《中考数学总复习 第二部分 热点题型攻略 题型五 二次函数中存在、探究问题课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学总复习 第二部分 热点题型攻略 题型五 二次函数中存在、探究问题课件（80页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二部分第二部分 热点题型攻略热点题型攻略题型五题型五 二次函数中存在、探究问题二次函数中存在、探究问题类型一类型一 特殊三角形的存在、探究问题特殊三角形的存在、探究问题典例精讲典例精讲例例(13铜仁铜仁)如图，已知直线如图，已知直线y=3x-3分别交分别交x轴、轴、y轴于轴于A、B两点，抛物线两点，抛物线y=x2+bx+c经过经过A、B两点，两点，点点C是抛物线与是抛物线与x轴的另一个交点轴的另一个交点(与与A点不重合点不重合).(1)求抛物线的解析式；求抛物线的解析式；(2)求求ABC的面积；的面积；(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使，使ABM为等腰三
2、角形？若不存在，请说明理由；为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点若存在，求出点M的坐标的坐标.例题图例题图（1）【）【思路分析思路分析】根据直线解析式求出点】根据直线解析式求出点A及及点点B的坐标，然后将点的坐标，然后将点A及点及点B的坐标代入抛物的坐标代入抛物线解析式，可得出线解析式，可得出b、c的值，求出抛物线解析的值，求出抛物线解析式式.解解：直线直线y=3x-3分别交分别交x轴、轴、y轴于轴于A、B两点，两点，可得可得A（1，0），），B（0，-3），），把把A、B两点的坐标分别代入两点的坐标分别代入y=x2+bx+c得：得： 1+b+c=0 b=2 c=-3， c=-3
3、，抛物线解析式为抛物线解析式为y=x2+2x-3；解得：解得：（2）【思路分析思路分析】由（由（1）求得的抛物线解析式，）求得的抛物线解析式，可求得点可求得点C的坐标，继而求出的坐标，继而求出AC的长度，代入三的长度，代入三角形面积公式即可计算角形面积公式即可计算.解解：令令y=0得：得：0=x2+2x-3，解得：解得：x1=1，x2=-3，则则C点坐标为：（点坐标为：（-3，0），）， AC=4，故可得故可得SABC = ACOB= 43=6；（3）【）【思路分析思路分析】根据点】根据点M在抛物线对称轴上，在抛物线对称轴上，可设点可设点M的坐标为的坐标为(-1,m)，分三种情况讨论：，分三种
4、情况讨论：MA=BA,MB=BA，MB=MA，求出，求出m的的值后即可得出答案值后即可得出答案.解解：存在，理由如下：抛物线的对称轴为：存在，理由如下：抛物线的对称轴为：x=- -1，假设存在假设存在M（-1，m）满足题意，分三种情况讨论：）满足题意，分三种情况讨论：当当MA=AB时，时， ,解得：解得：m=6，M1（-1，6），），M2（-1，-6）；）；当当MB=BA时，时， ,解得：解得：m=0或或m=-6，M3（-1，0），），M4（-1，-6）(不合题意舍不合题意舍去去);当当MA=MB时，时， ，解得：解得：m=-1，M5（-1，-1）.答：共存在四个点答：共存在四个点M1（-1，
5、6）、）、M2（-1，-6）、）、M3（-1，0）、）、M5（-1，-1）使）使ABM为等腰三为等腰三角形角形.1.探究等腰三角形的存在、探究问题时，具体方法探究等腰三角形的存在、探究问题时，具体方法如下：如下：（1）若为存在问题，则先假设存在，再进行下一）若为存在问题，则先假设存在，再进行下一步；若为探究问题，则直接进行下一步；步；若为探究问题，则直接进行下一步；（2）当所给条件中没有说明哪条边是等腰三角形）当所给条件中没有说明哪条边是等腰三角形的底，哪条边是等腰三角形的腰时，要对其进行的底，哪条边是等腰三角形的腰时，要对其进行分类讨论，假设某两条边相等，得到三种情况；分类讨论，假设某两条边
