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1、第十三讲 反比例函数1.1.理解：反比例函数的定义与关系式理解：反比例函数的定义与关系式. .2.2.掌握：反比例函数的图象与性质掌握：反比例函数的图象与性质, ,反比例函数中比例系数反比例函数中比例系数k k的的几何意义几何意义. .3.3.会：运用反比例函数解决实际问题会：运用反比例函数解决实际问题. .解答反比例函数与方程及解答反比例函数与方程及与其他函数相融合的综合性题目与其他函数相融合的综合性题目. .一、反比例函数的有关概念一、反比例函数的有关概念1.1.反比例函数的定义反比例函数的定义一般地，形如一般地，形如y= (ky= (k是常数，是常数，k0)k0)的函数叫做反比例函数的函
2、数叫做反比例函数, ,其其中中_是自变量是自变量,_,_的函数的函数,k,k是比例系数是比例系数. .2.2.反比例函数关系式的三种形式反比例函数关系式的三种形式(1)y=_(k(1)y=_(k是常数，是常数，k0);k0);(2)y=(2)y=k_(kk_(k是常数，是常数，k0);k0);(3)xy=_(k(3)xy=_(k是常数，是常数，k0).k0).x xy y是是x xx x-1-1k k【即时应用即时应用】1.1.若函数若函数y= y= 是反比例函数，则是反比例函数，则m m的值为的值为_._.2.2.如果反比例函数的图象经过点如果反比例函数的图象经过点(1(1，-3)-3)，那
3、么这个函数的关，那么这个函数的关系式为系式为_._.3.3.菱形的面积为菱形的面积为1010，两条对角线的长分别为，两条对角线的长分别为x x，y y，则，则y y与与x x的函的函数关系式为数关系式为_._.-2-2二、反比例函数的图象与性质二、反比例函数的图象与性质1.1.反比例函数反比例函数y= (ky= (k是常数是常数,k0),k0)的图象是的图象是_，且关于，且关于_对称对称. .双曲线双曲线原点原点2.2.反比例函数反比例函数y= (ky= (k是常数是常数,k0),k0)的图象和性质的图象和性质函数函数 图象图象 所在象限所在象限性质性质y= y= (k(k是是常数常数, ,k
4、0)k0)k_0k_0 一、三象限一、三象限( (x,yx,y同号同号) ) 在每个象限内，在每个象限内，y y随随x x的增大而的增大而_k_0k_0 二、四象限二、四象限( (x,yx,y异号异号) ) 在每个象限内，在每个象限内，y y随随x x的增大而的增大而_ 减小减小增大增大【即时应用即时应用】1.1.已知反比例函数已知反比例函数y= y= 的图象位于第一、三象限，则的图象位于第一、三象限，则k k的取的取值范围是值范围是_._.2.2.若点若点A(-1A(-1，y y1 1) )，B(2B(2，y y2 2) )，C(3C(3，y y3 3) )都在反比例函数都在反比例函数y=
5、y= 的图象上，则的图象上，则y y1 1，y y2 2，y y3 3 的大小关系是的大小关系是_._.3.3.已知反比例函数已知反比例函数y= y= 的图象如图所示，则一次函数的图象如图所示，则一次函数y=y=kx+kkx+k的的图象不经过第图象不经过第_象限象限. .k k2 2y y2 2y y3 3y y1 1四四【核心点拨核心点拨】1.1.反比例函数的图象是双曲线，它既是轴对称图形，又是中心反比例函数的图象是双曲线，它既是轴对称图形，又是中心对称图形对称图形. .其对称轴是直线其对称轴是直线y=xy=x和直线和直线y=-x,y=-x,对称中心是坐标原点对称中心是坐标原点. .2.2.
