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1、Chapter 2Linear Time-invariant Systems1 Chapter 2 LTI SystemsConsider a linear time-invariant system Example 1 an LTI system0 2 t10 1 2 t1L0 2 4 t1-10 2 4 t1L2 Chapter 2 LTI Systems2.1 Discrete-time LTI Systems : The Convolution Sum（卷积和）（卷积和）2.1.1 The Representation of Discrete-Time Signalsin Terms
2、of impulsesSifting Property离散时间信号的冲激表示离散时间信号的冲激表示Example 2n3 Chapter 2 LTI Systems2.1.2 The Discrete-Time Unit Impulse Responses and the Convolution-Sum Representation of LTI Systems 1.The Unit Impulse Responses单位冲激响应单位冲激响应Let Let Time-InvariantUnit Impulse Responses4 Chapter 2 LTI Systems2. Convolu
3、tion-Sum （卷积和）（卷积和）Time Invariant Scaling Additivity Convolution-Sum（卷积和）（卷积和）系统在系统在n时刻的输出包含所有时刻输入脉冲的影响时刻的输出包含所有时刻输入脉冲的影响k时刻的脉冲在时刻的脉冲在n时刻的响应时刻的响应5 Chapter 2 LTI Systems3. 卷积和的计算卷积和的计算 图解法图解法例例2.3图解法步骤：图解法步骤：反折反折 平移平移 求乘积求乘积 对每一个对每一个n求和求和循循环环6 Chapter 2 LTI SystemsExample 2.4Determine the output sign
4、al Solution (a) n0 微分微分n0 积分积分27 Chapter 2 LTI Systems28 Chapter 2 LTI SystemsExample otherwiseotherwiseSolution 10 1 2 3 t0 1 2 3 tIntegral 29 Chapter 2 LTI SystemsSolution 20 1 2 3 t0 1 2 3 t30Example Consider the convolution of the two signals(1)(1)0 t-1 0 1 t-2 -1 0 1 2 t-2-2 -1 0 1 2 t-2(-2)31
5、Chapter 2 LTI Systems6 几种典型系统几种典型系统 恒等系统恒等系统 微分器微分器 积分器积分器 延迟器延迟器 累加器累加器32 Chapter 2 LTI Systems2.3.4 LTI Systems with and without Memory 1. Discrete-time SystemIt is memorylessAn LTI system without memory2. Continuous-time SystemAn LTI system without memory33 Chapter 2 LTI Systems2.3.5 Invertibilit
6、y of LTI SystemsLTI系统的可逆性系统的可逆性System Inverse System identity system (恒等系统）恒等系统）34 Chapter 2 LTI Systems2.3.6 Causality for LTI SystemsLTI系统的因果性系统的因果性1. Discrete-time System与与n时刻以后输入有关时刻以后输入有关 Causal system2. Continuous-time System Causal system35 Chapter 2 LTI SystemsConsider a linear system Causal
7、 Initial Rest (初始松弛）初始松弛）For any time t02.3.7 Stability for LTI Systems (稳定性）稳定性）1. Discrete-time System36 Chapter 2 LTI Systems Stable System2. Continuous-time SystemabsolutelySummable 绝对可加绝对可加 Stable SystemThe system is stable.absolutelyIntegrable绝对可积绝对可积 The system is not stable.37 Chapter 2 LTI
8、Systems2.3.8 The Unit Step Response of an LTI SystemsLTI系统的单位阶跃响应系统的单位阶跃响应Discrete-time SystemContinuous-time SystemUnit Step ResponseUnit Step Response38 Chapter 2 LTI Systems2.4 Singularity Functions (奇异函数）奇异函数）2.4.1 The Unit Impulse as an Idealized Short Pulse0 t0 2 t39 Chapter 2 LTI SystemsExamp
9、le 2.1640 Chapter 2 LTI SystemsExample 2.1741Define Chapter 2 LTI Systems2.4.2 Defining the Unit Impulse through Convolution单位冲激的卷积定义单位冲激的卷积定义For any x(t)For any normal ,which is continuous at time t=0.Let t=0Sifting PropertyThe unit impulse has unit area42 Chapter 2 LTI Systems2.4.3 Unit Doublets a
10、nd Other Singularity Functions单位冲激偶和其它奇异函数单位冲激偶和其它奇异函数 Derivative Unit Doublets1. In general ,k times0 t0 t43 Chapter 2 LTI SystemsDiscrete-time SystemContinuous-time System Causal system Causal system Stable System Stable System44 Chapter 2 LTI Systems3. Properties of Unit Doublets （冲激偶的性质）（冲激偶的性质）
