起始点和终止点是同一个点，从而其特征多边形是一个首尾相接的封闭多边形，具体坐标位置如下：征多边形是一个首尾相接的封闭多边形，具体坐标位置如下：（100,300）,

23、（120,200）,（220,200）,（270,100）,（370,100）,（420,200）,（420,300）,（220,280）,（100,300）假定各点处的一阶导数数值如下：假定各点处的一阶导数数值如下：（70,-70）, （70,-70）, （70,-70）,（70,-70）,（70,70）, （70,70）, （-70,70）,（-70,70）,（70,-70）用用Hermite插值方法绘制曲线。插值方法绘制曲线。解：解：p0=(100,300) p1=(120,200) p0 =(70,-70) p1 =(70,-70)For(t=0;t=1;t=t+0.1)或或For(t

24、=0;t 两段三次Hermite曲线： Q1(t1)=a3t13 + a2t12+ a1t11+ a0 t10 1 Q2(t2)=b3t23+ b2t22+ b1t21+ b0 t20 1 要达到C2连续，其系数必须满足下列关系式： a3 + a2 + a1 + a0 = b0 3a3 + 2a2 + a1 = b1 6a3 + 2a2 =2 b2青岛农业大学6.2 Bezier曲线曲线 19621962年年，法法国国雷雷诺诺汽汽车车公公司司的的P.E.BezierP.E.Bezier提提出出了了一一种种函函数数逼逼近近和和几几何何表表示示相相结结合合的的参参数数曲曲线线表表示示方方法法，用用

25、这这种种方方法法生生成成的的曲曲线线称称为为BezierBezier曲曲线线。这这种种方方法法的的特特点点是是所所输输入入型型值值点点与与生生成成曲曲线线之之间间的的关关系系明明确确，能能比比较较方方便地通过修改输入参数来改变曲线的形状和阶次。便地通过修改输入参数来改变曲线的形状和阶次。青岛农业大学6.2.1 Bzier曲线的定义曲线的定义 由一组由一组多边折线的顶点多边折线的顶点定义定义, ,在多边折线的各顶点在多边折线的各顶点中，只有中，只有第一点和最后一点在曲线上第一点和最后一点在曲线上, , 第一条和最后一第一条和最后一条折线分别表示出曲线在起点和终点处切线方向条折线分别表示出曲线在起

26、点和终点处切线方向。曲线。曲线的形状趋向于多边折线的形状，因此，多边折线又称为的形状趋向于多边折线的形状，因此，多边折线又称为特征多边形特征多边形，其顶点称为，其顶点称为控制点。控制点。青岛农业大学Bzier曲线的数学表示曲线的数学表示 u0,1P Pk k为各顶点的位置向量为各顶点的位置向量(x(xk k,y,yk k,z,zk k) )， 称为伯恩斯称为伯恩斯坦（坦（BernstainBernstain）基函数，也称为特征多边形各顶点）基函数，也称为特征多边形各顶点位置向量之间的调和函数，其定义如下位置向量之间的调和函数，其定义如下 Bezier曲曲线线次次数数严严格格依依赖赖于于确确定定

27、该该段段曲曲线线的的控控制制点点个个数数，通通常常由由（n1）个个顶顶点点定定义义一一个个n次次多多项项式式，曲曲线上各点参数方程式为：线上各点参数方程式为：n次多项式曲线次多项式曲线P(u)称为称为n次次Bezier曲线曲线青岛农业大学Bzier曲线的数学表示曲线的数学表示 (k0,1,.,n)其中：参数其中：参数u u的取值范围为的取值范围为0,10,1，n n是多项式次数是多项式次数, , 也是也是曲线次数。规定曲线次数。规定 0 0！=1=1，0 00 0=1=1。注意：注意：BezierBezier曲线是一个阶数比控制点少曲线是一个阶数比控制点少1 1的多项式。的多项式。 青岛农业大

28、学一次一次Bzier曲线曲线 n=1 n=1时，有两个控制点时，有两个控制点P P0 0和和P P1 1一次一次BezierBezier曲线是连接起点曲线是连接起点P P0 0和终点和终点P P1 1的直线段。的直线段。 青岛农业大学二次二次Bzier曲线曲线n=2n=2，有三个控制点，有三个控制点P P0 0、P P1 1和和P P2 2： 二次二次BezierBezier曲线是一条以曲线是一条以P P0 0为起点，为起点，P P2 2为终点的抛物线。为终点的抛物线。 青岛农业大学三次三次Bzier曲线曲线n=3n=3，有四个控制点，有四个控制点P P0 0、P P1 1、P P2 2和和P

