(第32讲)幂级数

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1、4.6 幂级数（第32讲）1幂级数的收敛区间和收敛半径幂级数的收敛区间和收敛半径 2幂级数的性质幂级数的性质定义定义: :形如形如 的的级数，称数，称为的的幂级数幂级数，其中，其中均均为常数，称常数，称为幂级数的系数幂级数的系数。 其其实，前式作，前式作变换y=x-x0即即变成后式。所以下面只成后式。所以下面只讨论后者。后者。1幂级数的收敛区间和收敛半径幂级数的收敛区间和收敛半径将级数将级数 的各项取绝对值，得正项级数的各项取绝对值，得正项级数设设，则，则 于是，由比值法可知于是，由比值法可知几何说明几何说明收敛区域收敛区域发散区域发散区域发散区域发散区域定义定义: : 正数正数R称为幂级数的

2、称为幂级数的收敛半径收敛半径.幂级数的收敛域称为幂级数的幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间收敛区间.规定规定例如，级数例如，级数由于由于 例如，级数例如，级数由于由于问题问题如何求幂级数的收敛半径如何求幂级数的收敛半径?求幂级数求幂级数收敛区间的步骤：收敛区间的步骤： （）写出收敛区间。）写出收敛区间。定理定理 如果幂级数如果幂级数 的系数满足条件的系数满足条件 解：解：由由 得到，收敛半径为R=1。 解：解：由由(收敛半径不变收敛半径不变)2幂级数的性质幂级数的性质这性质表示：幂级数逐项积分等于原级数积分。幂级数逐项积分等于原级数积分。这个性质表示：幂级数逐项求导等于原级数求导。幂级数逐项求导等于原级数求导。(收敛半径不变收敛半径不变)解解两边积分得两边积分得由前面知其收敛区间为（由前面知其收敛区间为（-1，1。解：解：设两边再对两边再对求导，得求导，得 即即 课堂小 结2幂级数的性质幂级数的性质1幂级数的收敛区间和收敛半径幂级数的收敛区间和收敛半径作业：作业：P134P134 练习练习4.64.6 1（2） 2（2） 3（2）（）（4）