6、相等，得到三种情况；（3）设未知量，求边长在每种情况下，直接或）设未知量，求边长在每种情况下，直接或间接设出所求点的坐标（若所求的点在抛物线上间接设出所求点的坐标（若所求的点在抛物线上时，该点的坐标可以设为（时，该点的坐标可以设为（x，ax2+bx+c)；若所求；若所求的点在对称轴上时，该点的坐标可以设为的点在对称轴上时，该点的坐标可以设为（ ，y)），并用所设点坐标表示出假设相等），并用所设点坐标表示出假设相等的两条边的长或第三边的长；的两条边的长或第三边的长；（4）计算求解根据等腰三角形的性质或利用勾）计算求解根据等腰三角形的性质或利用勾股定理或相似三角形的性质列等量关系式，根据股定理或相
7、似三角形的性质列等量关系式，根据等量关系求解即可等量关系求解即可.探究等边三角形的存在、探究问题时，可以先求探究等边三角形的存在、探究问题时，可以先求出该三角形为等腰三角形时的情况，然后求腰和出该三角形为等腰三角形时的情况，然后求腰和底相等时的情况即可底相等时的情况即可.二次函数压轴题二次函数压轴题等腰三角形问题等腰三角形问题二次函数压轴题二次函数压轴题直角三角形问题直角三角形问题2.探究直角三角形的存在、探究问题时探究直角三角形的存在、探究问题时,具体方法具体方法如下：如下：（1）若为存在问题，则先假设存在，再进行下一）若为存在问题，则先假设存在，再进行下一步；若为探究问题，则直接进行下一步
8、；步；若为探究问题，则直接进行下一步；（2）当所给的条件不能确定直角顶点时，分情况）当所给的条件不能确定直角顶点时，分情况讨论，分别令三角形的某个角为讨论，分别令三角形的某个角为90；（3）设未知量，求边长，在每种情况下，直接或）设未知量，求边长，在每种情况下，直接或间接设出所求点的坐标（若所求的点在抛物线上间接设出所求点的坐标（若所求的点在抛物线上时，该点的坐标可以设为（时，该点的坐标可以设为（x，ax2+bx+c)；若所求；若所求的点在对称轴上时，该点的坐标可以设为的点在对称轴上时，该点的坐标可以设为（ ，y)），利用所设点的坐标分别表示出三边），利用所设点的坐标分别表示出三边的长，用勾股
9、定理进行验证并求解的长，用勾股定理进行验证并求解.类型二类型二 特殊四边形的存在、探究问题特殊四边形的存在、探究问题典例精讲典例精讲例例1(14济宁济宁)如图，抛物线如图，抛物线y= x2+bx+c与与x轴交轴交于于A（5,0）、）、B（-1,0）两点，过点）两点，过点A作直线作直线ACx轴，交直线轴，交直线y=2x于点于点C；（1）求该抛物线的解析式；）求该抛物线的解析式；（2）求点）求点A关于直线关于直线y=2x的对称点的对称点A的坐标，判的坐标，判定点定点A是否在抛物线上，并说明理由；是否在抛物线上，并说明理由；（3）点）点P是抛物线上一动点，过点是抛物线上一动点，过点P作作y轴的平行轴
10、的平行线，交线段线，交线段CA于点于点M，是否存在这样的点，是否存在这样的点P，使，使四边形四边形PACM是平行四边形？若存在，求出点是平行四边形？若存在，求出点P的的坐标；若不存在，请说明理由坐标；若不存在，请说明理由.例例1题图题图（1）【思路分析思路分析】将将A、B两点坐标代入抛物线两点坐标代入抛物线解析式中得到方程组，然后求解方程组即可解析式中得到方程组，然后求解方程组即可.解解：y= x2+bx+c与与x轴交于轴交于A（5,0）、）、B（-1,0）两点，）两点， 0= 52+5b+c b=-1 0= -b+c, c=- ，抛物线的解析式为抛物线的解析式为y x2-x- ； 解得解得(
11、2) 【思路分析思路分析】求点求点A的坐标，需过点的坐标，需过点A作作AEx轴于点轴于点E，再求，再求AE和和OE的长，可以通过的长，可以通过AEA和和OAC相似，求出相似，求出AE和和AE，得出点，得出点A的坐标的坐标.例例1题解图题解图PMDE解解：过点：过点A作作AEx轴于点轴于点E，AA与与OC交于点交于点D，点点C在直线在直线y=2x上，上，点点C（5，10），），点点A和和A关于直线关于直线y=2x对称，对称，OCAA，ADAD.OA=5,AC=10,OC= .SOAC= OCAD OAAC，AD=2 , AA4 ，在在RtAEA和和RtOAC中，中，AAE+AAC=90，ACO+