29、 P3 3： 三次三次BezierBezier曲线是自由曲线。曲线是自由曲线。 青岛农业大学6.2.2 Bzier曲线的性质曲线的性质曲线的起点和终点与特征多边形的起点和终点重合曲线的起点和终点与特征多边形的起点和终点重合对伯恩斯坦基函数来说，有：对伯恩斯坦基函数来说，有： 当当u0u0时，只有时，只有k0k0的项不为的项不为0 0，其它项都为，其它项都为uk k00k k00 当当u 11时，只有时，只有k=nk=n的项不为的项不为0 0，其它项都为，其它项都为(1-u)(1-u)n-kn-k 0 0n-kn-k00青岛农业大学6.2.2 Bzier曲线的性质曲线的性质端点切线端点切线 Be

30、zier Bezier曲线在起点处的切线位于前两个控制点的连曲线在起点处的切线位于前两个控制点的连线上，而终点处的切线位于最后两个控制点的连线上，线上，而终点处的切线位于最后两个控制点的连线上，即即曲线起点和终点处的切线方向与起始折线段和终止折曲线起点和终点处的切线方向与起始折线段和终止折线段的走向一致。线段的走向一致。 青岛农业大学6.2.2 Bzier曲线的性质曲线的性质青岛农业大学6.2.2 Bzier曲线的性质曲线的性质在起始点在起始点u0, Bu0, B1,n-11,n-1(0)1(0)1，其余项均为，其余项均为0 0，故有，故有: : P P(0)n(P(0)n(P1 1PP0 0

31、) )在终止点在终止点u1, Bu1, Bn-1,n-1n-1,n-1(1)1(1)1，其余项均为，其余项均为0 0，故有，故有: : P P(1)= n(P(1)= n(Pn nPPn-1n-1) ) Bezier曲曲线线在在端端点点处处的的一一阶阶导导数数只只同同相相近近的的两两个个控控制点有关，其方向相同于两点的连线方向制点有关，其方向相同于两点的连线方向。青岛农业大学6.2.2 Bzier曲线的性质曲线的性质二阶导数二阶导数对参数对参数t求二阶导数可得：求二阶导数可得： 在起始点在起始点t0t0处的二阶导数为：处的二阶导数为： P P”(0)n(n1)(P(0)n(n1)(P2 22P

32、2P1 1PP0 0) ) =n(n-1)(P =n(n-1)(P2 2PP1 1)-(P)-(P1 1-P-P0 0)在终止点在终止点t1t1处的二阶导数为：处的二阶导数为： P P”(1)n(n1)(P(1)n(n1)(Pn n2P2Pn-1n-1PPn-2n-2) ) =n(n-1)( P =n(n-1)( Pn-2n-2PPn-1n-1)-(P)-(Pn-1n-1PPn n)结结论论：BezierBezier曲曲线线在在端端点点处处的的二二阶阶导导数数只只同同相相近近的的三三个个控制点有关。控制点有关。那么，那么，BezierBezier曲线在端点处的曲线在端点处的r r阶导数是由与端

33、阶导数是由与端点点r+1r+1个邻近的控制多边形顶点来决定。个邻近的控制多边形顶点来决定。青岛农业大学6.2.2 Bzier曲线的性质曲线的性质 由由BezierBezier曲曲线线的的数数学学定定义义知知，曲曲线线的的形形状状由由特特征征多多边边形形的的顶顶点点P Pk k(k0,1,.,n)(k0,1,.,n)唯唯一一确确定定，与与坐坐标标系系的的选选取取无关无关, ,这就是几何不变性这就是几何不变性。几何不变性几何不变性 保保持持控控制制多多边边形形的的顶顶点点位位置置不不变变，仅仅仅仅把把它它们们的的顺顺序序颠颠倒倒一一下下，将将下下标标为为k k的的控控制制点点P Pk k改改为为下

34、下标标为为n-kn-k的的控控制制点点P Pn-kn-k时，曲线保持不变，只是走向相反而已。时，曲线保持不变，只是走向相反而已。 对称性对称性 青岛农业大学6.2.2 Bzier曲线的性质曲线的性质 落落在在特特征征多多边边形形顶顶点点所所形形成成的的凸凸包包内内。即即当当特特征征多多边边形形为为凸凸时时，BezierBezier曲曲线线也也是是凸凸的的；当当特特征征多多边边形形有有凹凹有凸时，其曲线的凸凹形状与之对应。有凸时，其曲线的凸凹形状与之对应。 BezierBezier曲曲线线的的凸凸包包性性质质保保证证了了曲曲线线随随控控制制点点平平稳稳前前进而不会振荡。进而不会振荡。凸包性凸包性

