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1、微分方程微分方程求解求解总结总结求解流程图求解流程图2021/8/211.折线积分折线积分2.凑全微分凑全微分3.定积分定积分转为转为z的一阶线性的一阶线性关于关于u一阶一阶2021/8/22二阶变系数二阶二阶一阶二阶常系数解的结构解的结构2021/8/23P338P3482021/8/24一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解 1. 一阶一阶标准标准类型方程求解类型方程求解 关键关键: 辨别方程类型辨别方程类型 , 掌握求解步骤掌握求解步骤2. 一阶一阶非标准非标准类型方程求解类型方程求解 (1) 变量代换法变量代换法 代换代换自变量自变量代换代换因变量因变量代换代换某组合式某组合式(2)
2、 积分因子法积分因子法 选积分因子选积分因子, 解全微分方程解全微分方程四个标准类型四个标准类型: 可分离变量方程可分离变量方程, 齐次方程齐次方程, 线性方程线性方程, 全微分方程全微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/25例1. 求下列方程的通解求下列方程的通解提示提示: (1)故为分离变量方程故为分离变量方程:通解通解机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/26方程两边同除以方程两边同除以 x 即为齐次方程即为齐次方程 , 令令 y = u x ,化为分化为分离变量方程离变量方程.调换自变量与因变量的地位调换自变量与因变量的地位 ,用线性方程通解公式求解用
3、线性方程通解公式求解 .化为化为机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/27方法方法 1 这是一个齐次方程这是一个齐次方程 .方法方法 2 化为微分形式化为微分形式 故这是一个全微分方程故这是一个全微分方程 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/28例2. 求下列方程的通解求下列方程的通解:提示提示: (1)令令 u = x y , 得得(2) 将方程改写为将方程改写为(贝努里方程贝努里方程) (分离变量方程分离变量方程)原方程化为原方程化为机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/29令 y = u t(齐次方程齐次方程)令 t = x 1 , 则则可分离变量
4、方程求解可分离变量方程求解化方程为化方程为机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/210变方程为变方程为两边乘积分因子两边乘积分因子用凑微分法得通解用凑微分法得通解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/211例例3.机动 目录 上页 下页 返回 结束 设设F(x)f (x) g(x), 其中函数其中函数 f(x), g(x) 在在(,+)内满足以下条件内满足以下条件:(1) 求求F(x) 所满足的一阶微分方程所满足的一阶微分方程 ;(03考研考研) (2) 求出求出F(x) 的表达式的表达式 .解解: (1) 所以所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程满足的一阶线性
5、非齐次微分方程:2021/8/212机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 由一阶线性微分方程解的公式得由一阶线性微分方程解的公式得于是于是 2021/8/213练习题练习题:(题3只考虑方法及步骤)P353 题题2 求以求以为通解的微分方程为通解的微分方程.提示提示:消去消去 C 得得P353 题题3 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解:提示提示: 令 u = x y , 化成可分离变量方程化成可分离变量方程 :提示提示: 这是一阶线性方程这是一阶线性方程 , 其中其中P353 题题1，2，3(1), (2), (3), (4), (5), (9), (10)机动 目录 上页 下页
6、 返回 结束 2021/8/214提示提示: 可化为可化为关于关于 x 的一阶线性方程的一阶线性方程提示提示: 为贝努里方程为贝努里方程 , 令令提示提示: 为全微分方程为全微分方程 , 通解通解提示提示: 可化为贝努里方程可化为贝努里方程令令微分倒推公式微分倒推公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/215原方程化为原方程化为 , 即即则则故原方程通解故原方程通解提示提示: 令令机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/216二、两类二阶微分方程的解法二、两类二阶微分方程的解法 1. 可降阶微分方程的解法可降阶微分方程的解法 降阶法降阶法令令逐次积分求解逐次积分求解 机
