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1、大学生学术君大学生学术君大学生学术君大学生学术君QQ:10831431QQ:10831431两类重要极限两类重要极限单调有界必有极限单调有界必有极限夹逼定理夹逼定理无穷小无穷小无穷大无穷大与与性质性质有限个无穷小的和有限个无穷小的和,积仍是无穷小积仍是无穷小无穷小与有界量的积仍是无穷小无穷小与有界量的积仍是无穷小(高阶高阶, 低阶低阶,同阶同阶,等价等价,阶阶)第一章第一章 极限与连续极限与连续1大学生学术君大学生学术君大学生学术君大学生学术君QQ:10831431QQ:10831431常用等价无穷小常用等价无穷小2大学生学术君大学生学术君大学生学术君大学生学术君QQ:10831431QQ:1
2、0831431(2) 同除同除最最高次幂高次幂;(1) 消去零因子法消去零因子法;(6) 复合函数求极限法则复合函数求极限法则(7) 利用左、右极限求分段函数极限利用左、右极限求分段函数极限;(5) 利用无穷小运算性质利用无穷小运算性质(3) 通分通分;(4) 同乘共轭因式同乘共轭因式;(8) 利用夹逼定理利用夹逼定理;(11) 利用连续函数的性质利用连续函数的性质(代入法代入法);(10) 利用等价无穷小代换利用等价无穷小代换;(9) 利用两类重要极限利用两类重要极限;(12) 利用洛必达法则利用洛必达法则. 函函数数极极限限的的求求法法洛必达法则洛必达法则+等价无穷小代换等价无穷小代换洛必
3、达法则洛必达法则+变上限积分求导变上限积分求导3大学生学术君大学生学术君大学生学术君大学生学术君QQ:10831431QQ:10831431例例故故4大学生学术君大学生学术君大学生学术君大学生学术君QQ:10831431QQ:10831431两对重要的单侧极限两对重要的单侧极限一类需要注意的极限一类需要注意的极限5大学生学术君大学生学术君大学生学术君大学生学术君QQ:10831431QQ:10831431左连续、右连续左连续、右连续有界性有界性最大最大,最小值定理最小值定理介值定理介值定理, 第一类间断第一类间断第二类间断第二类间断(可去型可去型, 跳跃型跳跃型)(无穷型无穷型, 振荡型振荡型
4、)零点定理零点定理6大学生学术君大学生学术君大学生学术君大学生学术君QQ:10831431QQ:10831431解解函数无定义函数无定义,是函数的间断点是函数的间断点.由于由于所以所以是函数的是函数的第二类间断点第二类间断点, 且是且是无穷型无穷型.由于由于所以所以是函数的是函数的第一类间断点第一类间断点,且是且是跳跃型跳跃型.并指出其类型并指出其类型.例例7大学生学术君大学生学术君大学生学术君大学生学术君QQ:10831431QQ:10831431求求的间断点的间断点, , x = 1为第一类为第一类可去间断点可去间断点x = 1为第二类为第二类无穷间断点无穷间断点x = 0为第一类为第一类
5、跳跃间断点跳跃间断点例例解解并判别其类型并判别其类型. .是间断点是间断点, ,8大学生学术君大学生学术君大学生学术君大学生学术君QQ:10831431QQ:10831431例例9大学生学术君大学生学术君大学生学术君大学生学术君QQ:10831431QQ:1083143110大学生学术君大学生学术君大学生学术君大学生学术君QQ:10831431QQ:10831431例例 设函数设函数在在x = 0连续连续, ,则则a= , ,b= = . .提示提示: :11大学生学术君大学生学术君大学生学术君大学生学术君QQ:10831431QQ:10831431例例例例 12大学生学术君大学生学术君大学生
6、学术君大学生学术君QQ:10831431QQ:10831431第二章第二章 导数与微分导数与微分13大学生学术君大学生学术君大学生学术君大学生学术君QQ:10831431QQ:1083143114大学生学术君大学生学术君大学生学术君大学生学术君QQ:10831431QQ:1083143115大学生学术君大学生学术君大学生学术君大学生学术君QQ:10831431QQ:10831431第三章第三章 微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用16大学生学术君大学生学术君大学生学术君大学生学术君QQ:10831431QQ:10831431函函数数性性态态(水平水平,垂直垂直)(拐点拐点,凹凸性和判别法凹
7、凸性和判别法)驻点驻点极值存在的必要条件极值存在的必要条件极值存在的充分条件极值存在的充分条件17大学生学术君大学生学术君大学生学术君大学生学术君QQ:10831431QQ:10831431带带PeanoPeano型余项的泰勒公式型余项的泰勒公式18大学生学术君大学生学术君大学生学术君大学生学术君QQ:10831431QQ:10831431 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式19大学生学术君大学生学术君大学生学术君大学生学术君QQ:10831431QQ:1083143120大学生学术君大学生学术君大学生学术君大学生学术君QQ:10831431QQ:10831431洛必达法则洛必达法则
8、注注 (1) 当上式右端极限存在时当上式右端极限存在时, 才能用此法则才能用此法则,(2) 在求极限过程中在求极限过程中,可能要多次使用此法则可能要多次使用此法则,(3) 在使用中在使用中, 要进行适当的化简要进行适当的化简,(4) 在使用中在使用中, 注意和其它求极限方法相结合注意和其它求极限方法相结合.21大学生学术君大学生学术君大学生学术君大学生学术君QQ:10831431QQ:10831431定理定理( (第一充分条件第一充分条件) )22大学生学术君大学生学术君大学生学术君大学生学术君QQ:10831431QQ:10831431定理定理( (第二充分条件第二充分条件) )23大学生学
9、术君大学生学术君大学生学术君大学生学术君QQ:10831431QQ:10831431求极值的步骤求极值的步骤: :24大学生学术君大学生学术君大学生学术君大学生学术君QQ:10831431QQ:1083143125大学生学术君大学生学术君大学生学术君大学生学术君QQ:10831431QQ:10831431计算题计算题26大学生学术君大学生学术君大学生学术君大学生学术君QQ:10831431QQ:108314311.计算题计算题解答解答27大学生学术君大学生学术君大学生学术君大学生学术君QQ:10831431QQ:1083143128大学生学术君大学生学术君大学生学术君大学生学术君QQ:1083
10、1431QQ:1083143129大学生学术君大学生学术君大学生学术君大学生学术君QQ:10831431QQ:1083143130大学生学术君大学生学术君大学生学术君大学生学术君QQ:10831431QQ:1083143131大学生学术君大学生学术君大学生学术君大学生学术君QQ:10831431QQ:10831431第四章第四章 不定积分不定积分32大学生学术君大学生学术君大学生学术君大学生学术君QQ:10831431QQ:10831431例例解解分子分母同除以分子分母同除以33大学生学术君大学生学术君大学生学术君大学生学术君QQ:10831431QQ:10831431例例34大学生学术君大学生学术君大学生学术君大学生学术君QQ:10831431QQ:10831431例例解解35大学生学术君大学生学术君大学生学术君大学生学术君QQ:10831431QQ:1083143136大学生学术君大学生学术君大学生学术君大学生学术君QQ:10831431QQ:10831431第五章第五章 定积分定积分37大学生学术君大学生学术君大学生学术君大学生学术君QQ:10831431QQ:1083143138大学生学术君大学生学术君大学生学术君大学生学术君QQ:10831431QQ:10831431第六章第六章 定积分的应用定积分的应用39
