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1、最 新 浙 教 版精 品 数 学 课 件 第第4 4章章 平行四边形平行四边形 4.5 4.5 三角形的中位线三角形的中位线三角形的中位线三角形的中位线例例1 1 （1 1）在）在ABCABC中，中，D D，E E分别是边分别是边ABAB，ACAC的的中点，若中点，若BC=5BC=5，则，则DEDE的长为（的长为（ ） A. 2.5 A. 2.5 B. 5 B. 5 C. 10 C. 10 D. 15 D. 15（2 2）如图，）如图，ABCABC中，中，D D是是ABAB上一点，上一点，且且AD=ACAD=AC，AEAECDCD于点于点E E，F F是是BCBC的中点的中点. . 求证：求证
2、：BD=2EF.BD=2EF.分析：（分析：（1 1）由）由D D，E E分别是边分别是边ABAB，ACAC的中点可知，的中点可知，DEDE是是ABCABC的中位线，根据中位线定理即可求得的中位线，根据中位线定理即可求得DEDE的长；的长；（2 2）要证）要证BD=2EFBD=2EF，由于，由于F F是是BCBC的中点，则只需证的中点，则只需证E E是是CDCD的中点即可的中点即可. .解：（解：（1 1）A A （2 2）AD=ACAD=AC，AEAECDCD，CE=DE. CE=DE. 又又F F是是BCBC的中点，则的中点，则EFEF是是CBDCBD的中的中位线位线. . BD=2EF.
3、BD=2EF.注意点：中位线定理是说明线段倍分关系的重注意点：中位线定理是说明线段倍分关系的重要定理，也是证明直线平行的一种特殊方法要定理，也是证明直线平行的一种特殊方法. .三角形中位线的应用三角形中位线的应用例例2 2 如图，如图，ADAD是是BACBAC的外角平分线，的外角平分线，CDCDADAD于点于点D D，E E是是BCBC的中点的中点. .求证：求证：DE= (AB+ACDE= (AB+AC) ). .分析：直接证明分析：直接证明DE=DE= （AB+ACAB+AC）比较困难，注）比较困难，注意到意到E E是是BCBC的中点，联想到三角形的中位线定理，的中点，联想到三角形的中位线
4、定理，于是延长于是延长CDCD与与BABA交于交于F F点，只需证点，只需证D D是是CFCF的中点的中点及及AF=ACAF=AC即可即可. .证明：如图，分别延长证明：如图，分别延长CDCD，BABA交于交于F F点点. . ADAD是是BACBAC的外角平分线，的外角平分线，CAD=CAD=FAD. FAD. CDCDADAD，ADC=ADC=ADF=90ADF=90，ACD=ACD=F F，AC=AFAC=AF，CD=DF. CD=DF. 即即D D是是CFCF的中点的中点. . E E是是BCBC的中点，的中点，DE=DE= ( (AB+AFAB+AF) )= = ( (AB+ACAB
5、+AC) ). .注意点：应用三角形的中位线定理解决倍分问注意点：应用三角形的中位线定理解决倍分问题时，常将线段加倍或折半题时，常将线段加倍或折半. .例例3 3 如图，已知在四边形如图，已知在四边形ABCDABCD中，中，AB=CDAB=CD，E E，F F分别为分别为ADAD与与BCBC的中点，连结的中点，连结EFEF与与BABA的延长线相交的延长线相交于点于点N N，与，与CDCD的延长线相交于点的延长线相交于点M. M. 求证：求证：BNF=BNF=CMF.CMF.分析：分析：BNFBNF和和CMFCMF并不处于同一个三角形中，并不处于同一个三角形中，也难找到一对全等的三角形，故需要考
6、虑将这两也难找到一对全等的三角形，故需要考虑将这两个角转移个角转移. .证明：如图，连结证明：如图，连结ACAC，取，取ACAC的中点的中点K K，再连结，再连结KEKE，KF.KF. E E，K K分别为分别为ADAD与与ACAC的中点的中点. . EKEKDCDC，且，且EK= DCEK= DC，同理，同理FKFKABAB，且，且FK=FK= ABAB，BNF=BNF=MFKMFK，FEK=FEK=CMF. CMF. 又又AB=CDAB=CD，EK=FKEK=FK，MFK=MFK=FEKFEK，BNF=BNF=CMF.CMF.注意点：从添辅助线的角度来看，遇到中点或注意点：从添辅助线的角度
7、来看，遇到中点或中线时，可考虑是否将中线延长一倍中线时，可考虑是否将中线延长一倍. . 当出现当出现两个中点时，可以连结它们构造中位线来解题，两个中点时，可以连结它们构造中位线来解题，如本例中通过中位线把两个角平移到同一个三如本例中通过中位线把两个角平移到同一个三角形中去，使它们处于同一个三角形或一对能角形中去，使它们处于同一个三角形或一对能够全等的三角形之中够全等的三角形之中. .例例 如图，在如图，在ABCABC中，中，ACB=52ACB=52，点，点D D，E E分别分别是是ABAB，ACAC的中点的中点. . 若点若点F F在线段在线段DEDE上，且上，且AFC=90AFC=90，则，则FAEFAE的度数为的度数为 . .错因：对中位线性质不熟，基本图形不能揭示，错因：对中位线性质不熟，基本图形不能揭示，以致找不到相互之间关系以致找不到相互之间关系. .正答：正答：6464错答：错答：7676
