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1、计算流体力学讲义计算流体力学讲义 第三讲第三讲 有限差分法（有限差分法（1）李新亮李新亮 ；力学所主楼；力学所主楼219； 82543801 知识点：知识点： 差分方法的理论基础差分方法的理论基础 （相容、收敛、稳定性；（相容、收敛、稳定性；Lax等价定理；精度、修正方程等价定理；精度、修正方程; 守恒性）守恒性） 差分格式的构造差分格式的构造 差分格式的差分格式的Fourier分析分析 1讲义、课件上传至讲义、课件上传至 (流体中文网）流体中文网） - “流体论坛流体论坛” -“ CFD基础理论基础理论 ”Copyright by Li Xinliang传统计算方法：传统计算方法： 有限差
2、分法，有限差分法， 有限体积法有限体积法 ， 有限元法，有限元法， 谱方法（谱元法）等；谱方法（谱元法）等；最近发展的方法最近发展的方法: 基于粒子的算法（格子基于粒子的算法（格子-Boltzmann, BGK），无网格），无网格 优点优点缺点缺点适用范围适用范围有限差分法有限差分法简单成熟，可构造高精简单成熟，可构造高精度格式度格式处理复杂网格不够灵处理复杂网格不够灵活活相对简单外形的相对简单外形的高精度计算高精度计算有限体积法有限体积法守恒性好，可处理复杂守恒性好，可处理复杂网格网格不易提高精度（二阶不易提高精度（二阶以上方法复杂）以上方法复杂）复杂外形的工程复杂外形的工程计算计算有限元法
3、有限元法基于变分原理，守恒性基于变分原理，守恒性好好对于复杂方程处理困对于复杂方程处理困难难多用于固体力学多用于固体力学等等谱方法谱方法精度高精度高外形、边界条件简单外形、边界条件简单简单外形的高精简单外形的高精度计算度计算粒子类方法粒子类方法算法简单，可处理复杂算法简单，可处理复杂外形外形精度不易提高精度不易提高复杂外形的工程复杂外形的工程计算计算 第三讲第三讲 有限差分法（有限差分法（1） （教材第（教材第3.1、3.2节及第节及第4章）章）2Copyright by Li XinliangCopyright by Li Xinliang3流体流体力学力学理论研究理论研究实验研究实验研究数
4、值研究数值研究 计算流体力学计算流体力学（数值计算技术、（数值计算技术、计算方法研究）计算方法研究）理论研究：理论研究：格式推导、格式推导、 稳定性分析，稳定性分析，精度精度/误差分析，误差分析，实验研究：实验研究：数值实验，数值实验， 采用实采用实际问题考核方法的际问题考核方法的正确性正确性数值研究：数值研究：采用数值计算推导格式、考察精度采用数值计算推导格式、考察精度/稳定性稳定性/分辨率分辨率“计算流体力学计算流体力学”作为一个学作为一个学科，科， 其研究手段依然包括理论、其研究手段依然包括理论、实验及数值模拟。实验及数值模拟。 与与 的依赖关系的依赖关系Copyright by Li
5、Xinliang4举例说明：举例说明： 研究研究“计算流体力学计算流体力学” 学科的学科的理论手段理论手段、实验手段实验手段及及计算手段计算手段研究研究CFD的理论手段的理论手段例：例：Fourier分析分析线性系统：线性系统： 线性方程线性方程+ 线性格式线性格式 任意函数都可分解为三角函数的叠加任意函数都可分解为三角函数的叠加差分系统差分系统(解差分解差分方程方程)初始值初始值数值解（特数值解（特定时刻离散定时刻离散的函数值）的函数值）记为： 是差分算子，把离散函数是差分算子，把离散函数（有限点列）（有限点列） 映射为另映射为另一个离散函数一个离散函数 vi 与与ui的依赖关系的依赖关系线
6、性系统，可大为简化线性系统，可大为简化波数空间单一的依赖关系：波数空间单一的依赖关系：原理：原理： 线性系统，输入一个波，只能输线性系统，输入一个波，只能输出一个波（且波数不变）。出一个波（且波数不变）。 非线性系统会产生多个谐波非线性系统会产生多个谐波 线性差分系统： 针对一个单波一个单波， 研究经过差分系统后的变化就可以了解该系统。 Fourier误差分析； Fourier稳定性分析理论分析的局限性：理论分析的局限性： 对于复杂系统（非线性方程、非线性格式）非常困难对于复杂系统（非线性方程、非线性格式）非常困难Copyright by Li Xinliang5研究研究CFD的实验手段的实验