7、动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/2172. 二阶线性微分方程的解法 常系数情形常系数情形齐次齐次非齐次非齐次代数法代数法 欧拉方程欧拉方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/218二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤: :(1) (1) 写出相应的特征方程写出相应的特征方程(2) (2) 求出特征方程的两个根求出特征方程的两个根(3) (3) 根据特征方程的两个根的不同情况根据特征方程的两个根的不同情况, ,按照下列按照下列规则写出微分方程的通解规则写出微分方程的通解求解二阶常系数线性方程求解二阶常系数线性方程202
8、1/8/219非齐非齐通解通解齐次通解齐次通解非齐特解非齐特解难点：难点：如何求特解？如何求特解？方法：方法：待定系数法待定系数法.2021/8/220(3). (3). 上述结论也可推广到高阶方程的情形上述结论也可推广到高阶方程的情形. .2021/8/221解答提示解答提示P353 题题2 求以求以为通解的微分方程为通解的微分方程 .提示提示: 由通解式可知特征方程的根为由通解式可知特征方程的根为故特征方程为故特征方程为因此微分方程为因此微分方程为P353 题题3 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解提示提示: (6) 令则方程变为则方程变为机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021
9、/8/222特征根特征根:齐次方程通解齐次方程通解:令非齐次方程特解为令非齐次方程特解为代入方程可得代入方程可得思思 考考若若 (7) 中非齐次项改为中非齐次项改为提示提示:原方程通解为原方程通解为特解设法有何变化特解设法有何变化 ?机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/223P354 题4(2) 求解求解提示提示: 令则方程变为则方程变为积分得积分得利用利用再解再解并利用并利用定常数思考思考若问题改为求解若问题改为求解则求解过程中得则求解过程中得问开方时问开方时正负号如何确定正负号如何确定?机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/224P354 题8 设函数设函数在 r
10、 0内内满足拉普拉斯方程满足拉普拉斯方程二阶可导二阶可导, 且且试将方程化为以试将方程化为以 r 为自变为自变量的常微分方程量的常微分方程 , 并求并求 f (r) .提示提示:利用对称性利用对称性, 即即( 欧拉方程欧拉方程 )原方程可化为原方程可化为机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/225解初值问题解初值问题:则原方程化为则原方程化为 通解通解: 利用初始条件得特解利用初始条件得特解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/226特征根特征根 :例1. 求微分方程求微分方程提示提示:故通解为故通解为满足条件满足条件解满足解满足处连续且可微的解处连续且可微的解.设
11、特解设特解 :代入方程定代入方程定 A, B, 得得得机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/227处的衔接条件可知处的衔接条件可知,解满足解满足故所求解为故所求解为其通解其通解:定解问题的解定解问题的解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/228例2.且满足方程提示提示: 则问题化为解初值问题问题化为解初值问题:最后求得最后求得机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/229思考思考: 设提示提示: 对积分换元对积分换元 ,则有解初值问题解初值问题: 答案答案:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/230的解的解. 例例3. 设函数设函数内具有连续
12、二阶导内具有连续二阶导机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 试将试将 xx( y) 所满足的微分方程所满足的微分方程 变换为变换为 yy(x) 所满足的微分方程所满足的微分方程 ;(2) 求变换后的微分方程满足初始条件求变换后的微分方程满足初始条件 数, 且解解: 上式两端对上式两端对 x 求导求导, 得得: (1) 由反函数的导数公式知由反函数的导数公式知(03考研考研)2021/8/231机动 目录 上页 下页 返回 结束 代入原微分方程得代入原微分方程得 (2) 方程方程的对应齐次方程的通解为的对应齐次方程的通解为 设设的特解为的特解为 代入代入得得 A0,从而得从而得的通解的通解
