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1、 三角形全等的简单证明三角形全等的简单证明四调复习之四调复习之警予中学警予中学 谢峥谢峥再现情景，激思导引再现情景，激思导引2012年四月调考题年四月调考题互相重合的顶点叫做 。互相重合的角叫做 。互相重合的边叫做 。其中2. 叫做全等三角形。 1.能够重合的两个图形叫做 。全等形全等形4.全等三角形的 和 相等对应边对应边对应角对应角对应顶点对应顶点 能够完全重合的两个三角形3.“全等”用符号“ ”来表示，读作“ ”对应边对应边对应角对应角5.书写全等式时要求把对应字母放在对应 的位置上全等于全等于自主探究，知识梳理自主探究，知识梳理 1、全等用符号、全等用符号 表示，读作表示，读作： 。
2、2、若、若 BCE CBF，则则CBE= , BEC= ,BE= , CE= . 3、判断题判断题 1）全等三角形的对应边相等，对应角相等）全等三角形的对应边相等，对应角相等。（。（ ） 2）全等三角形的周长相等，面积也相等）全等三角形的周长相等，面积也相等。 （ ） 3）面积相等的三角形是全等三角形。）面积相等的三角形是全等三角形。 （ ） 4）周长相等的三角形是全等三角形。）周长相等的三角形是全等三角形。 （ ） 全等于全等于BCFCFBFCFBXX自主探究，知识梳理自主探究，知识梳理三角形全等的判定三角形全等的判定一、一、边角边边角边 （SAS）二二、角边角、角边角 (ASA)三、三、角
3、角边角角边 (AAS)四四、边边边、边边边 (SSS)归纳归纳全等三角形的判定（一）全等三角形的判定（一）SAS（边角边定理（边角边定理)分层释疑，例题解析分层释疑，例题解析2013年中考题年中考题解解 题题 小小 结：结：解题思路解题思路1、根据“边角边（SAS）”条件，可证明两个三角形全等；2、再由“全等”作为过渡的条件，得到对应边等或对应角等；2012年中考题年中考题1在证明三角形全等时，要善于观察图形，运用已学知识挖出隐含条件。 总结概括，知识拓宽总结概括，知识拓宽 2明确全等三角形“边角边”公理的运用方法。 全等三角形的判定（二）全等三角形的判定（二）ASA（角边角定理）（角边角定理
4、）分层释疑，例题解析分层释疑，例题解析2013年四月调考题年四月调考题全等三角形的判定（三）全等三角形的判定（三）AAS（角角边定理）（角角边定理）分层释疑，例题解析分层释疑，例题解析已知：点已知：点D在在AB上，点上，点E在在AC上，上，BE和和CD相交于相交于 点点O，AD=AE，B=C。 求证：求证：BD=CE 证明证明 ：在：在ADC和和AEB中中A=A（公共角）公共角）C=B（已知）（已知）AD=AE（已知）（已知）ACDABE（AAS） AB=AC （全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）又又 AD=AE （ 已知）已知） BD=CE例题讲解例题讲解全等三角形的判定（四
5、）SSS（边边边定理）分层释疑，例题解析分层释疑，例题解析如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，ABDE，ACDF，BECF。求证：AD。证明：BECF（已知）即 BCEF在ABC和DEF中ABDE（已知）ACBF（已知）BCEF（已证）ABCDEF（SSS）AD(全等三角形对应角相等）FABECD小结：欲证角相等，转化为证三角形全等。 BE+EC=CF+EC例题讲解例题讲解如图，如图，1=2，D=C 求证：求证：AC=AD证明：在证明：在_和和_中中_ （ ）_ （ ） _ （公共边）（公共边） _ _（ ） _（全等三角形对应边相等（全等三角形对应边相等） 12ABDABC1=2 D=
6、CAB=ABABDABCAC=AD 已知已知 已知已知AAS精炼巩固，发展能力精炼巩固，发展能力精炼巩固，发展能力精炼巩固，发展能力2011年中考题年中考题如如图，图，AC=BD，1= 2求求证证:BC=AD变式变式1: 如图，如图，AC=BD,BC=AD求证求证:1= 2ABCD12ABCD12变式变式2: 如图，如图，AC=BD,BC=AD求证求证:C=DABCD变式变式3: 如图，如图，AC=BD,BC=AD求证求证:A=BABCD精炼巩固，发展能力精炼巩固，发展能力学习反馈，自评提升学习反馈，自评提升学习反馈，自评提升学习反馈，自评提升1：利用全等三角形证明线段（或角）相等利用全等三角