12、AAC90,AAE=ACO.又又AEA=OAC=90，RtAEARtOAC, ,即即 ,AE=4,AE=8,OE=AEOA=8-5=3,点点A的坐标为（的坐标为（-3,4）,当当x=-3时，时，y (-3)2+3- =4,点点A在该抛物线上在该抛物线上;(3) 【思路分析思路分析】点点M在线段在线段CA上，设出直线上，设出直线CA的解析式，代入点的解析式，代入点A、点、点C坐标可得解析式，点坐标可得解析式，点P在抛物线上可设点在抛物线上可设点P（x， x2-x- ），则），则M（x， x+ ），点），点M在点在点P上方，可求上方，可求MP，再由，再由MPAC求出合适的求出合适的x的值，则可得的
13、值，则可得P点坐标点坐标.解解：存在：存在.理由：设直线理由：设直线CA的解析式为的解析式为y=kx+b,代代入点入点A(-3,4)和和C(5，10)， 则则 -3k+b=4 k= 5k+b=10, b= ，直线直线CA的解析式为的解析式为y= x+ .设点设点P的坐标为的坐标为(x, x2-x- )，则点则点M为为(x, x+ ).PMAC，要使四边形要使四边形PACM是平行四边形是平行四边形,只需只需PM=AC.解得解得又又点点M在点在点P的上方，的上方，（ x+ ）-( x2-x- )10.解得解得x1=2，x25（不合题意（不合题意,舍去），舍去），把把x=2代入抛物线解析式得，代入抛
14、物线解析式得，y- - ，当点当点P运动到（运动到（2，- ）时，四边形）时，四边形PACM是平是平行四边形行四边形.平行四边形的存在、探究问题，平行四边形的存在、探究问题，具体方法如下：具体方法如下：（1）若为存在问题，则先假设存在，再进行下一）若为存在问题，则先假设存在，再进行下一步；若为探究问题，则直接进行下一步；步；若为探究问题，则直接进行下一步；（2）设出点坐标，求边长直接或间接设出所求）设出点坐标，求边长直接或间接设出所求点的坐标（若所求的点在抛物线上时，该点的坐点的坐标（若所求的点在抛物线上时，该点的坐标可以设为（标可以设为（x，ax2+bx+c)；若所求的点在对称；若所求的点在
15、对称轴上时，该点的坐标可以设为（轴上时，该点的坐标可以设为（- - ，y)，若所求，若所求的点在已知直线的点在已知直线y=kx+b上时，该点的坐标可以设上时，该点的坐标可以设为（为（x，kx+b)，并用所设点坐标表示出平行四边，并用所设点坐标表示出平行四边形某两条边的长（常利用相似三角形性质或勾股形某两条边的长（常利用相似三角形性质或勾股定理求解）；定理求解）；（3）建立关系式，并计算；若四边形的四点位置）建立关系式，并计算；若四边形的四点位置已经确定，则直接利用四边形的边的性质进行计已经确定，则直接利用四边形的边的性质进行计算；若四边形四点位置不确定，需分情况讨论：算；若四边形四点位置不确定
16、，需分情况讨论： 当已知边为平行四边形的某条边时，画出所有当已知边为平行四边形的某条边时，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形对边相等的符合条件的图形后，利用平行四边形对边相等进行计算；进行计算；当已知边为平行边形的对角线时，当已知边为平行边形的对角线时，画出所有符合条件的图形后，利用平行四边形对画出所有符合条件的图形后，利用平行四边形对角线互相平分的性质进行计算角线互相平分的性质进行计算.二次函数压轴题二次函数压轴题平平行四边形问题行四边形问题例例2（13郴州郴州）如图，在四边形）如图，在四边形AOCB中，中，ABOC，AOC=90，AB=1，AO=2，OC=3，以以O为原点，为原点，
17、OC、OA所在直线为轴建立坐标系所在直线为轴建立坐标系抛物线顶点为抛物线顶点为A，且经过点，且经过点C点点P在线段在线段AO上由上由A向点向点O运动，点运动，点Q在线段在线段OC上由上由C向点向点O运动，运动，QDOC交交BC于点于点D，OD所在直线与抛物线在第所在直线与抛物线在第一象限交于点一象限交于点E.（1）求抛物线的解析式；）求抛物线的解析式；（2）点）点E是是E关于关于y轴的对称点，点轴的对称点，点Q运动到何处运动到何处时，四边形时，四边形OEAE是菱形？是菱形？（3）点）点P、Q分别以每秒分别以每秒2个单位和个单位和3个单位的速个单位的速度同时出发，运动的时间为度同时出发，运动的时