35、青岛农业大学6.2.2 Bzier曲线的性质曲线的性质变差缩减性变差缩减性 对于平面Bezier曲线，平面内任意一条直线与其交点的个数不多于该直线与其控制多边形的交点个数。 Bezier曲线比特征多边形的折线更光滑。青岛农业大学6.2.3 Bzier曲线的拼接曲线的拼接 几几何何设设计计中中，一一条条BezierBezier曲曲线线往往往往难难以以描描述述复复杂杂的的曲曲线线形形状状。由由于于增增加加特特征征多多边边形形的的顶顶点点数数，会会引引起起BezierBezier曲曲线次数的提高，而高次多项式又会带来计算上的困难。线次数的提高，而高次多项式又会带来计算上的困难。 一一般般采采用用分分

36、段段设设计计，然然后后将将各各段段曲曲线线相相互互连连接接起起来来，并在接合处保持一定的连续条件。并在接合处保持一定的连续条件。 下面讨论两段下面讨论两段BezierBezier曲线达到不同阶几何连续的条件。曲线达到不同阶几何连续的条件。青岛农业大学n设有两段三次设有两段三次BezierBezier曲线曲线P(t)P(t)和和Q(t)Q(t)，相应控制点为，相应控制点为Pi(i=0, 1, ., n)Pi(i=0, 1, ., n)和和Qj(j=0,1,., m)Qj(j=0,1,., m)，如下图所示。，如下图所示。6.2.3 Bzier曲线的拼接曲线的拼接 an-1anan-2b1b2b3

37、Pn(Q0)Pn-2Pn-1Pn-3P(t)Q(t)青岛农业大学6.2.3 Bzier曲线的拼接曲线的拼接 （1 1）要使它们达到）要使它们达到G G0 0连续的充要条件是：连续的充要条件是：P Pn n= = Q Q0 0；（2 2）要使它们达到）要使它们达到G G1 1连续的充要条件：连续的充要条件：P2P3(Q0)Q1三点共线三点共线第一段曲线终点处的导数为：第一段曲线终点处的导数为： P(1)3(P3P2) 第二段曲线起点处的导数为：第二段曲线起点处的导数为： Q(0)3(Q0Q1) 一阶导数要连续，则应有一阶导数要连续，则应有P P(1)(1)Q Q(0)(0)，即，即: : P P

38、3 3PP2 2 （Q Q1 1QQ0 0） 也即要求也即要求P2P3(Q0)Q1三点共线。三点共线。青岛农业大学6.2.3 Bzier曲线的拼接曲线的拼接 （3 3）要要使使它它们们达达到到G G2 2连连续续的的充充要要条条件件是是：在在G G1 1连连续续的的条条件件下下，满满足足P Pn-2n-2、P Pn-1n-1、P Pn n(Q(Q0 0) )、Q Q1 1、Q Q2 2 五五点点共共面面，且且P Pn-2n-2和和Q Q2 2或或者者同同在直线在直线P Pn-1n-1Q Q1 1上或位于上或位于P Pn-1n-1Q Q1 1同侧。同侧。 第一段曲线终点处的二阶导数为：第一段曲线

39、终点处的二阶导数为： P”(1)6(Pn2Pn-1Pn-2)第二段曲线起点处的二阶导数为：第二段曲线起点处的二阶导数为： Q”(0)6(Q22Q1Q0) 要达到二阶导数连续，则应有要达到二阶导数连续，则应有P”(1)Q”(0)，即即: Pn-22Pn-1Pn (Q22Q1Q0)an-1anan-2b1b2b3Pn(Q0)Pn-2Pn-1Pn-3P(t)Q(t)青岛农业大学6.2.4 Bzier曲线的离散生成曲线的离散生成 根据贝塞尔曲线的参数表达式，让参数根据贝塞尔曲线的参数表达式，让参数t在区间在区间(0,1)内取多个值，例如内取多个值，例如100，计算出这，计算出这100个值对应的坐标点，

40、个值对应的坐标点，依次连接这些点就得到一条依次连接这些点就得到一条Bezier曲线。曲线。 以三次贝塞尔曲线为例：以三次贝塞尔曲线为例：注意：再添加一个注意：再添加一个z 坐标，就可得到空间坐标，就可得到空间Bezier曲线曲线。For(t=0;t=1;t=t+0.01)青岛农业大学n依次对原始控制多边形每一边执行同样的定比分割，所依次对原始控制多边形每一边执行同样的定比分割，所得分割点就是第一级递推生成的中间顶点，对这些中间得分割点就是第一级递推生成的中间顶点，对这些中间顶点构成的控制多边形再执行同样的定比分割，重复操顶点构成的控制多边形再执行同样的定比分割，重复操作，直到得出一个中间顶点，

41、即为所求曲线上的点。作，直到得出一个中间顶点，即为所求曲线上的点。6.2.4 Bzier曲线生成曲线生成-de casteljau算法算法青岛农业大学 依依次次对对原原始始控控制制多多边边形形每每一一边边执执行行同同样样的的中中点点分分割割，所所得得分分点点就就是是由由第第一一级级递递推推生生成成的的中中间间顶顶点点 , 对对这这些些中中间间顶顶点点构构成成的的控控制制多多边边形形再再执执行行同同样样的的中中点点分分割割，得得第第二二级级中中间间顶顶点点 。重重复复进进行行下下去去，直直到到n级级递递推推得得到到一一个个中中间间顶顶点点 ，即即为为所所求求曲曲线线上上的的点点 。同同时时控控制