7、形证明线段（或角）相等例1：如图，直线AC、 BD交于点O，OA=OC OB=OD 直线EF过点O且分别交AB、 CD于E、F求证：OE=OF在AOB和COD中OB=OD AOB=CODOA=OC AOBCOD （SAS） B=D （全等三角形的对应角相等）在BOE和DOF中B=DOB=OD BOE=COF BOEDOF （ASA） OE=OF （全等三角形的对应边相等） 证明AB=DCAC=DBBC=CB证明证明：在在ABC和和DCB中中如图：如图：AB=DC，AC=DB 求证：求证：ABO=DCO ABCDCB （SSS） A=D (全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等)在在AOB
8、和和DOC中中 A=DAOB=DOCAB=CD AOBDOC （AAS） ABO=DCO （全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等）巩固练习：巩固练习：如图：如图：ACBC ADBD ，AD=BC CEAB DFAB，垂足分别为，垂足分别为E、F，求证：，求证：CE=DF分析：分析： 由已知可推出由已知可推出ABCBAD 要证要证CE=DF，需证，需证ACEADF，所缺条件可由，所缺条件可由ABCBAD推出推出二：利用全等三角形证明线的垂直关系二：利用全等三角形证明线的垂直关系证明：证明： 例：如图：例：如图：BF是是RtABC的角平分线，的角平分线，ACB=90，CD是高，是高，B
9、F与与CD交于点交于点E，EGAC交交AB于于G求证：求证：FGABBF平分平分ABC12CDAB 3+ABC=90 又又ACB90 A+ABC=903A又又EGACA434在在BEG与与BEC中中1234BEBEBEGBEC （AAS） BG=BC （全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等） 在在BFG与与BFC中中BG=BC12BF=BFBFGBFC （SAS）FGB=FCB=90FGAB巩固练习：巩固练习：如图：如图：ABC中，中，AD平分平分BAC，DE、DF分别垂分别垂直于直于AB、AC，垂足为，垂足为E、F，AD、EF交于点交于点H求证：求证：ADEF三、利用全等三角形证
10、明线段的和差问题三、利用全等三角形证明线段的和差问题例：在例：在RtABC中，中，AB=AC，BAC=90，过点，过点A的任意直线的任意直线AN，BDAN于于D，CEAN于于E求证：求证：DE=BDCE证证明：明： BAC=901290BDAN 239013又又CEAN ADBAEC90在在ADB和和ACE中中13ADBACEABACADBACE （AAS） ADCE BDAE （全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）DEAEADDEBDCE想一想想一想驶向胜利驶向胜利的彼岸的彼岸下课了!数学使人聪明图 1已知：如图1，AC=AD，CAB=DAB求证：ACBADBAC=AD（已知）
11、CAB=DAB（已知）AB=AB（公共边）ACBADB（SAS） 例1证明：在ACB和ADB中例例 题题 讲讲 解解A B C D 图2已知：如图2，ADBC，AD=CB求证：ADCCBA分析分析：观察图形，结合已知条件，知，AD=CB，AC=CA，但没有给出两组对应边的夹角（1，2）相等。所以，应设法先证明1=2，才能使全等条件充足。AD=CB（已知）1=2（已知）AC=CA （公共边）ADCCBA（SAS）例2证明：ADBC 1=2（两直线平行，内错角相等） 在DAC和BCA中DC1AB2B图3已知：如图3 ，ADBC，AD=CB，AE=CF求证：AFDCEB 证明：ADBC（已知） A=
12、C（两直线平行，内错角相等） 又 AE=CF AE+EF=CF+EF（等式性质） 即AF=CE 在AFD 和CEB 中AD=CB（已知）A=C（已证）AF=CE（已证）AFDCEB（SAS）若求证D=B ，如何证明？分析分析：本题已知中的前两个条件，与例2相同，但是没有另一组夹边对应相等的条件，不难发现图3是由图2平移而得。利用AE=CF，可得：AF=CE变式训练变式训练1问问：ADBEFC练习练习：已知：如图4，点A、B、C、D在同一条直线上，AC=DB，AE=DF，EAAD，BCAC，垂足分别为A、D图4求证：（1）EABFDC、（2）DF= AEBECDFA五、综合练习题五、综合练习题全等三角形的应用全等三角形的应用 例1：如图，已知AB=CD，BC=DA。说出下列判断成立的理由：（1）ABCCDA（2）B=DABCD解（1）在ABC和CDA中 AB=CD（已知） BC=DA（已知） AC=CA（公共边）ABCCDA（SSS）（2） ABCCDAB=D（全等三角形的对应角相等）
