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1、一、两向量的数量积一、两向量的数量积一、两向量的数量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积二、两向量的向量积二、两向量的向量积二、两向量的向量积第三节第三节第三节第三节 向量的数量积与向量积向量的数量积与向量积向量的数量积与向量积向量的数量积与向量积第八章第八章第八章第八章 向量代数向量代数向量代数向量代数 空间解析几何空间解析几何空间解析几何空间解析几何 若有一质点在常力若有一质点在常力 (大小与方向均不变大小与方向均不变) F 的作的作用下，用下， 则位移则位移 ，1 1. . . .数量积的定义及其性质数量积的定义及其性质数量积的定义及其性质数量积的定义及其性质规定两向量规定两向量 a
2、, b 的正方向之间不超过的正方向之间不超过 180 的的夹角为向量夹角为向量 a 与与 b 的夹角，的夹角，记作记作 (a , b) ，或，或 (b , a).由点由点 A 沿直线移动到点沿直线移动到点 B，由物理学可知，由物理学可知，力力 F 所做的功为所做的功为FAsB一、两向量的数量积一、两向量的数量积一、两向量的数量积一、两向量的数量积定义定义 1两向量两向量 a 、b 的模及其夹角余弦的连的模及其夹角余弦的连乘积乘积，称为向量称为向量 a 、b 的的数乘积数乘积或或点积点积，记为记为 a b ， 即即由数量积的定义，由数量积的定义，上述作功问题可以表示为上述作功问题可以表示为W =
3、 F s. abab( a )baba( b ) 称为向量称为向量a 在向量在向量 b 上的上的投影投影 ，记为记为ab , 定义定义 2即即类似地类似地所以，两向量的数量积也可以用投影表示为所以，两向量的数量积也可以用投影表示为交换律交换律结合律结合律分配律分配律由数量积的定义可知由数量积的定义可知所以所以 当当 a、b 均为非零向量，均为非零向量，当当 a 、b 中至中至少有一个是零向量时，少有一个是零向量时，我们规定零向量与任何向量都我们规定零向量与任何向量都垂直垂直.即即 a 与与 b 垂直垂直.则则 cos ( a , b ) = 0.( (2) ) 若两个非零向量若两个非零向量 a
4、、b 互相垂直，互相垂直，即即a b.即有即有a b = 0； 反之，反之，且且 a b = 0 时，时， 则则 cos ( a , b ) = 0，这样，这样， 两个向量互相垂直的充要条件是两个向量互相垂直的充要条件是由这个结论可得由这个结论可得a b = 0.即即因此，因此， 两向量的数量积等于它们对应坐标乘积两向量的数量积等于它们对应坐标乘积之和之和. 利用利用数量积的运算规律有：数量积的运算规律有：2. .数量积的坐标计算式数量积的坐标计算式 均为非均为非零向量，零向量，3. .两非零向量夹角余弦的坐标表示式两非零向量夹角余弦的坐标表示式由两向量的数量积定义可知由两向量的数量积定义可知
5、:例例 1 已知已知 a = i + j，b = i + k，求求a b,及及 ab .解解由公式可得由公式可得 且与且与 a 垂垂直，直， 因为它在因为它在 x y 坐标面上，坐标面上， 向量向量 a = 4i + 3j + 7k垂直垂直例例 3求在求在 x y 坐标面上与坐标面上与的单位向量的单位向量.解解设所求的向量为设所求的向量为 b = x , y , z .所以所以 z = 0 . 又因为又因为 b 是单位向量是单位向量所以所以 即有即有解之得解之得故所求向量故所求向量 正是正是 a 向量向量分别在分别在 i， j，k 上的投影，上的投影， 例例 4求求 ai , aj 及及 ak
6、 .解解 因为因为 i = 1 , 0 , 0 , j = 0 , 1 , 0 ， k = 0 , 0 , 1 ，所以所以这就是说，向量这就是说，向量 a 的坐标的坐标 ai，aj ，ak 为简便起见，今后我们常称为简便起见，今后我们常称它们依次是它们依次是 a 在在 x，y，z 轴上的投影轴上的投影. 它的正方它的正方向由右手法则确定向由右手法则确定，定义定义 3 设有两向量设有两向量 a，b ，若向量若向量 c 满足满足:( (2) ) c 垂直于垂直于 a，b 所确定的平面所确定的平面，则称向量则称向量 c 为为 a 与与 b 的的向量向量积积，记为记为 a b，即即 c = a b .
7、因此向量积也称为因此向量积也称为叉积叉积.二、两向量的向量积二、两向量的向量积二、两向量的向量积二、两向量的向量积由向量积的定义可知，由向量积的定义可知， a b 的模等于以的模等于以 a、b 为邻边的平行四边形面积为邻边的平行四边形面积.向量积具有下列运算规律：向量积具有下列运算规律：由向量积的定义可知由向量积的定义可知:( (1) ) i j = k ， j k = i ， ki = j ; ( (2) ) 两个非零向量两个非零向量 a ，b 互相平行的充分必互相平行的充分必要条件是要条件是 ab = 0. c = abab所以所以 sin (a , b) = 0.当当 a ，b 中至少有
8、一个为零向量时，中至少有一个为零向量时，事实上，事实上， 若若a / b ， 则则 ( a , b ) = 0或或 ， 即有即有 因此因此 a b = 0. 当当 a、b 为非零向量，为非零向量，反之，反之，且且 a b = 0 时，则时，则 sin (a , b) = 0. 从而断定从而断定 (a , b) = 0 或或 ，即即 a / b . 我我们规定零向量与任何向量平行们规定零向量与任何向量平行. 这样，这样，两个向量两个向量平行的充要条件是这两个向量的向量积为平行的充要条件是这两个向量的向量积为 0 .由此可知由此可知:利用向量积的运算规律有：利用向量积的运算规律有：2 . .向量积
9、的坐标计算式向量积的坐标计算式 为了便于记忆，为了便于记忆， 我们借用行列式记号，我们借用行列式记号， 将上式将上式表示为：表示为：由于两个向量由于两个向量 a，b 平行的充要条件是平行的充要条件是 a b = 0，因此因此，可将可将 a，b 平行的充要条件表示为平行的充要条件表示为:当当 bx，by，bz 全不为零时，有全不为零时，有 我们约定相应的分我们约定相应的分子为零，例如子为零，例如:当当 bx，by，bz 中出现零时，中出现零时，应理解为应理解为:由公式得由公式得解解例例 5 求以求以 A( (2, 2 , 0) )，B( (1, 0, 1 ) )，C ( (1, 1, 2 ) )为顶点的为顶点的 ABC 的面积的面积.例例 6解解 由向量积的定义可知由向量积的定义可知 ABC 的面积的面积故故 ABC 的面积的面积 若若 a b = c，则则 c 同时垂直于同时垂直于a 和和 b ，例例 7求同时垂直于向量求同时垂直于向量 和和解解由向量积的定义可知，由向量积的定义可知，因此，与因此，与 ca b 平行的单位向量应有两个：平行的单位向量应有两个：和和且且 所以所以 a = ( b + c ) , 从而从而例例 8 已知已知 a + b + c = 0，求证，求证证明证明因为因为 a + b + c = 0 ，同理可证同理可证所以有所以有cbba = =