18、间为t秒，当秒，当t为何值时，为何值时，PBOD？例例2题图题图（1）【思路分析思路分析】根据顶点式将根据顶点式将A、C代入解析代入解析式求出式求出a的值，进而得出二次函数解析式；的值，进而得出二次函数解析式；解解：A(0,2)为抛物线的顶点，为抛物线的顶点，设设y=ax2+2,点点C（3,0）在抛物线上，）在抛物线上，9a+2=0,解得：解得：a=- - ,抛物线的解析式为抛物线的解析式为:y=- - x2+2;（2）【思路分析思路分析】利用菱形的性质得出利用菱形的性质得出AO与与EE互相垂直平分，利用互相垂直平分，利用E点纵坐标得出点纵坐标得出x的值，进而的值，进而得出得出BC，EO直线解
19、析式，再利用两直线交点坐直线解析式，再利用两直线交点坐标求法得出标求法得出Q点坐标，即可得出答案；点坐标，即可得出答案；解解：如果四边形：如果四边形OEAE是菱形，则是菱形，则AO与与EE互相互相垂直平分，垂直平分，EE经过经过AO的中点，的中点，点点E纵坐标为纵坐标为1,代入抛物线解析式得：代入抛物线解析式得： 1=- x2+2,解得：解得：x= ,点点E在第一象限，在第一象限，点点E为（为（ ，1），），设直线设直线BC的解析式为的解析式为y=kx+b，把，把B（1，2），），C（3，0），代入得：），代入得： k+b=2 k=-1 3k+b=0, b=3,BC的解析式为的解析式为:y=-
20、x+3,设设OE解析式为解析式为y=nx,将将E点代入点代入y=nx,可得出可得出EO的的解析式为解析式为y= x,由由 y= x x= y=-x+3, y= ,解得：解得：得：得：Q点坐标为：（点坐标为：（ ，0），），当当Q点坐标为（点坐标为（ ,0），四边形），四边形OEAE是菱是菱形；形；例例2题解图题解图H（3）【思路分析思路分析】首先得出首先得出APBQDO，进，进而得出而得出APDQ=ABQO，求出，求出m的值，进而得出答案的值，进而得出答案解解：设：设t为为m秒时，秒时，PBDO，又，又QDy轴，轴，则有则有APB=AOEODQ，又又点点D在直线在直线y=-x+3上，上，OQ=
21、3-3m,DQ3m,因此：因此： ， 解得：解得：m= ,经检验：经检验：m= 是原分式方程的解，是原分式方程的解，当当t= 秒时，秒时，PBOD.【解法提示解法提示】作作BHOC于于H，则则BH=AO=2，OH=AB1，HC=OC-OH=2,BH=HC,BCH=CBH45，易知易知DQ=CQ，设设t为为m秒时秒时PBOE，则，则ABPQOD,APDQ=ABQO，易证，易证AP=2m,DQCQ3m,QO=3-3m, ,解得解得m= ,经检验经检验m= 是方程的解，是方程的解，当当t为为 秒时，秒时，PBOD.对于特殊四边形的存在、探究问题，也会以探究对于特殊四边形的存在、探究问题，也会以探究菱
22、形、矩形、正方形来设题，菱形、矩形、正方形来设题，解题方法如下：解题方法如下：（1）若为存在问题，则先假设存在，再进行下）若为存在问题，则先假设存在，再进行下一步；若为探究问题，则直接进行下一步；一步；若为探究问题，则直接进行下一步；（2）设出点坐标，求边长（同上面例）设出点坐标，求边长（同上面例1的方法）的方法）（3）若四边形的四点位置已经确定，则直接利）若四边形的四点位置已经确定，则直接利用四边形的边的性质进行计算；若四边形的点位用四边形的边的性质进行计算；若四边形的点位置不确定，需分情况讨论：置不确定，需分情况讨论：探究菱形的存在、探究问题时分两类：探究菱形的存在、探究问题时分两类：已知
23、三已知三个定点去求未知点坐标；个定点去求未知点坐标；已知两个定点去求未已知两个定点去求未知点坐标知点坐标.一般会用到菱形的对角线互相垂直平分、一般会用到菱形的对角线互相垂直平分、四边相等等性质列关系式；四边相等等性质列关系式；探究矩形：探究矩形：利用矩形对边相等、对角线相等列等利用矩形对边相等、对角线相等列等量关系式求解；或根据邻边垂直，利用勾股定理量关系式求解；或根据邻边垂直，利用勾股定理列关系式求解列关系式求解.探究正方形：探究正方形：利用正方形对角线互相平分且相等利用正方形对角线互相平分且相等的性质进行计算，一般是分别计算出两条对角线的性质进行计算，一般是分别计算出两条对角线的长度，令其