42、制点点列列被被 分分成成左左分分段段和和右右分分段段两两段段折折线线，继继续续对对这这两两段段折折线线作作类类似似递递归归分分割，直至满足要求为止。割，直至满足要求为止。6.2.4 Bzier曲线生成算法曲线生成算法-二分递归法二分递归法青岛农业大学r三次三次Bzier曲线：控制点是曲线：控制点是p0，p1，p2和和p3。 r以中点分割，令：以中点分割，令： rp10=(p0+p1)/2，p11=(p1+p2)/2， p12=(p2+p3)/2； rp20=(p10+p11)/2，p21=(p11+p12)/2； rp30=(p20+p21)/2。6.2.4 Bzier曲线生成算法曲线生成算法

43、-二分递归法二分递归法青岛农业大学r可以证明点可以证明点P P3030位于曲线上位于曲线上p p3030=(p=(p2020+p+p2121)/2)/2=(p p0 0+3p p1 1+3p p2 2+p+p3 3)/8=p p(1/2)6.2.4 Bzier曲线生成算法曲线生成算法-二分递归法二分递归法青岛农业大学青岛农业大学例例题1 1、给定四个顶点、给定四个顶点P0P0（1010，110110），），P1P1（110110，110110），），P2P2（110110，1010），），P3P3（1010，1010），用其作为特征多边形来），用其作为特征多边形来绘制一条绘制一条3 3次次Be

44、zierBezier曲线的形状示意图。曲线的形状示意图。要求：要求：简要说明作图过程，保留作图辅助线，作出（或文简要说明作图过程，保留作图辅助线，作出（或文字说明）曲线上各特征点的切线矢量。字说明）曲线上各特征点的切线矢量。青岛农业大学Bzier曲线小结曲线小结 nBezierBezier曲线是一种曲线是一种逼近参数曲线逼近参数曲线，通过几个已知，通过几个已知点构成的点构成的特征多边形特征多边形来定义，来定义，曲线的起点和终点曲线的起点和终点与该多边形起点和终点重合与该多边形起点和终点重合，并且多边形的，并且多边形的第一第一条边和最后一条边表示曲线起点和终点的切矢量条边和最后一条边表示曲线起点

45、和终点的切矢量方向方向。nBezierBezier曲线次数严格依赖于确定该段曲线的控制曲线次数严格依赖于确定该段曲线的控制点个数，通常由点个数，通常由（n1n1）个顶点定义一个个顶点定义一个n n次多次多项式项式，即，即n n次次BezierBezier曲线曲线。n3 3个已知控制点就可以构造个已知控制点就可以构造2 2次次BezierBezier曲线，曲线，4 4个个已知控制点就可以构造已知控制点就可以构造3 3次次BezierBezier曲线。曲线。青岛农业大学Bzier曲线小结曲线小结 n端点的性质端点的性质n端点切线端点切线n二阶导数二阶导数n对称性对称性n几何不变性几何不变性n凸包性

46、凸包性n变差缩减性变差缩减性青岛农业大学n所生成的曲线与特征多边形的外形相距较远所生成的曲线与特征多边形的外形相距较远n确定了多边形的顶点数确定了多边形的顶点数(m个个)，也就决定了所定义的，也就决定了所定义的Bezier曲线的阶次曲线的阶次(m1次次)，这样很不灵活，这样很不灵活n控制顶点数增多时，生成曲线的阶数也增高，此时，控制顶点数增多时，生成曲线的阶数也增高，此时，多边形对曲线形状的控制将明显减弱。多边形对曲线形状的控制将明显减弱。 n局部控制能力弱局部控制能力弱n曲线拼接需要附加条件曲线拼接需要附加条件Bzier曲线的不足曲线的不足 青岛农业大学6.3 B样条条曲线曲线n n1972

47、197219721972年，年，年，年，Gordon, Rie-feldGordon, Rie-feldGordon, Rie-feldGordon, Rie-feld等人拓展了等人拓展了等人拓展了等人拓展了BezierBezierBezierBezier曲线，用曲线，用曲线，用曲线，用B B B B样条基函数样条基函数样条基函数样条基函数代替代替代替代替BernsteinBernsteinBernsteinBernstein基函数基函数基函数基函数，形成了，形成了，形成了，形成了B B B B样条曲线。样条曲线。样条曲线。样条曲线。n n除保持了除保持了除保持了除保持了BezierBezie

