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1、线 性 代 数 综 合练 习 题三一、填空题：；解：把行列式按第一列展开解：把行列式按第一列展开第一个行列式按第三行展开，第二个行列式按第一行展开，2、设A为四阶方阵，且RA=2，那么；解：由于解：由于A为四阶方阵，且秩为为四阶方阵，且秩为2，所以，所以A的任何的任何3阶子式为零，而阶子式为零，而A的伴随矩阵的伴随矩阵 的元素为的元素为A的的3阶阶子式，故子式，故 为零矩阵，所以为零矩阵，所以 0。3、设向量组 的秩为2，那么t= ; 解：解： 对下面矩下面矩阵施行初等行施行初等行变换由于的秩为2，所以A的秩也为2，故4、知n 阶可逆阵A的恣意行和等于2，那么 的一个特征值为 ；解：由于解：由
2、于A的恣意行和的恣意行和为2，所以，所以即2为A的一个特征值，为对应的特征向量，所以5为 的一个特征值 。 5、设A，B均为n阶方阵，且那么。解：解：所以答案为二、选择题 1. 设设 线性相关线性相关 线性无关,那么正确的结论是线性相关线性无关线性表示线性表示答: 正确的结论为C.2、设为正定二次型，那么 t 的取值范围解：由于解：由于f为正定二次型，所以正定二次型，所以二次型矩二次型矩阵A为正定矩正定矩阵，故，故A的行列式大于零，即的行列式大于零，即解得所以选(c).3、设A为 矩阵，B 为矩阵，那么下面结论正确的选项是。解：由于解：由于AB为为m阶方阵，当阶方阵，当 时，有时，有 所以选(
3、b).4、A为n阶方阵，那么 必为 (a) 正交阵； (b) 对称阵; (b)(c) 可逆阵； (d) 正定阵。解：解：所以 为对称矩阵。 5、设n阶方阵A，B，C满足ABC=E，那么下面结论正确的选项是(a) ACB=E; (b) CBA=E; (c) BAC=E; (d) BCA=E.解：由于解：由于ABC=E，所以，所以A可可逆，逆，且且A的逆矩的逆矩阵为BC，因此有，因此有BCA=E，应选(d). 6、知A为正交矩阵，那么 为(a) 1 ; (b) -1; (c) 0 ; (d) 1 或 1。解：由于解：由于A为正交矩阵，所以有为正交矩阵，所以有即应选(d).1. 设三阶矩阵设三阶矩阵
4、其中 均为三维行向量.且求解解:三，计算下面各题：2、验证是 的一个基， 并将 用该基线性表示。解：解： 由于由于 是三个三维向量，故只需是三个三维向量，故只需证明它们线性无关即可，也就是由它们为列构证明它们线性无关即可，也就是由它们为列构成的矩阵成的矩阵 A与单位矩阵与单位矩阵E等价，而等价，而 由它们线由它们线行表示，就是求方程组行表示，就是求方程组 的的解解 ，因此对矩阵，因此对矩阵施行初等行变换所以 线性无关，即为 的一个基，且 由 线性表示为3、四元非齐次线性方程组AX=b,且 R(A)=2,知是它的三个解向量，求其通解。其中解：解： 由于非齐次线性方程AX=b,为四元，且 R(A)
5、=2,所以对应的齐次线性方程组的根底解系含有两个解向量，为AX=b的解，为AX=b的一个特解，为方程组AX=0的两个解，且是线性无关的，所以可以作为根底解系，因此非齐次线性方程组的通解为(其中 为恣意实数) 4、设二阶方阵A满足求An。解：由知得解：由知得5、设向量组A：求：秩及一个极大无关组(写出计算过程)。解：由解：由 为列构成矩阵为列构成矩阵A，并对其，并对其施行初等行变换，施行初等行变换，所以，秩 为3，为一个极大无关组。四、设线性方程组判别其相容性，假设相容，求出其一切解。解：解：对增广矩增广矩阵B=(A b)施行初等行施行初等行变换可知R(A)=R(B)=3,所以方程组是相容的，其
6、同解方程组为取 为自在未知量，得方程组的一切解为(其中 c 为恣意实数)。五、设方阵问：A能否可以对角化，假设 可以，求出一个正交阵，使其化为对角阵。解：由于解：由于A是一个实对称矩阵，所以必存在是一个实对称矩阵，所以必存在一个正交矩阵一个正交矩阵P，使，使 即即A能对角化；能对角化；解特征方程 得A的 特征值， 当 时，解方程组即得根底解系的解向量为它们曾经正交，只需单位化取当 时，解方程组 即得根底解系的解向量为单位化得以为列构成的矩阵P 既为所求的正交矩阵，易证其中六、设二次型用正交变换法将其化为规范形，并写出所用的正交变换。解：二次型矩解：二次型矩阵为解A的特征多项式即解得A的特征值为当 时，解方程组得根底解系单位化得当 时，解方程组得根底解系当 时，解方程组得根底解系单位化得由 为列作正交矩阵易验证所以二次型经正交变换X=PY 化为规范形所用的正交变换为假设进一步地令 用正交变换把其化为规范形，并确定k为何值时，B为正定阵，那么由得所以有即有正交变换X=PY 使当 时，B为正定阵。完
