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1、无穷小与无穷大一.无穷小(量)1.1.理解无穷小理解无穷小( (量量) )的定义的定义(P21):(P21):在某种趋向下在某种趋向下, ,以以零为极限的函数叫无穷小量零为极限的函数叫无穷小量. .理解理解P21P21注意的四点注意的四点(1)(1)说一个函数是无穷小说一个函数是无穷小, ,要要指明自变量变化趋向指明自变量变化趋向. .(2)(2)绝对值很小的常数不是无穷小绝对值很小的常数不是无穷小(3)(3)趋向负无穷不是无穷小趋向负无穷不是无穷小. .如如: :(4)(4)常数只有常数只有0 0是无穷小是无穷小. .2.2.理解及应用无穷小的性质理解及应用无穷小的性质(1)(1)有限个无穷
2、小的代数和是无穷小有限个无穷小的代数和是无穷小无限个和不成立无限个和不成立: :如如求极限的方法求极限的方法8:8:(2)(2)有界函数与无穷小的乘积是有界函数与无穷小的乘积是无穷小无穷小例例(3)(3)有限个无穷小的乘积是无穷小有限个无穷小的乘积是无穷小3.3.理解函数的极限与无穷小的关系理解函数的极限与无穷小的关系: :其中其中 时时, ,说明说明: :函数等于在某种趋向下它的极限与相应一个无穷函数等于在某种趋向下它的极限与相应一个无穷小之和小之和二.无穷大(量)1.1.理解无穷大量的定义及注意点理解无穷大量的定义及注意点(P23)(P23)2.2.理解无穷大与无穷小的关系理解无穷大与无穷
3、小的关系TH1.9(P23)TH1.9(P23)求极限的方法求极限的方法9:9:步骤步骤: :先考察原极限先考察原极限, ,估计是估计是 形时形时, ,先求其倒数的极限先求其倒数的极限=0,=0,由无穷小与无穷大由无穷小与无穷大的关系的关系, ,得原极限为得原极限为例例34.35,3634.35,36三.无穷小的比较两个无穷小的和及乘积仍是无穷小两个无穷小的和及乘积仍是无穷小, ,但是两个但是两个无穷小的商不一定是无穷小无穷小的商不一定是无穷小, ,两个无穷小的商两个无穷小的商的极限体现它们趋向的极限体现它们趋向0 0的速度的速度. .例如例如: :注意注意:lim:lim下没写趋向表示下没写
4、趋向表示1.1.理解定义理解定义(1) (1) 则则 是是 的高阶无穷小的高阶无穷小, ,同同时时 是是 的低阶的无穷小的低阶的无穷小记作记作: : (2) ,(2) ,则则 是是 的低阶无穷小的低阶无穷小, ,同时同时 是是 的高阶无穷小的高阶无穷小 (3) ,(3) ,则则 与与 是同阶无穷小是同阶无穷小(4) ,(4) ,则则 与与 是等价无穷小是等价无穷小, ,记作记作: :注意注意(1)(1)函数函数 与与 都是在同一趋向下的都是在同一趋向下的无穷小无穷小, ,且与它们的商的极限的趋向也相同且与它们的商的极限的趋向也相同(2)(2)无穷小的比较就是无穷小的比较就是: :求两个无穷小量
5、的比的求两个无穷小量的比的极限极限, ,从而判别它们阶数的高低从而判别它们阶数的高低. .例例37372.2.理解理解TH1.10(p26)TH1.10(p26) 则则(1)(1)(2)(2)3.(3.(重点重点) )求极限的方法求极限的方法10:10:利用等价无穷小利用等价无穷小. .对对于于 型等的极限型等的极限, ,如果原极限中的函数较复杂如果原极限中的函数较复杂, ,且且满足等价无穷小的条件满足等价无穷小的条件, ,则利用等价无穷小进则利用等价无穷小进行替换行替换, ,变为较简单的函数求其极限变为较简单的函数求其极限. .一般可以直接利用下面五个等价无穷小一般可以直接利用下面五个等价无
6、穷小( (注意注意 才成立才成立) )例例38,39,40.38,39,40.注意注意: :由定理可知由定理可知, ,将分子或分母整个替代或将分子或分母整个替代或积式中部分替代是对的积式中部分替代是对的, ,但不能对和式或差但不能对和式或差式中部分代换式中部分代换, ,原因原因: :(1)(1)则则: :(2)(2)作业:求关于阅读 1.1.看前言看前言, ,简介简介, ,目录目录. . 2.2.开始看一章前看看引言开始看一章前看看引言, ,有总结可浏览一下总结大概知道说有总结可浏览一下总结大概知道说什么什么. . 3.3.看书要一段一节连贯地看看书要一段一节连贯地看, ,总体上理解各个知识点
7、总体上理解各个知识点, ,不要分不要分成单句理解成单句理解, ,特别专业书特别专业书, ,易有歧义易有歧义. .一句不理解一句不理解, ,先看完一节先看完一节, ,有些书先看完一章再倒回去看理解会深些有些书先看完一章再倒回去看理解会深些, ,甚至有些书完一本甚至有些书完一本再倒回去看才能理解的再倒回去看才能理解的. . 4.4.有些书例如计算机应用方面的书有些书例如计算机应用方面的书, ,要一边看一边对着电脑操要一边看一边对着电脑操作是理解最快的作是理解最快的. . 5.5.看的过程会因阅读或自身的理解能力的差别会出现歧义看的过程会因阅读或自身的理解能力的差别会出现歧义, ,或或理解不了是很正常的理解不了是很正常的, , 6.6.提问前你先想清提问前你先想清你对什么有疑问？你有什你对什么有疑问？你有什么样的理解？你想问清什么？么样的理解？你想问清什么？