48、rBezierBezier曲线的曲线的曲线的曲线的直观性直观性直观性直观性和和和和凸包性凸包性凸包性凸包性等优点之外，具等优点之外，具等优点之外，具等优点之外，具有以下优点：有以下优点：有以下优点：有以下优点： 逼近特征多边形的精度更高逼近特征多边形的精度更高i 曲线的次数可根据需要指定曲线的次数可根据需要指定i 具有局部修改性具有局部修改性青岛农业大学n我们先来实际体会一下B样条曲线和Bezier曲线的差别，看下面例子：B样条也是逼近曲线，不一定过控制样条也是逼近曲线，不一定过控制点，甚至不过起控制点和终控制点点，甚至不过起控制点和终控制点6.3 B6.3 B样条曲线样条曲线青岛农业大学6.

49、3 B样条条曲线曲线Bezier曲线如果曲线如果5个控制点个控制点那么只能是那么只能是4次曲线次曲线调整任何一个控制点，调整任何一个控制点，会影响整个会影响整个4次曲线次曲线B样条曲线如果样条曲线如果5个控制点个控制点可以使用可以使用3次曲线，也可以使用次曲线，也可以使用4次曲线来构次曲线来构造整个曲线造整个曲线使用使用4次曲线那么就是次曲线那么就是1段曲线段曲线使用使用3次曲线那么就构造次曲线那么就构造2段曲线，并且这段曲线，并且这2段曲线可以自然拼接起来，调节段曲线可以自然拼接起来，调节P4点位置点位置只会影响第二段曲线只会影响第二段曲线青岛农业大学6.3.1 B样条条曲线的定义曲线的定义

50、样条曲线的数学表达式为样条曲线的数学表达式为: :PiPi：B B样条曲线的样条曲线的控制节点控制节点。n n次次B B样条曲线至少应该有样条曲线至少应该有n+1n+1个个控制点。控制点。K K：B B样条曲线的样条曲线的阶数阶数，（，（k-1k-1）称为）称为次数次数，曲线连接点处有，曲线连接点处有（k-2k-2）阶连续阶连续，n+1n+1个控制点个控制点构造的构造的k k阶阶B B样条曲线由样条曲线由L=n+1-L=n+1-（k-1k-1）段）段B B样条曲线段样条曲线段组合而成的。如，组合而成的。如，3 3次次B B样条曲线的阶样条曲线的阶数是数是4 4，次数是，次数是3 3，2 2阶连

51、续，阶连续，n+1n+1控制点的曲线共有控制点的曲线共有n-2n-2段段3 3次次B B样条组合而成。样条组合而成。青岛农业大学6.3.1 B样条条曲线的定义曲线的定义 (i=0,1,.,n) (i=0,1,.,n) 称为称为k k阶（阶（k-1k-1次次) )B B样条基函数样条基函数，i i表表示序号。示序号。B B样条基函数是一个称为节点矢量的样条基函数是一个称为节点矢量的参数参数u的非递减的非递减序列序列所决定的所决定的k阶分段多项式阶分段多项式，这个序列称为，这个序列称为节点向量节点向量。青岛农业大学6.3.1 B样条条曲线的定义曲线的定义de Boor-Coxde Boor-Cox

52、递推定义：递推定义：约定约定：青岛农业大学6.3.1 B样条条曲线的定义曲线的定义欲确定欲确定第第i i个个k-1k-1次次B B样条样条B Bi,ki,k(u)(u)，需要用到，需要用到u ui i，u ui+1i+1，,u,ui+ki+k共共k+1k+1个节点。个节点。区间区间uui i,u,ui+ki+k 称为称为B Bi,ki,k(u)(u)的的支撑区间支撑区间。曲线方程中，曲线方程中，n+1个控制顶点个控制顶点Pi(i=0,1,.,n)，要用到，要用到n+1个个k阶阶B样条样条Bi,k(t)。它们。它们支撑区间的并集支撑区间的并集定义了这一组定义了这一组B样条基的样条基的节点矢量节点

53、矢量T=u0,u1,.,un+k。 每个控制点每个控制点pi仅与一个基函数仅与一个基函数Bi,k(t)作乘法，故该控制点的改作乘法，故该控制点的改变仅影响到子区间变仅影响到子区间ui,ui+k上的曲线段。上的曲线段。青岛农业大学6.3.1 B样条条曲线的定义曲线的定义1阶B-样条基函数nK=1K=1时的基函数时的基函数青岛农业大学6.3.1 B样条条曲线的定义曲线的定义2阶B-样条基函数nK=2K=2时的基函数时的基函数青岛农业大学6.3.1 B样条条曲线的定义曲线的定义3阶B-样条基函数nK=3K=3时的基函数时的基函数青岛农业大学6.3.1 B样条条曲线的定义曲线的定义续前页：青岛农业大学