24、相等，得到方程再求解的长度，令其相等，得到方程再求解二次函数压轴题二次函数压轴题菱形问题菱形问题二次函数压轴题二次函数压轴题矩形问题矩形问题二次函数压轴题二次函数压轴题正方形问题正方形问题类型三类型三 三角形相似的存在、探究问题三角形相似的存在、探究问题典例精讲典例精讲例例（12常德常德）如图，已知二次函数）如图，已知二次函数y (x+2)(ax+b)的图象过点的图象过点A（-4，3），），B（4，4）（1）求二次函数的解析式）求二次函数的解析式;（2）求证：）求证：ACB是直角三角形；是直角三角形；（3）若点）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点过点
25、P作作PH垂直垂直x轴于点轴于点H，是否存在以，是否存在以P、H、D为顶点的三角形与为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出相似？若存在，求出点点P的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由.例题图例题图（1）【思路分析思路分析】将点将点A及点及点B的坐标代入函数的坐标代入函数解析式，得出解析式，得出a、b的值，继而可得出函数解析式的值，继而可得出函数解析式.解解：由题意得，函数图象经过点：由题意得，函数图象经过点A（-4,3）,B(4,4), 3= (-4+2)(-4a+b) 4= (4+2)(4a+b), a=13 b=- -20,故二次函数关系式为故二次函数关系式为:y=
26、(x+2)(13x-20);故可得：故可得：解得：解得：（2）【思路分析思路分析】根据二次函数解析式，求出点根据二次函数解析式，求出点C的坐标，然后分别求出的坐标，然后分别求出AC、AB、BC的长度，的长度，利用勾股定理的逆定理证明即可；利用勾股定理的逆定理证明即可；证明证明：由（：由（1）所求函数关系式可得点）所求函数关系式可得点C坐标为（坐标为（-2，0），点），点D坐标为坐标为( ,0),又又点点A（-4,3）,B(4,4),AB= ,AC= ,BC= , AB2=AC2+BC2,ACB是直角三角形；是直角三角形；（3）【思路分析思路分析】分两种情况进行讨论：分两种情况进行讨论：DHPB
27、CA，PHDBCA，然后分，然后分别利用相似三角形对应边成比例的性质求出点别利用相似三角形对应边成比例的性质求出点P的的坐标坐标.解：存在点解：存在点P的坐标，点的坐标，点P的坐标为的坐标为（- ， ）或（）或（- ， ）.设点设点P坐标为坐标为(x, (x+2)(13x-20),则则PH （x+2）(13x-20), HD=-x+ ,若若DHPBCA,则则 ，即即 ，解得：解得：x=- 或或x= (因为点因为点P在第二象限，故舍在第二象限，故舍去去)，代入可得，代入可得PH ，即即P1(- ， )；若若PHDBCA,则则 ，即即 ，解得解得x=- 或或x= (舍去舍去)，代入可得代入可得PH
28、= ，即，即P2坐标为：（坐标为：（- ， ）.综上所述，满足条件的点综上所述，满足条件的点P有两个，有两个，即即P1（- ， ）、）、P2(- ， ）.三角形相似的存在、探究问题三角形相似的存在、探究问题，具体方法如下：具体方法如下：（1）探究三角形相似时，往往没有明确指出两个）探究三角形相似时，往往没有明确指出两个三角形的对应角（尤其是以文字形式出现让证明三角形的对应角（尤其是以文字形式出现让证明两个三角形相似的题目），或者涉及到动点问题，两个三角形相似的题目），或者涉及到动点问题，因动点问题中点位置的不确定，此时应考虑不同因动点问题中点位置的不确定，此时应考虑不同的对应关系，分情况讨论；
29、的对应关系，分情况讨论；（2）确定分类标准：在分类时，先要找出分类的）确定分类标准：在分类时，先要找出分类的标准，看两个相似三角形是否有对应相等的角，标准，看两个相似三角形是否有对应相等的角，若有，找出对应相等的角后，再根据其他角进行若有，找出对应相等的角后，再根据其他角进行分类讨论来确定相似三角形成立的条件；若没有，分类讨论来确定相似三角形成立的条件；若没有，则分别按三种角对应分类讨论；则分别按三种角对应分类讨论；（3）建立关系式，并计算由相似三角形列出相）建立关系式，并计算由相似三角形列出相应的比例式，将比例式中的线段用所设点的坐标应的比例式，将比例式中的线段用所设点的坐标表示出来（其长度