6、正比例函数正比例函数y=ky=k1 1x x与反比例函数与反比例函数(1)(1)当当k k1 1k k2 2000时，两图象必有两个交点时，两图象必有两个交点, ,且这两个交点关于原且这两个交点关于原点成中心对称点成中心对称. .反比例函数的图象与性质反比例函数的图象与性质中考指数：中考指数：知识知识点睛点睛1.1.图象的特点图象的特点反比例函数的图象与反比例函数的图象与x x轴、轴、y y轴都没有交点，即双曲线的轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不能与坐标轴相交两个分支无限接近坐标轴，但永远不能与坐标轴相交. .2.2.比例系数比例系数k k与图象位置、函数增减性的关系与
7、图象位置、函数增减性的关系反比例函数图象的位置和函数的增减性，是由其比例系反比例函数图象的位置和函数的增减性，是由其比例系数数k k的符号决定的；由反比例函数的图象位置和函数的增的符号决定的；由反比例函数的图象位置和函数的增减性可以判断减性可以判断k k的符号的符号. .特别特别提醒提醒反比例函数的增减性必须在图象的一个分支上研究反比例函数的增减性必须在图象的一个分支上研究. .【例例1 1】(2012(2012青岛中考青岛中考) )点点A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),C(x),C(x3 3,y,y3 3) )都在都在反比例函数反比例函数y= y=
8、的图象上，若的图象上，若x x1 1xx2 20x0x3 3, ,则则y y1 1,y,y2 2,y,y3 3的大小关的大小关系是系是( )( )(A)y(A)y3 3yy1 1yy2 2 (B)y (B)y1 1yy2 2yy3 3(C)y(C)y3 3yy2 2yy1 1 (D)y (D)y2 2yy1 1yy3 3【教你解题教你解题】确定确定A,B,CA,B,C的位置的位置k=-3O,k=-3O,图象在第二、四象限，图象在第二、四象限，x x1 1xx2 2OxOx3 3AA，B B在第二象限，在第二象限，C C在第四象限在第四象限y y3 3最小最小. .比较比较y y1 1,y,y2
9、 2的大小的大小由由kOkO，知每个分支上，知每个分支上y y随随x x的增大的增大而增大，故而增大，故y y1 1yy2 2. .答案答案y y3 3yy1 1y1 (B)m01 (B)m0( (C)mC)m1 (D)m01 (D)m0,k-20,所以所以k2,k2,正确；反比例函数的图正确；反比例函数的图象在一，三象限或二，四象限，所以象在一，三象限或二，四象限，所以正确；若正确；若A,BA,B在不同的分在不同的分支，则不正确；在同一分支上，则一定正确，故支，则不正确；在同一分支上，则一定正确，故不正确，不正确， 正确正确. .答案：答案：与双曲线有关的面积计算与双曲线有关的面积计算中考指
10、数：中考指数：知知识识点点睛睛双曲线上的点与坐标轴围成图形的面积双曲线上的点与坐标轴围成图形的面积设设P(xP(x0 0,y,y0 0) )为双曲线为双曲线y= (k0)y= (k0)上任意一点：上任意一点：1.1.如图，过点如图，过点P P作作x x轴垂线，垂足为轴垂线，垂足为A A，则，则S SAOPAOP= = OAOAAP= |xAP= |x0 0y y0 0|=|=知知识识点点睛睛2.2.过点过点P P分别作分别作x x轴、轴、y y轴的垂线，垂足为轴的垂线，垂足为A A，B B，则，则S S矩形矩形OAPBOAPB=OA=OAAP=|xAP=|x0 0y y0 0|=|k|.|=|
11、k|.特特别别提提醒醒1.1.用好双曲线的对称性：双曲线关于原点用好双曲线的对称性：双曲线关于原点O O对称，因此双对称，因此双曲线曲线y= (k0)y= (k0)与过原点与过原点O O的正比例函数的正比例函数y=y=kxkx的交点关于的交点关于原点原点O O对称对称. .2.2.会用割补法求面积会用割补法求面积. .尤其要注意有时需先利用坐标轴构尤其要注意有时需先利用坐标轴构造出特殊图形造出特殊图形( (如矩形、梯形、直角三角形等如矩形、梯形、直角三角形等).).【例例2 2】(2011(2011东营中考东营中考) )如图，直线如图，直线l和和双曲线双曲线y= (ky= (k0)0)交于交于