54、6.3.1 B样条条曲线的定义曲线的定义续前页：青岛农业大学6.3.1 B样条条曲线的定义曲线的定义续前页：青岛农业大学6.3.1 B样条条曲线的定义曲线的定义青岛农业大学6.3.1 B样条条曲线的定义曲线的定义3阶B-样条基函数图形青岛农业大学6.3.2 B样条条曲线的分类曲线的分类 根据节点矢量中的根据节点矢量中的节点分布节点分布情况的不同，可将情况的不同，可将B B样条曲线样条曲线分为三类：分为三类：均匀均匀B B样条曲线样条曲线、开放均匀开放均匀B B样条曲线样条曲线、非均匀非均匀B B样样条曲线条曲线。 均匀均匀B B样条曲线样条曲线：节点沿参数轴：节点沿参数轴均匀等距分布均匀等距分

55、布，即，即u uk+1k+1-u-uk k= =常数时。常数时。青岛农业大学6.3.2 B样条条曲线的分类曲线的分类均匀均匀B B样条曲线样条曲线 均匀均匀B B样条的基函数呈样条的基函数呈周期性周期性。即给定。即给定n n和和k k，所有的基，所有的基函数有相同形状。每个后续基函数仅仅是前面基函数在新位函数有相同形状。每个后续基函数仅仅是前面基函数在新位置上的重复：置上的重复：其中，其中，u u是相邻节点值的间距，等价地，也可写为：是相邻节点值的间距，等价地，也可写为：均匀均匀B B样条曲线的参数节点矢量的典型取法：样条曲线的参数节点矢量的典型取法：0,1,2,0,1,2,n+k,n+k青岛

56、农业大学6.3.2 B样条条曲线的分类曲线的分类均匀均匀B B样条曲线定义样条曲线定义: : 给定给定m+n+1个顶点个顶点 Pi (i=0，1，m+n)，可以定义，可以定义m+1段段n次的次的参数曲线段参数曲线段：青岛农业大学6.3.2 B样条条曲线的分类曲线的分类均匀二次均匀二次B B样条曲线样条曲线 n=2,k=0,1,2n=2,k=0,1,2青岛农业大学6.3.2 B样条条曲线的分类曲线的分类青岛农业大学6.3 均匀均匀B样条条曲线的定义曲线的定义均匀二次均匀二次B样条曲线的分段表达式可以写成如下的形式：样条曲线的分段表达式可以写成如下的形式： Pi(t)= B0,2(t)Pi + B

57、1,2(t)Pi+1十十B2,2（t）Pi+2 (i= 0,1,2，m)青岛农业大学6.3 均匀均匀B样条条曲线的定义曲线的定义 青岛农业大学6.3 均匀均匀B样条条曲线的定义曲线的定义 二次均匀二次均匀B B样条曲线的起点在特征多边形第一条边的中样条曲线的起点在特征多边形第一条边的中 点，切矢为点，切矢为P0P1P0P1的走向，且等于的走向，且等于P1-P0P1-P0 终点在特征多边形第二条边的中点，切矢为终点在特征多边形第二条边的中点，切矢为P1P2P1P2的走的走 向，且等于向，且等于P2-P1P2-P1 正好是三角形正好是三角形P(0)P1P(1)P(0)P1P(1)的中线的中线P1M

58、P1M的中点，且的中点，且 在该处的切线平行于在该处的切线平行于P(0)P(1)P(0)P(1)。青岛农业大学均匀二次均匀二次B样条条曲线曲线下下图为均匀二次均匀二次B B样条曲条曲线的控制多的控制多边形，共有形，共有4 4个控制点个控制点P0P1P2P3P0P1P2P3，绘制出二次制出二次B B样条曲条曲线的示意的示意图。要求：要求：简要要说明作明作图过程，保留作程，保留作图辅助助线，做出（或文字，做出（或文字说明）曲明）曲线上各特征点的切上各特征点的切线矢量。矢量。青岛农业大学均匀二次均匀二次B样条条曲线曲线 A A为为P0P1P0P1的中点，的中点，A A点的切矢为点的切矢为P0P1P0

59、P1的走向且等于的走向且等于(P1-(P1-P0)P0)；B B为为AP1CAP1C中线中线P1MP1M的中点，的中点，B B点的切矢平行于点的切矢平行于ACAC，且，且等于等于1/2(P2-P0)1/2(P2-P0)；C C为为P1P2P1P2的中点，的中点，C C点的切矢为点的切矢为P1P2P1P2的走的走向且等于向且等于(P2-P1)(P2-P1)；D D为为CP2ECP2E中线中线P2M1P2M1的中点，其切矢平的中点，其切矢平行于行于CECE，且等于，且等于1/2(P3-P1)1/2(P3-P1)；E E为为P2P3P2P3的中点，其切矢为的中点，其切矢为P2P3P2P3的走向且等于