30、多借助勾股定理运算），整理表示出来（其长度多借助勾股定理运算），整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值，再通过计算得出相应的点的坐标得字母的值，再通过计算得出相应的点的坐标.类型四类型四 面积关系的存在、探究问题面积关系的存在、探究问题典例精讲典例精讲例例（14永州永州）如图，抛物线）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）与与x轴交于轴交于A（-1，0），），B（4，0）两点，与）两点，与y轴轴交于点交于点C（0，2），点），点M（m，n）是抛物线上一）是抛物线上一动点，位于对称轴的左侧，并且不在坐标轴上，动点，位于对称轴的左侧，并
31、且不在坐标轴上，过点过点M作作x轴的平行线交轴的平行线交y轴于点轴于点Q，交抛物线于，交抛物线于另一点另一点E，直线，直线BM交交y轴于点轴于点F（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；（2）当）当SMFQ SMEB=1 3时，求点时，求点M的坐标的坐标.例题图例题图（1）【思路分析思路分析】把点把点A、B、C的坐标代入抛物的坐标代入抛物线解析式得到关于线解析式得到关于a、b、c的三元一次方程组，然的三元一次方程组，然后求解即可，再把函数解析式整理成顶点式形式，后求解即可，再把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标；然后写出顶点坐标；解：解：抛物线
32、抛物线y=ax2+bx+c(a0)过点过点A（-1，0），），B（4，0），），C（0，2），）， a-b+c=0 16a+4b+c=0 c=2， a=- b= ， y=- x2+ x+2， c=2，y=- x2+ x+2=- (x- )2+ ，顶点坐标为（顶点坐标为（ ， ）.解得解得例题解图例题解图（2） 【思路分析思路分析】根据点根据点M的坐标表示出点的坐标表示出点Q、E的坐标，再设直线的坐标，再设直线BM的解析式为的解析式为y=kx+b（k0），然后利用待定系数法求出一次函），然后利用待定系数法求出一次函数解析式，再求出点数解析式，再求出点F的坐标，然后求出的坐标，然后求出MQ、FQ、
33、ME，再表示出，再表示出MFQ和和MEB的面积，然后列的面积，然后列出方程并根据出方程并根据m的取值范围整理并求解得到的取值范围整理并求解得到m的值，的值，再根据点再根据点M在抛物线上求出在抛物线上求出n的值，然后写出点的值，然后写出点M的坐标即可的坐标即可.解解：M（m，n），且），且M、E关于抛物线的对称关于抛物线的对称轴轴x= 对称，对称，Q（0，n），），E（3-m，n），设直线），设直线BM的解析的解析式为式为y=kx+b（k0），），把把B（4，0），），M（m，n）代入得）代入得 4k+b=0 k= mk+b=n， b= ，y= x+ ，令，令x=0，则，则y= ，点点F的坐标为
34、（的坐标为（0， ），），解得解得MQ=|m|，FQ=| |=| |，ME=|3-m-m|=|3-2m|，SMFQ= MQFQ= |m| |= | |，SMEB= ME|n|= |3-2m|n|，SMFQ SMEB=1 3， | |3 |3-2m|n|，即即| |=|3-2m|，点点M（m，n）在对称轴左侧，）在对称轴左侧，m ， =3-2m，整理得整理得m2+11m12=0，解得，解得m1=1，m2=-12,当当m1=1时，时，n1=- 12 + 1+2=3，当当m2=-12时，时，n2 =- (-12)2+ (-12)+2=-88，点点M的坐标为（的坐标为（1，3）或（）或（-12，-88
35、）.图形面积数量关系的存在、探究问题图形面积数量关系的存在、探究问题,解题方法如解题方法如下：下：（1）若为存在问题，则先假设存在，再进行下）若为存在问题，则先假设存在，再进行下一步；若为探究问题，则直接进行下一步；一步；若为探究问题，则直接进行下一步；（2）设出点坐标，求边长根据题意，直接或间）设出点坐标，求边长根据题意，直接或间接设出所求点的坐标（若所求的点在抛物线上时，接设出所求点的坐标（若所求的点在抛物线上时，该点的坐标可以设为（该点的坐标可以设为（x，ax2+bx+c)；若所求的；若所求的点在对称轴上时，该点的坐标可以设为点在对称轴上时，该点的坐标可以设为（- ，y)，若所求的点在已