7、手段例： 精度分析思想：思想： 通过具体算例来研究（考核，分析通过具体算例来研究（考核，分析）差分方法）差分方法典型的文章： 提出方法+理论分析 + 算例验证差分离散理论方法，理论方法，Taylor展开，求余项展开，求余项 。 对对于复杂（如非线性）格式，难度大。于复杂（如非线性）格式，难度大。实验方法，通过算例考核精度实验方法，通过算例考核精度精确解 为该离散函数的模为该离散函数的模 常用的模：常用的模： 1 模：模： 2 模：模： 无穷模无穷模：计算误差 分析误差对网格步长的依赖关系 斜率为精度的阶数（通常用最小二乘法计算）斜率为精度的阶数nCopyright by Li Xinliang
8、6常用的验证算例（常用的验证算例（“实验验证实验验证”） 考核方法通常找一些难度大的（条件苛刻、极端）的算例。否则，考核方法通常找一些难度大的（条件苛刻、极端）的算例。否则，无法突出方法的优越性。无法突出方法的优越性。1维算例：维算例： Sod 激波管，激波管， Shu-Osher, 方波方波/尖波尖波 2维算例：维算例： 前前/后台阶、双马赫反射、二维后台阶、双马赫反射、二维Riemann问题、漩涡问题、漩涡-激波干扰、翼激波干扰、翼型扰流、圆柱绕流型扰流、圆柱绕流3维复杂算例：维复杂算例： 各向同性湍流的各向同性湍流的DNS, 槽道湍流的槽道湍流的DNS, 激波激波-边界层干扰的边界层干扰
9、的DNS Shu-Osher问题的计算结果问题的计算结果 （Li et al. Init. J. Num. Fluid. 2005)航空领域权威的考核算例航空领域权威的考核算例 DPW标准计算模型标准计算模型常用一、二维算例整理后已发到流体中文网常用一、二维算例整理后已发到流体中文网 Copyright by Li Xinliang7研究研究CFD的计算手段的计算手段例：例： 差分格式构造差分格式构造理论方法：理论方法： 手工推导系数（工作量大）手工推导系数（工作量大） 数值方法：数值方法： 通过数值手段推导系数通过数值手段推导系数数值求解，获得系数数值求解，获得系数 格式优化；格式优化； 通
10、过数值计算手段进行通过数值计算手段进行 Fourier分析分析; 3.1 有限差分法基本原理有限差分法基本原理1. 差分方法的基本原理差分方法的基本原理离散点上利用离散点上利用Taylor展开，把展开，把微分微分转化成转化成差分差分 j-2 j-1 j j+1 （等距网格）（等距网格）多维问题，各方向独自离散；（时间同样考虑）多维问题，各方向独自离散；（时间同样考虑）比有限体积法计算量小；比有限体积法计算量小；便于构造高阶格式便于构造高阶格式；8Copyright by Li Xinliang基本概念：基本概念： a. 差分表达式及截断误差差分表达式及截断误差:截断误差截断误差差分表达式差分表
11、达式（1阶）（2阶）b. 前差、后差、中心差前差、后差、中心差 j-2 j-1 j j+1 前前前差前差中心差中心差后差后差其他：其他： 向前（后）偏心差分向前（后）偏心差分； 后后c.差分方程差分方程 经差分离散后的方程，称为差分方程经差分离散后的方程，称为差分方程 精度精度如何确定精度？如何确定精度？ 1） 理论方法，理论方法， 给出误差表达式给出误差表达式 2）数值方法，）数值方法， 给出误差对给出误差对 的数值依赖关系的数值依赖关系微分方程微分方程差分方程差分方程截断误差：截断误差：9Copyright by Li Xinliangd. 差分方程的修正方程差分方程的修正方程修正方程修正
12、方程 差分方程准确逼近（无误差逼近）的方程差分方程准确逼近（无误差逼近）的方程差分方程截断误差微分方程微分方程=差分方程差分方程+截断误差截断误差 差分方程差分方程=微分方程微分方程-截断误差截断误差 新的微分方程（修正方程）新的微分方程（修正方程）通常要求：通常要求： 修正方程中不出现时间的高价导数项修正方程中不出现时间的高价导数项 （便于进行空间分析）（便于进行空间分析）等价于修正方程修正方程主导项：主导项： 1阶；阶； 耗散型耗散型10d. 显格式及隐格式显格式及隐格式显格式：显格式： 无需解方程组就可直接计算无需解方程组就可直接计算n+1层的值；层的值；隐格式：隐格式： 必须求解方程组