60、的走向且等于(P3-P2)(P3-P2)。青岛农业大学6.3.3 均匀均匀B样条条曲线的性质曲线的性质1. 局部性局部性 根据定义式可知，第根据定义式可知，第 i 段段n次次B样条曲线只与样条曲线只与 n+1 个个 顶点顶点Pk(k=i，i+1，i+n)有关，因此，当改动其中一有关，因此，当改动其中一个控制顶点时，最多只会对相邻的个控制顶点时，最多只会对相邻的n+1段产生影响。段产生影响。如左图所示，六个如左图所示，六个控制顶点控制的三控制顶点控制的三次次B样条曲线由三样条曲线由三段段B样条曲线段组样条曲线段组成。其中，每一条成。其中，每一条曲线段由四个顶点曲线段由四个顶点控制。控制。青岛农业

61、大学B样条条曲线的性质曲线的性质2. 凸包性凸包性对任何对任何t0，1，P(t) 必定在控制顶点构成的凸包之中。必定在控制顶点构成的凸包之中。如左图所示，六个控制如左图所示，六个控制顶点控制的三次顶点控制的三次B样条样条曲线由三段曲线由三段B样条曲线样条曲线段组成。其中，每一条段组成。其中，每一条曲线段由四个顶点控制曲线段由四个顶点控制且包含在四个顶点构成且包含在四个顶点构成的凸包之中。的凸包之中。青岛农业大学B样条条曲线的性质曲线的性质3.几何不变性几何不变性 由于定义式所表示的由于定义式所表示的B样条曲线是参数形式，因此，样条曲线是参数形式，因此，和和Bezier曲线一样，曲线一样，B样条

62、曲线的形状和位置与坐标系样条曲线的形状和位置与坐标系选择无关。选择无关。4. 连续性连续性 当给定的当给定的n+1个控制顶点个控制顶点Pi (i=0，1，n)互不相重互不相重，则所控制的整条则所控制的整条n n次次B样条曲线具有样条曲线具有n-1n-1阶几何连续阶几何连续 (G n-1)。当给定的控制顶点相邻。当给定的控制顶点相邻最大重顶点数为最大重顶点数为h h（即（即h 个个控制顶点重合在一起）控制顶点重合在一起），则整条，则整条n n次次B样条曲线具有样条曲线具有n-h-1阶几何连续(G n-h-1)。 青岛农业大学B样条条曲线的优缺点曲线的优缺点n优点：优点：n与控制多边形的外形更接近

63、与控制多边形的外形更接近n局部修改能力局部修改能力n任意形状，包括尖点、直线的曲线任意形状，包括尖点、直线的曲线n易于拼接易于拼接n阶次低，与型值点数目无关，计算简便阶次低，与型值点数目无关，计算简便n缺点：缺点：n不能精确表示圆不能精确表示圆青岛农业大学习题习题1、下面给出的下面给出的4个选项中，个选项中，_不是不是Bezier曲线具有的曲线具有的 性质。性质。 A 局部性局部性B 几何不变性几何不变性 C 变差缩减性变差缩减性D 凸包性凸包性2、B样条曲线中，按照节点矢量样条曲线中，按照节点矢量t的分布不同可以将的分布不同可以将B样条样条曲线分为均匀曲线分为均匀B样条、非均匀样条、非均匀B

64、样条以及开放均匀样条以及开放均匀B样条，样条，以下选项中属于均匀以下选项中属于均匀B样条节点矢量的是样条节点矢量的是_。 A t=0,1,2,3,4,5,6 B t=0,0,1,1,2,2,3,3 C t=0,0,0,1,2,3,4,5,5,5 D t=0,0.1,0.2,0.2,0.5,1 A A 青岛农业大学习题习题3、由由K个控制点个控制点Pi（i=1,k）所决定的）所决定的n次次B样条曲线，样条曲线，由由_段段n次次B样条曲线段光滑连接而成。样条曲线段光滑连接而成。A、k-n-2B、k-n-1C、k-nD、k-n+14、下列关于下列关于B样条曲线性质的叙述中，错误的结论是样条曲线性质的

65、叙述中，错误的结论是_A、B样条曲线可用其特征多边形来定义；样条曲线可用其特征多边形来定义；B、B样条曲线不一定通过其特征多边形的各顶点；样条曲线不一定通过其特征多边形的各顶点；C、B样条曲线起始控制点和终止控制点都在曲线上；样条曲线起始控制点和终止控制点都在曲线上；D、B样条曲线都具有控制点的邻近影响性。样条曲线都具有控制点的邻近影响性。C C 青岛农业大学习题习题5、下列有关下列有关Bezier曲线性质的叙述语句中，错误的结论为曲线性质的叙述语句中，错误的结论为（ ）A、Bezier曲线可用其特征多边形来定义；曲线可用其特征多边形来定义；B、Bezier曲线不一定通过其特征多边形的各个顶点