36、知直线，若所求的点在已知直线y=kx+b上时，上时，该点的坐标可以设为（该点的坐标可以设为（x，kx+b)，并用所设点坐，并用所设点坐标表示出平行四边形某两条边的长（常利用相似标表示出平行四边形某两条边的长（常利用相似三角形性质或勾股定理求解）；三角形性质或勾股定理求解）；（3）列等量关系求解）列等量关系求解.观察所求的两个图形的面观察所求的两个图形的面积能不能直接利用面积公式求出，若能，根据几积能不能直接利用面积公式求出，若能，根据几何图形面积公式分别求出面积；若所求的两个图何图形面积公式分别求出面积；若所求的两个图形的面积不能直接利用面积公式求出时，可将所形的面积不能直接利用面积公式求出时
37、，可将所求图形分割成几个可直接利用面积公式计算的图求图形分割成几个可直接利用面积公式计算的图形，分别计算出每个图形的面积，再进行和差计形，分别计算出每个图形的面积，再进行和差计算求解；根据题干中所给关系式，建立方程，求算求解；根据题干中所给关系式，建立方程，求出点坐标即可出点坐标即可.（4）根据所求点的不确定性和函数图象的性质，）根据所求点的不确定性和函数图象的性质，对（对（3）中求出的结果分情况讨论，当点在）中求出的结果分情况讨论，当点在x轴左轴左边和边和y轴下方时，轴下方时，x，y分别取负值求解；当点在分别取负值求解；当点在x轴右边和轴右边和y轴上方时，轴上方时，x、y分别取正值求解分别取
38、正值求解.二次函数压轴题二次函数压轴题三三角形面积问题角形面积问题类型五类型五 最值的存在、探究问题最值的存在、探究问题典例精讲典例精讲例例（14郴州郴州）已知抛物线）已知抛物线y=ax2+bx+c经过经过A（-1，0）、）、B（2，0）、）、C（0，2）三点）三点.（1）求这条抛物线的解析式；）求这条抛物线的解析式；（2）如图）如图，点，点P是第一象限内此抛物线上的一个是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点动点，当点P运动到什么位置时，四边形运动到什么位置时，四边形ABPC的面的面积最大？求出此时点积最大？求出此时点P的坐标；的坐标；（3）如图）如图，设线段，设线段AC的垂直平分线交的垂直平
39、分线交x轴于点轴于点E，垂足为，垂足为D，M为抛物线的顶点，那么在直线为抛物线的顶点，那么在直线DE上是否存在一点上是否存在一点G，使，使CMG的周长最小？若的周长最小？若存在，请求出点存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理的坐标；若不存在，请说明理由由例题图例题图（1）【思路分析思路分析】利用待定系数法即可求得；利用待定系数法即可求得；解解： 0=a-b+c 0=4a+2b+c, 2=c解得解得a=-1,b=1,c=2,抛物线解析式为：抛物线解析式为：y=-x2+x+2；由题意得由题意得（2）【思路分析思路分析】如解图如解图，四边形，四边形ABPC由由ACO和和PCO及及PBO组成，组成
40、，ACO面积固面积固定，则只需要使得定，则只需要使得PCO与与PBO的面积和最大的面积和最大即可求出即可求出PCO与与PBO面积的表达式，然后面积的表达式，然后利用二次函数性质求出最值；利用二次函数性质求出最值；解解：设：设P(x,-x2+x+2),四边形四边形ABPC的面积是的面积是S，如，如解图，过解图，过P作作PMx轴于点轴于点M，过，过P作作PDx轴于轴于点点D，连接，连接PO，由题意得，由题意得S=SACO+SPCO+SPBO,又又SACO= AOCO=1,SPCO COPD=x,SPBO= PMOB=-x2+x+2,S=1+x-x2+x+2=-x2+2x+3.S开口向下，开口向下，
41、x=1时，时，y=-x2+2x+3=-1+2+3=4,S最大值为最大值为4，故故P运动到点运动到点(1，2)时，四边形时，四边形ABPC的面积最大的面积最大;例题解图例题解图MD（3）【思路分析思路分析】如解图如解图，DE为线段为线段AC的垂的垂直平分线，则点直平分线，则点A、C关于直线关于直线DE对称连接对称连接AM，与，与DE交于点交于点G，此时，此时CMG的周长的周长=CM+CG+MG=CM+AM最小，故点最小，故点G为所求为所求分别求出直线分别求出直线DE、AM的解析式，联立后求出点的解析式，联立后求出点G的坐标的坐标.例题解图例题解图解：存在解：存在.y=-x2+x+2,M( , )