13、才能计算必须求解方程组才能计算n+1层的值层的值e. 守恒型差分格式守恒型差分格式基本思想：基本思想： 保证（整个区域）积分守恒律严格满足保证（整个区域）积分守恒律严格满足 定定义：对于于上述上述守恒型方程守恒型方程，差分格式，差分格式称为守恒型差分格式。称为守恒型差分格式。其中：特点：特点： 消去了中间点上的值，只保留两端消去了中间点上的值，只保留两端物理含义：物理含义： 只要边界上没有误差，只要边界上没有误差，总体积分总体积分方程方程不会有任何误差。不会有任何误差。如果如果 是准确的，则是准确的，则 也是准确的也是准确的 （假设边界条件没有误差）（假设边界条件没有误差）守恒性的例子：守恒性
14、的例子： 环形管道里的流动环形管道里的流动 总质量保持不变总质量保持不变 早期 极为强调守恒性 最近 重新认识11关于守恒性格式的一些注解关于守恒性格式的一些注解 中的符号中的符号 与函数与函数f 在在 点的值点的值无关无关！是是j点周围几个点上点周围几个点上 f (或者或者u)值的函数，值的函数， 为一记号，请勿理解为为一记号，请勿理解为j+1/2点的值点的值 ！1）2） 常系数线性格式都是守恒的常系数线性格式都是守恒的例如，差分格式：等价于其中3） 关于关于得到得到 后，将后，将j替换成替换成j-1即可得到即可得到 无需单独计算无需单独计算 ！ （白白增加计算量）（白白增加计算量） 守恒方
15、程守恒方程+ 守恒格式守恒格式= 守恒解守恒解12Copyrigh by Li XinliangCopyright by Li Xinliang13f. 传统型（非紧致）差分格式及紧致型差分格式传统型（非紧致）差分格式及紧致型差分格式传统型：传统型： 运用多个点函数值的组合逼近运用多个点函数值的组合逼近一点的导数一点的导数 j-2 j-1 j j+1 紧致型：紧致型： 多个点函数值的组合逼近多个点函数值的组合逼近多个点导数值的组合多个点导数值的组合例：例：例：例：联立求解联立求解 ， 多对角方程多对角方程 追赶法求解（追赶法求解（LU分解法）分解法） 紧致格式：紧致格式： 同样的基架点，可构造
16、更高阶格式同样的基架点，可构造更高阶格式 （因为自由参数更多）（因为自由参数更多） （最高）精度（最高）精度=自由参数个数自由参数个数-1Copyright by Li Xinliang14一些记号一些记号 约定：约定： 为一阶偏导数的差分算子为一阶偏导数的差分算子为二阶偏导数的差分算子为二阶偏导数的差分算子分别为分别为一阶精度一阶精度前、后差的前、后差的差分算子差分算子（本讲义中，上面两个算子表示的差分格式形式可以任（本讲义中，上面两个算子表示的差分格式形式可以任意，意， 包括线性包括线性/非线性、低阶非线性、低阶/高阶、普通高阶、普通/紧致紧致）为二阶中心差分算子为二阶中心差分算子上面三个
17、算子有固定含义上面三个算子有固定含义。2. 构造差分格式的基本方法构造差分格式的基本方法 待定系数法待定系数法 j-2 j-1 j j+1解出解出ak （可选）化成守恒型（可选）化成守恒型小程序：小程序： 求系数求系数15Copyright by Li Xinliang更一般的情况：更一般的情况： m+1个基架点上构造的个基架点上构造的m阶差分格式：阶差分格式：要善于用数值计算的手段要善于用数值计算的手段研究研究CFD ， 不能仅限于用不能仅限于用理论手段研究理论手段研究CFD !基架点基架点 （stencil ）3. 复杂网格的处理方法复杂网格的处理方法1） 一维情况：一维情况： 非均匀网格
18、非均匀网格 方法方法1 （常用）：（常用）： 网格（网格（Jacobian）变换）变换 j-2 j-1 j j+1 非均匀网格0,1的均匀网格的均匀网格 将方程由物理空间变到计算空间将方程由物理空间变到计算空间 （以（以x 为自变量变为以为自变量变为以 为自变量）为自变量）为已知函数为已知函数常用的一维坐标变换函数：常用的一维坐标变换函数： 指数函数指数函数 双曲正切函数双曲正切函数16Copyright by Li Xinliang物理坐标物理坐标 计算坐标计算坐标 要求：要求： 坐标变换必须足够坐标变换必须足够光滑，否则会降低精度光滑，否则会降低精度网格间距变化要缓慢，否则网格间距变化要缓
19、慢，否则会带来较大误差会带来较大误差方法方法2） 在非等距网格上直接构造差分格式在非等距网格上直接构造差分格式 j-2 j-1 j j+1 原理：原理： 直接进行直接进行Taylor展开，构造格式展开，构造格式 格式系数是坐标（或网格间距）的函数格式系数是坐标（或网格间距）的函数解出系数解出系数注：注： 系数随网格点系数随网格点(j)变化！变化！17Copyright by Li Xinliang 网格非光滑、间距剧烈变化不会降低精度；网格非光滑、间距剧烈变化不会降低精度； 随机网格都可保证精度随机网格都可保证精度2） 二维二维/三维情况三维情况坐标变换坐标变换 均匀的直角网格均匀的直角网格R