66、；曲线不一定通过其特征多边形的各个顶点；C、Bezier曲线两端点处的切线方向必须与其特征多边形的曲线两端点处的切线方向必须与其特征多边形的相应两端线段走向一致；相应两端线段走向一致；D、n次次Bezier曲线，在端点处的曲线，在端点处的r阶导数，只与阶导数，只与r个相邻点有个相邻点有关。关。6、 Bezier曲线通过始末点且与始末边相切。（曲线通过始末点且与始末边相切。（ ）7、前后两段三次前后两段三次B样条曲线的连接处自动样条曲线的连接处自动G2连续，不需要连续，不需要特别处理。（特别处理。（ ）DTT青岛农业大学习题习题8、 B样条曲线一般不经过给定点。（样条曲线一般不经过给定点。（ ）

67、9、 0阶参数连续性和阶参数连续性和0阶几何连续性的定义是相同的。（阶几何连续性的定义是相同的。（ ）10、 Bezier曲线可以局部调整。（曲线可以局部调整。（ ）11、一次、一次Bezier曲线其实就是连接起点到终点的折线段。曲线其实就是连接起点到终点的折线段。（ ）13、Bezier曲曲线的不足之的不足之处在于确定了多在于确定了多边形的形的顶点数，就点数，就决定了所定决定了所定义的的Bezier曲曲线的的阶次。（次。（ ）14、凡、凡满足参数足参数连续的曲的曲线同同时满足几何足几何连续条件，反之条件，反之则不成立。（不成立。（ ）15、B样条曲条曲线的局部修改没有的局部修改没有Bezie

68、r曲曲线方便。（方便。（ ）TTFTTTF青岛农业大学习题习题16、Bezier曲线的形状是通过一组多边折线的各顶点唯一地曲线的形状是通过一组多边折线的各顶点唯一地定义出来的，定义出来的，Bezier曲线包含了这个多边折线上的所有顶点。曲线包含了这个多边折线上的所有顶点。（ ）17、插值得到的函数严格经过所给定的数据点；逼近是在某插值得到的函数严格经过所给定的数据点；逼近是在某种意义上的最佳近似。（种意义上的最佳近似。（ ）18、由由5个控制顶点个控制顶点Pi(i=0,1,4)所决定的所决定的3次次B样条曲线，样条曲线，由由段段3次次B样条曲线段光滑连接而成。样条曲线段光滑连接而成。19、n次

69、次B样条曲线，当给定的控制顶点相邻的顶点互不相样条曲线，当给定的控制顶点相邻的顶点互不相重，则整条重，则整条B样条曲线具有样条曲线具有 阶几何连续。阶几何连续。2FTn-1青岛农业大学习题习题20、Bezier曲线在端点处的一阶导数为：曲线在端点处的一阶导数为：P(0)=n(P1-P0)， P(1)=n(Pn-Pn-1)，二阶导数为：，二阶导数为： P(0)=n(n-1)(P2-P1)-(P1-P0)， P(1)=n(n-1)(Pn-2-Pn-1)-(Pn-1-Pn)。写出下图所示两段。写出下图所示两段3次次Bezier曲线在连接点处的曲线在连接点处的G1，G2连续性条件。连续性条件。青岛农业

70、大学习题习题21、已知四点已知四点P0(0,0,0)，P1(-1,1,1)，P2(2,-2,2) 和和P3(3,0,0)，用线段连接相邻的，用线段连接相邻的Pi，并以其为特征多边形构造，并以其为特征多边形构造一条三次一条三次Bezier曲线，写出该曲线的参数表达式，并计算参曲线，写出该曲线的参数表达式，并计算参数为数为0，1/3，2/3和和1的值。的值。已知已知Bezier曲线方程为：曲线方程为： 青岛农业大学习题习题22、图为三次图为三次Bezier曲线的控制多边形，共有曲线的控制多边形，共有4个控制点个控制点P0P1P2P3,请用二分递归算法给出三次请用二分递归算法给出三次Bezier曲线的图形；曲线的图形；要求：简要说明作图过程，保留作图辅助线，作出（或文字要求：简要说明作图过程，保留作图辅助线，作出（或文字说明）曲线上各特征点的切线矢量。说明）曲线上各特征点的切线矢量。青岛农业大学习题习题23、给定顶点给定顶点P0P1P2P3P4P5P6构成的控制多边形，绘出二构成的控制多边形，绘出二次次B样条曲线的形状示意图。样条曲线的形状示意图。要求：简要说明作图过程，保留作图辅助线，作出（或文字要求：简要说明作图过程，保留作图辅助线，作出（或文字说明）曲线上各特征点的切线矢量。说明）曲线上各特征点的切线矢量。P0P1P3P2P4P5P6