42、,设线段设线段AM的表达式为的表达式为y=kx+b，由题意得，由题意得 k+b 0=-k+b,解得解得k= ，b= ,即即y= x+ ,C与与A关于直线关于直线 DE对称，对称，设设AM与与DE交于交于G，CM+CG+MG的长最小的长最小.过过G作作GFAB于点于点F，过，过M作作MPx轴于轴于P，设，设G的横坐标为的横坐标为a,代入代入y= x+ 得得G的纵坐标为的纵坐标为 a+ ,由由A(-1,0)，C(0,2)可得可得AC的斜率为的斜率为2.DEAC，则，则DE的斜率为的斜率为- ,故可设故可设DE方程为方程为y=- x+m,D为为AC中点，中点，D坐标为（坐标为（- ,1）,将其代入将
43、其代入y=- x+m得：得：m= .故故DE方程为方程为y=- x+ .将将G（a, a+ ）代入上式得：）代入上式得： a+ =- a+ ,解得解得a=- ,故故G（- , ）.1.面积最值的存在、探究问题面积最值的存在、探究问题，具体方法如下：，具体方法如下：（1）设出点坐标，求边长根据题意，直接或间）设出点坐标，求边长根据题意，直接或间接设出所求点的坐标（若所求的点在抛物线上时，接设出所求点的坐标（若所求的点在抛物线上时，该点的坐标可以设为（该点的坐标可以设为（x，ax2+bx+c)；若所求的；若所求的点在对称轴上时，该点的坐标可以设为点在对称轴上时，该点的坐标可以设为（- ，y);若所
44、求的点在已知直线若所求的点在已知直线y=kx+b上时，上时，该点的坐标可以设为（该点的坐标可以设为（x，kx+b)，并用所设点坐，并用所设点坐标表示出平行四边形某两条边的长（常利用相似标表示出平行四边形某两条边的长（常利用相似三角形性质或勾股定理求解）；三角形性质或勾股定理求解）；（2）建立关系式，并计算）建立关系式，并计算.观察所求图形的面积观察所求图形的面积能不能直接利用面积公式求出，若能，根据几何能不能直接利用面积公式求出，若能，根据几何图形面积公式得到点坐标或线段长关于面积的二图形面积公式得到点坐标或线段长关于面积的二次函数关系式；若所求图形的面积不能直接利用次函数关系式；若所求图形的
45、面积不能直接利用面积公式求出时，则需要根据题意构造相似或全面积公式求出时，则需要根据题意构造相似或全等三角形，得到对应线段比或进行线段等量代换等三角形，得到对应线段比或进行线段等量代换得到所求面积关系式；另外，若所求图形可分割得到所求面积关系式；另外，若所求图形可分割成几个可直接利用面积公式计算的图形，可以分成几个可直接利用面积公式计算的图形，可以分别计算出每个图形的面积，再进行和差计算求解；别计算出每个图形的面积，再进行和差计算求解；（3）结合已知条件和函数图象性质求出面积取）结合已知条件和函数图象性质求出面积取最大值时的点坐标或对应函数自变量的取值范围最大值时的点坐标或对应函数自变量的取值
46、范围. 2.周长、线段和最值得存在、探究问题周长、线段和最值得存在、探究问题： 此类问题可归结为利用轴对称的性质求最小值此类问题可归结为利用轴对称的性质求最小值一般是要寻找一个动点一般是要寻找一个动点P，使其到两个定点，使其到两个定点A、B的距离即的距离即PA+PB（或周长）的最小值具体方（或周长）的最小值具体方法如下：法如下：（1）找点）找点A(B)关于动点所在直线的对称点关于动点所在直线的对称点A(B)，连接点，连接点A(B)与与B(A)，AB(BA)与直线的交点即与直线的交点即为所要求的动点为所要求的动点P，此时的线段，此时的线段AB(BA)就是就是PA+PB（或周长）的最小值；（或周长）的最小值；（2）设出动点）设出动点P的点坐标（一般是根据动点所在的点坐标（一般是根据动点所在的直线表达式去设）；的直线表达式去设）；（3）通过题目中的函数和图形关系，求出）通过题目中的函数和图形关系，求出AB(BA)或动点或动点P的坐标的坐标.二次函数压轴题二次函数压轴题线段线段和的最小值问题（二）和的最小值问题（二）