12、A,BA,B两点两点,P,P是线段是线段ABAB上的点上的点( (不与不与A,BA,B重合重合),),过点过点A,B,PA,B,P分别分别向向x x轴作垂线轴作垂线, ,垂足分别是垂足分别是C,D,E,C,D,E,连结连结OA,OA,OB,OP,OB,OP,设设AOCAOC面积是面积是S S1 1、BODBOD面积是面积是S S2 2、POEPOE面积是面积是S S3 3，则，则( )( )(A)S(A)S1 1S S2 2S S3 3 (B)S (B)S1 1S S2 2S S3 3(C)S(C)S1 1=S=S2 2S S3 3 (D)S (D)S1 1=S=S2 2S S3 3【教你解题
13、教你解题】观察观察点点A A，B B在双曲线在双曲线y= (kO)y= (kO)上，上，点点P P在双曲线的上方在双曲线的上方比较比较设设PEPE交双曲线于点交双曲线于点F,F,则则S S1 1=S=S2 2=S=SFOEFOE，而，而S S3 3SSFOEFOE答案答案S S1 1=S=S2 2SS3 3，选，选D D【对点训练对点训练】4.(20124.(2012威海中考威海中考) )下列选项中，阴影部分面积最小的是下列选项中，阴影部分面积最小的是( )( )【解析解析】选选C.C.由反比例函数的性质可得由反比例函数的性质可得A A、B B选项中的阴影面积都选项中的阴影面积都是是2 2，C
14、 C选项中阴影的面积为选项中阴影的面积为 D D选项中的阴影面积为选项中的阴影面积为2 2，故选，故选C.C.5.(20125.(2012荆门中考荆门中考) )如图，点如图，点A A是反比例函数是反比例函数y= (xy= (x0)0)的图的图象上任意一点，象上任意一点，ABxABx轴交反比例函数轴交反比例函数y= y= 的图象于点的图象于点B B，以，以ABAB为边作为边作ABCDABCD，其中，其中C C，D D在在x x轴上，则轴上，则S SABCDABCD为为( )( )(A)2(A)2(B)3(B)3(C)4(C)4(D)5(D)5【解析解析】选选D.D.如图如图, ,连结连结OB,O
15、A,OB,OA,设设ABAB与与y y轴交于点轴交于点E E，由，由ABxABx轴轴, ,得得AByABy轴，所以轴，所以OBEOBE的面积为的面积为1.51.5，OAEOAE的面积为的面积为1 1，即，即OABOAB的面积为的面积为1.5+1=2.51.5+1=2.5，所以，所以S SABCDABCD=2S=2SOABOAB=2=22.5=5.2.5=5.6. (20116. (2011桂林中考桂林中考) )双曲线双曲线y y1 1, y, y2 2在第一象限的图象如图所在第一象限的图象如图所示，示，y y1 1= = 过过y y1 1上的任意一点上的任意一点A A，作，作x x轴的平行线交
16、轴的平行线交y y2 2于于B B，交，交y y轴于轴于C C，若，若S SAOBAOB=1=1，则，则y y2 2的关系式是的关系式是_._.【解析解析】因为反比例函数因为反比例函数y y1 1= = 所以所以S SAOCAOC=2.=2.又又S SAOBAOB=1=1，所以，所以S SCOBCOB=3=3，所以反比例函数，所以反比例函数y y2 2的关系式是的关系式是y y2 2= =答案：答案：y y2 2= = 反比例函数关系式及其应用反比例函数关系式及其应用中考指数：中考指数：知知识识点点睛睛利用反比例函数解决实际问题的步骤利用反比例函数解决实际问题的步骤1.1.建模：通过分析题意构
17、建反比例函数模型建模：通过分析题意构建反比例函数模型. .2.2.求关系式：用待定系数法求出反比例函数关系式求关系式：用待定系数法求出反比例函数关系式. .3.3.解决问题：利用函数关系解决问题解决问题：利用函数关系解决问题. .特特别别提提醒醒实际问题中的反比例函数，其自变量的取值往往受到一定实际问题中的反比例函数，其自变量的取值往往受到一定的限制，这时其图象通常是双曲线的一支或一段的限制，这时其图象通常是双曲线的一支或一段. .【例例3 3】(2011(2011大庆中考大庆中考) )如图所示，制作一种产品的同时，需如图所示，制作一种产品的同时，需将原材料加热，设该材料温度为将原材料加热，设
18、该材料温度为y y ，从加热开始计算的时间，从加热开始计算的时间为为x x分钟分钟. .据了解，该材料在加热过程中温度据了解，该材料在加热过程中温度y y与时间与时间x x成一次函成一次函数关系数关系. .已知该材料在加热前的温度为已知该材料在加热前的温度为1515，加热，加热5 5分钟使材料分钟使材料温度达到温度达到6060时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度这时温度y y与时间与时间x x成反比例函数关系成反比例函数关系. .(1)(1)分别求出该材料加热和停止加热过程中分别求出该材料加热和停止加热过程中y y与与x x的函数关系的函