20、AE2822翼型周翼型周围的网格围的网格三个方向共需计算三个方向共需计算9次导数，次导数，计算量大计算量大对流项可组合，求对流项可组合，求3次导数即可次导数即可18Copyright by Li Xinliang4. 时间项的离散时间项的离散1）直接离散法）直接离散法 把时间导数直接差分离散把时间导数直接差分离散1阶阶Euler显格式显格式1阶阶Euler隐格式隐格式2阶阶Crank-Nicolson格式格式2） Runge-Kutta 格式格式目前最常使用的：目前最常使用的：3步步3阶阶TVD型型R-K推荐！推荐！ 在某一点进行在某一点进行Taylor展开，构造格式展开，构造格式3） 时时-
21、空耦合离散空耦合离散n+1nj-1 j j+1 蛙跳格式蛙跳格式n,jLax-Wandrof格式格式半隐错点格式半隐错点格式MacCormack格式格式 1） 相容性：相容性： 当差分方程中当差分方程中 ，时间与空间步长均趋近于，时间与空间步长均趋近于0 时，差分方程的时，差分方程的截断误差截断误差也趋近于也趋近于0，则称差分方程与原微分方程是，则称差分方程与原微分方程是相容相容的。的。 3.2 差分方法理论基础差分方法理论基础2）收敛性：）收敛性：L2 模： 模：21 当时间与空间步长均趋近于当时间与空间步长均趋近于0 时，差分方程的时，差分方程的解解趋近于微分方程的解，趋近于微分方程的解，
22、则称差分方程的解则称差分方程的解收敛收敛于原微分方程的解。于原微分方程的解。注意！注意！ 方程互相趋近方程互相趋近 解互相趋近解互相趋近（多值性、奇异性多值性、奇异性 ）不一定等于不一定等于只有连续函数才满足只有连续函数才满足 （根据（根据Lax等价定理，只有稳定性条件满足的等价定理，只有稳定性条件满足的情况下，方程趋近才能保证解趋近）情况下，方程趋近才能保证解趋近）含义：含义： 方程趋近方程趋近含义：含义： 解趋近（更强）解趋近（更强）分别为差分方程和微分方程的解1. 相容、收敛、稳定性与相容、收敛、稳定性与Lax等价定理等价定理相似的例子：3） 稳定性稳定性：定定义：称差分方程的初：称差分
23、方程的初值问题是是稳定的，如果当定的，如果当 做做够小小时，存在于，存在于 无关的常数无关的常数C1和和C2使得使得:含义：含义： 在差分方程的求解过程中，如果引入的误差随时间的增长有界，在差分方程的求解过程中，如果引入的误差随时间的增长有界，则称差分方程是稳定的。则称差分方程是稳定的。22Copyright by Li Xinliang4） Lax 等价定理等价定理 如果微分方程的初边问题是适定的，差分方程是相容的，则差分如果微分方程的初边问题是适定的，差分方程是相容的，则差分方程解的方程解的收敛性收敛性与与稳定性稳定性是等价的。是等价的。含义：含义： 如果微分方程不出问题（适定），差分方程
24、性质好（稳定），如果微分方程不出问题（适定），差分方程性质好（稳定），则则方程逼近方程逼近就可保证就可保证解逼近解逼近。 如果方程逼近就可以导致解逼近，则差分方程的性质肯定好（稳定）如果方程逼近就可以导致解逼近，则差分方程的性质肯定好（稳定）2. 差分格式稳定性分析方法差分格式稳定性分析方法 Fourier分析法：分析法： 基本思想：基本思想： 初始时刻引入单波扰动，考虑其随时间的变化初始时刻引入单波扰动，考虑其随时间的变化 原理：原理： 任何扰动都可认为是单波扰动的叠加；任何扰动都可认为是单波扰动的叠加； 线性情况下不同波之间独立发展线性情况下不同波之间独立发展。 引入单波扰动，带入差分方程，如果其振幅放大，则不稳定；否则稳定引入单波扰动，带入差分方程，如果其振幅放大，则不稳定；否则稳定引入单波扰动引入单波扰动：解出放大因子：解出放大因子：23Copyright by Li Xinliang稳定性条件：对所有稳定性条件：对所有 a a带入差分方程例例1： 考察右式给出差分格式的稳定性考察右式给出差分格式的稳定性一些注解一些注解： 通常为复数；通常为复数； 可反映可反映振幅及相位；振幅及相位； 称为库朗数称为库朗数稳定条件：稳定条件： 有效波数有效波数 一个波里面的网格点数一个波里面的网格点数