11、2. DefiningFor any 45 Chapter 2 LTI SystemsIn general, 4.Derivatives of different orders of the unit impulse单位冲激的各阶积分单位冲激的各阶积分46 Chapter 2 LTI Systems2. 5 Causal LTI Systems described by Differential and Difference Equations 用微分方程和差分方程描述的因果用微分方程和差分方程描述的因果LTI系统系统2. 5.1 Linear Constant-coefficient Dif
12、ferential Equations 线性常系数微分方程线性常系数微分方程一一 经典解法经典解法1.Homogeneous solution齐次解齐次解特征方程特征方程47 Chapter 2 LTI Systems 特征方程有特征方程有N个不同的单根个不同的单根 特征方程有特征方程有1个个 r 阶重根阶重根 ，其余，其余N-r个根各不相同个根各不相同Homogeneous Solution Natural Response 齐次解齐次解 自然响应自然响应2. Particular SolutionForced Response 特解特解 受迫响应受迫响应的函数形式取决于输入的函数形式的函数
13、形式取决于输入的函数形式48 Chapter 2 LTI Systems输入输入 特解特解 C （常数）（常数）B （常数）（常数） 不是特征单根不是特征单根 是特征单根是特征单根或或49 Chapter 2 LTI SystemsExample 2.14齐次解：齐次解：特解：特解：全响应：全响应：LTI因果系统因果系统 初始松弛初始松弛由系统初始条件确定由系统初始条件确定50 Chapter 2 LTI Systems 若初始条件不为零，若初始条件不为零，若初始条件不跃变，若初始条件不跃变，代入代入全响应全响应N阶系统，初始松弛：阶系统，初始松弛：初始松弛条件下：初始松弛条件下：51 Cha
14、pter 2 LTI Systems二二 零输入、零状态解法零输入、零状态解法全响应：全响应：1.零输入响应零输入响应 ：具有齐次解的形式；具有齐次解的形式；假定特征方程含有假定特征方程含有N个不同的单根个不同的单根2.零状态响应零状态响应 ：齐次解的另一部分齐次解的另一部分特解特解齐次解的一部分齐次解的一部分52 Chapter 2 LTI Systems由初始状态由初始状态唯一决定唯一决定零输入响应零输入响应由零初始状态由零初始状态及输入共同决定及输入共同决定零状态响应零状态响应由初始状态由初始状态及输入决定及输入决定自然响应自然响应函数形式由函数形式由输入信号决定输入信号决定受迫响应受迫
15、响应1. 零输入零状态解法零输入零状态解法2. 经典解法经典解法三三 两种响应分解形式的关系两种响应分解形式的关系53 Chapter 2 LTI SystemsExample 2.141.Zero-input response2.Zero-state response3. Full response54 Chapter 2 LTI Systems2.5.2 Linear Constant-coefficient Difference Equations 线性常系数差分方程线性常系数差分方程Nth order1.Recursive Solution递推算法递推算法Recursive Equat
16、ion递归方程递归方程Input signalInitial state55 Chapter 2 LTI SystemsParticularly N=0Nonrecursive Equation非递归方程非递归方程Unit impulseresponseFinite impulse response (FIR) systemExample 2.15Initial rest56 Chapter 2 LTI Systems57 Chapter 2 LTI Systems由初始状态由初始状态唯一决定唯一决定零输入响应零输入响应由零初始状态由零初始状态及输入共同决定及输入共同决定零状态响应零状态响应由
17、初始状态由初始状态及输入决定及输入决定自然响应自然响应函数形式由函数形式由输入信号决定输入信号决定受迫响应受迫响应1. 零输入零状态解法零输入零状态解法2. 经典解法经典解法两种响应分解形式的关系两种响应分解形式的关系58 Chapter 2 LTI Systems2. 差分方程差分方程 的经典解法的经典解法Full Homogeneous Particular Homogeneous solutionEigenequation 特征方程特征方程(a) 特征方程有特征方程有N个不同的单根个不同的单根(b) 特征方程有特征方程有1个个 r 阶重根阶重根1 其余其余N-r 个根各不相同个根各不相同
18、59 Chapter 2 LTI Systems Particular solution (Forced Response)输入输入 特解特解 不是特征单根不是特征单根 是特征单根是特征单根或或60 Chapter 2 LTI Systems3. 零输入、零状态解法零输入、零状态解法Full Zero-input Zero-state 零输入响应零输入响应 ：具有齐次解的形式；具有齐次解的形式； 零状态响应零状态响应 ：齐次解的另一部分齐次解的另一部分特解特解齐次解的一部分齐次解的一部分假定特征方程含有假定特征方程含有N个不同的单根个不同的单根61 Chapter 2 LTI Systems由
19、初始状态由初始状态唯一决定唯一决定零输入响应零输入响应由零初始状态由零初始状态及输入共同决定及输入共同决定零状态响应零状态响应由初始状态由初始状态及输入决定及输入决定自然响应自然响应函数形式由函数形式由输入信号决定输入信号决定受迫响应受迫响应全响应全响应零输入零输入零状态解法零状态解法全响应全响应经典解法经典解法4. 两种响应分解形式的关系两种响应分解形式的关系62 Chapter 2 LTI SystemsExample Consider an LTI system:Determine the full responseSolution 1Homogeneous SolutionPartic
20、ular SolutionFull Solution63 Chapter 2 LTI SystemsInitial State:Full SolutionSolution 2Zero-input Solution64 Chapter 2 LTI SystemsZero-state SolutionFull SolutionZero-input response Zero-state response Natural response Forced response 65 Chapter 2 LTI Systems2. 5.3 Block Diagram Representations of F
21、irst-Order System 一阶系统的方框图表示一阶系统的方框图表示1. Discrete-time systemsThree basic operationsAddition Multiplication by a coefficientDelay DRecursive EquationDInitial rest :66 Chapter 2 LTI Systems2. Continuous-time systemsThree basic operationsAddition Multiplication by a coefficientIntegrator 67 Chapter 2 LTI SystemsInitial Condition68