19、数关系( (要要写出写出x x的取值范围的取值范围) )；(2)(2)根据工艺要求，在材料温度不低于根据工艺要求，在材料温度不低于3030的这段时间内，需要的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理所用的时对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理所用的时间为多少分钟？间为多少分钟？【思路点拨思路点拨】 设出函数关系式设出函数关系式 列方程列方程 解方程解方程 确定函数关系式确定函数关系式 代入代入 结果结果【自主解答自主解答】(1)(1)设加热过程中一次函数关系式为设加热过程中一次函数关系式为y=y=kx+bkx+b，该，该函数图象经过点函数图象经过点(0,15)(
20、0,15)，(5,60)(5,60)，即即 解得解得所以一次函数关系式为所以一次函数关系式为y=9x+15(0x5).y=9x+15(0x5).设加热停止后反比例函数关系式为设加热停止后反比例函数关系式为y= y= 该函数图象经过点该函数图象经过点(5,60)(5,60)，即即 =60=60，得，得a=300a=300，所以反比例函数关系式为，所以反比例函数关系式为y= (x5).y= (x5).(2)(2)由题意得：由题意得： 解得解得解得解得x x2 2=10=10，则，则x x2 2-x-x1 1=10=10所以对该材料进行特殊处理所用的时间为所以对该材料进行特殊处理所用的时间为 分钟分
21、钟. . 【对点训练对点训练】7.(20117.(2011泰州中考泰州中考) )某公司计划新建一个容积某公司计划新建一个容积V(mV(m3 3) )一定的长方一定的长方体污水处理池，池的底面积体污水处理池，池的底面积S(mS(m2 2) )与其深度与其深度h(mh(m) )之间的函数关系之间的函数关系式为式为S= (h0)S= (h0)，这个函数的图象大致是，这个函数的图象大致是( )( )【解析解析】选选C.C.因为因为V V是定值是定值( (常数常数) )，所以，所以S S与与h h的关系是反比例函的关系是反比例函数关系，且数关系，且h h0 0，所以选，所以选C.C.8.(20128.(
22、2012兰州中考兰州中考) )近视眼镜的度数近视眼镜的度数y(y(度度) )与镜片焦距与镜片焦距x(mx(m) )成反成反比例，已知比例，已知400400度近视眼镜镜片的焦距为度近视眼镜镜片的焦距为0.25 m0.25 m，则，则y y与与x x的函数的函数关系式为关系式为( )( )【解析解析】选选C.C.设设y= (k0)y= (k0)，k=400k=4000.25=100,y=0.25=100,y=9.(20129.(2012宜宾中考宜宾中考) )蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流流I(A)I(A)是电阻是电阻R()R()的反比例函数，其图象如图所
23、示的反比例函数，其图象如图所示. .(1)(1)求这个反比例函数的表达式；求这个反比例函数的表达式；(2)(2)当当R=10 R=10 时，电流能是时，电流能是4 A4 A吗？为什么？吗？为什么？【解析解析】(1)(1)电流电流I(A)I(A)是电阻是电阻R()R()的反比例函数的反比例函数，设设I= (k0)I= (k0)，把把(4(4，9)9)代入得：代入得：k=4k=49=369=36，I=I=(2)(2)方法一：当方法一：当R=10 R=10 时，时，I=3.64,I=3.64,电流不可能是电流不可能是4 A.4 A.方法二：方法二：10104=4036,4=4036,当当R=10 R
24、=10 时，电流不可能是时，电流不可能是4 A.4 A.【高手支招高手支招】列实际问题的反比例函数关系式列实际问题的反比例函数关系式(1)(1)列实际问题中的反比例函数关系式首先应分析清楚各变量之列实际问题中的反比例函数关系式首先应分析清楚各变量之间应满足的关系，即实际问题中的变量之间的关系间应满足的关系，即实际问题中的变量之间的关系建立反比建立反比例函数模型例函数模型解决实际问题解决实际问题. .(2)(2)在列实际问题中的函数关系式时，一定要注意关系式中自变在列实际问题中的函数关系式时，一定要注意关系式中自变量的取值范围量的取值范围【创新命题创新命题】同一坐标系中的双曲线与直线同一坐标系中
25、的双曲线与直线【例例】(2012(2012嘉兴中考嘉兴中考) )如图，一次如图，一次函数函数y y1 1= =kx+bkx+b的图象与反比例函数的图象与反比例函数y y2 2= =的图象相交于点的图象相交于点A(2A(2，3)3)和点和点B B，与与x x轴相交于点轴相交于点C(8C(8，0)0)(1)(1)求这两个函数的关系式；求这两个函数的关系式；(2)(2)当当x x取何值时，取何值时，y y1 1y y2 2【解题导引解题导引】先由先由A A，C C两点坐标分别求出两个函数的关系式两点坐标分别求出两个函数的关系式. .以以两图象的交点为界限，由图象位置特征讨论两图象的交点为界限，由图象
26、位置特征讨论y y1 1与与y y2 2的大小的大小. .【规范解答规范解答】(1)(1)把把 A(2A(2，3)3)代入代入y y2 2= = 得得m=6m=6把把 A(2A(2，3)3)，C(8C(8，0)0)代入代入y y1 1= =kx+bkx+b，得，得解得解得这两个函数的关系式为这两个函数的关系式为(2)(2)由题意得由题意得解得解得当当x x0 0或或2 2x x6 6时，时，y y1 1y y2 2【名师点评名师点评】通过对反比例函数与一次函数图象的综合应用的通过对反比例函数与一次函数图象的综合应用的分析和总结，我们可以得到以下该类型题目的创新点拨和解题分析和总结，我们可以得到
27、以下该类型题目的创新点拨和解题启示：启示： 创创新新点点拨拨 1.1.一次函数和反比例函数是两类重要的函数，也是历年中一次函数和反比例函数是两类重要的函数，也是历年中考命题的热点内容考命题的热点内容. .在各类考试中在各类考试中, ,常常出现两类函数的图常常出现两类函数的图象融合在一起的综合问题象融合在一起的综合问题. .2.2.这类试题不仅能考查两个函数的基本性质，而且能考查这类试题不仅能考查两个函数的基本性质，而且能考查学生综合分析问题的能力学生综合分析问题的能力. .解解题题启启示示1.1.探求同一坐标系下两函数的图象常用排除法探求同一坐标系下两函数的图象常用排除法. .2.2.探求两函
28、数关系式常利用两函数图象的交点坐标探求两函数关系式常利用两函数图象的交点坐标. .3.3.探求两图象中点的坐标常利用解方程探求两图象中点的坐标常利用解方程( (组组) )来解决，这也来解决，这也是求两函数图象交点坐标的常用方法是求两函数图象交点坐标的常用方法. .1.(20111.(2011毕节中考毕节中考) )一次函数一次函数y=kx+k(k0)y=kx+k(k0)和反比例函数和反比例函数y=y= (k0) (k0)在同一直角坐标系中的图象大致是在同一直角坐标系中的图象大致是( )( )【解析解析】选选C.C.当当k k0 0时，一次函数经过一、二、三象限，反时，一次函数经过一、二、三象限，
29、反比例函数在一、三象限，没有符合条件的选项；比例函数在一、三象限，没有符合条件的选项；当当k k0 0时，时，一次函数经过二、三、四象限，反比例函数在二、四象限一次函数经过二、三、四象限，反比例函数在二、四象限. .故选故选C.C.2.(20122.(2012益阳中考益阳中考) )反比例函数反比例函数y= y= 的图象与一次函数的图象与一次函数y=2x+1y=2x+1的图象的一个交点是的图象的一个交点是(1(1，k)k)，则反比例函数的关系式是，则反比例函数的关系式是_ 【解析解析】把把(1(1，k)k)代入代入y=2x+1,y=2x+1,解得解得k=3,k=3,所以反比例函数的关所以反比例函
30、数的关系式是系式是y=y=答案：答案：y= y= 3.(20123.(2012宁波中考宁波中考) )如图，已知一次函数与反比例函数的图象如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点交于点A(-4A(-4，-2)-2)和和B(aB(a，4).4).(1)(1)求反比例函数的关系式和点求反比例函数的关系式和点B B的坐标；的坐标；(2)(2)根据图象回答，当根据图象回答，当x x在什么范围内时，一次函数的值大于反在什么范围内时，一次函数的值大于反比例函数的值？比例函数的值？【解析解析】(1)(1)设反比例函数的关系式为设反比例函数的关系式为y=y=反比例函数图象经过点反比例函数图象经过点A(-4,-2)A(-4,-2)，-2=-2=k=8,k=8,反比例函数的关系式为反比例函数的关系式为y=y=B(a,4)B(a,4)在在y= y= 的图象上，的图象上，4= a=2,4= a=2,点点B B的坐标为的坐标为(2(2，4).4).(2)(2)根据图象得，当根据图象得，当x x2 2或或-4-4x x0 0时，一次函数的值大于反比时，一次函数的值大于反比例函数的值例函数的值