13、: 2021/8/232题 目录 上页 下页 返回 结束 由初始条件由初始条件 得故所求初值问题的解为故所求初值问题的解为 2021/8/233例4. 解解:欲向宇宙发射一颗人造卫星欲向宇宙发射一颗人造卫星, 为使其摆脱地球为使其摆脱地球 引力引力, 初始速度应不小于第二宇宙速度初始速度应不小于第二宇宙速度, 试计算此速度试计算此速度.设人造地球卫星质量为设人造地球卫星质量为 m , 地球质量为地球质量为 M , 卫星卫星的质心到地心的距离为的质心到地心的距离为 h , 由牛顿第二定律得由牛顿第二定律得: (G 为引力系数为引力系数)则有初值问题则有初值问题: 又设卫星的初速度又设卫星的初速度
14、机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/234代入原方程代入原方程, 得得两边积分得两边积分得利用初始条件利用初始条件, 得得因此因此注意到注意到 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/235为使为使因为当因为当h = R (在地面上在地面上) 时时, 引力引力 = 重力重力, 即代入代入即得即得这说明第二宇宙速度为这说明第二宇宙速度为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/236求质点的运动规求质点的运动规例5. 上的力上的力 F 所作的功与经过的时间所作的功与经过的时间 t 成正比成正比 ( 比例系数比例系数提示提示:两边对两边对 s 求导得求导得:牛顿第
15、二定律为为 k), 开方如何定开方如何定 + ?已知一质量为已知一质量为 m 的质点作直线运动的质点作直线运动, 作用在质点作用在质点机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/237例6. 一链条挂在一钉子上一链条挂在一钉子上 , 启动时一端离钉子启动时一端离钉子 8 m ,另一端离钉子另一端离钉子 12 m , 如不计钉子对链条所产生的摩擦如不计钉子对链条所产生的摩擦 力力, 求链条滑下来所需的时间求链条滑下来所需的时间 .解解: 建立坐标系如图建立坐标系如图. 设在时刻设在时刻 t , 链条较长一段链条较长一段下垂下垂 x m ,又设链条线密度为常数又设链条线密度为常数此时链条受力
16、此时链条受力由牛顿第二定律由牛顿第二定律, 得得机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/238由初始条件得由初始条件得故定解问题的解为故定解问题的解为解得解得当 x = 20 m 时,(s)微分方程通解微分方程通解: 思考思考: 若摩擦力为链条若摩擦力为链条 1 m 长的重量长的重量 , 定解问题的定解问题的数学模型是什么数学模型是什么 ?机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/239摩擦力为链条摩擦力为链条 1 m 长的重量长的重量 时的数学模型为时的数学模型为不考虑摩擦力时的数学模型为不考虑摩擦力时的数学模型为此时链条滑下来此时链条滑下来所需时间为所需时间为机动 目录
17、上页 下页 返回 结束 2021/8/240练习题练习题从船上向海中沉放某种探测仪器从船上向海中沉放某种探测仪器, 按探测按探测要求要求, 需确定仪器的下沉深度需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度与下沉速度 v 之间的函之间的函数关系数关系. 设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉, 在下沉过程中还受到阻力和浮力作用在下沉过程中还受到阻力和浮力作用, 设仪器质量为设仪器质量为 m,体积为体积为B , 海水比重为海水比重为 ,仪器所受阻力与下沉速度成正仪器所受阻力与下沉速度成正 比比 , 比例系数为比例系数为 k ( k 0 ) , 试建立试建立 y 与
18、与 v 所满足的微分所满足的微分方程方程, 并求出函数关系式并求出函数关系式 y = y (v) . ( 95考研考研 )提示提示: 建立坐标系如图建立坐标系如图.质量 m体积 B由牛顿第二定律由牛顿第二定律重力重力浮力浮力 阻力阻力注意注意: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/241初始条件为初始条件为用分离变量法解上述初值问题得用分离变量法解上述初值问题得质量 m体积 B得得机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/242 有特有特而对应齐次方程有解而对应齐次方程有解微分方程的通解微分方程的通解 . 解解:故所给二阶非齐次方程为故所给二阶非齐次方程为方程化为方程化为
19、1. 设二阶非齐次方程设二阶非齐次方程一阶线性非齐次方程一阶线性非齐次方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/243故再积分得通解再积分得通解复习复习: 一阶线性微分方程通解公式一阶线性微分方程通解公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/244 2. (1) 验证函数验证函数满足微分方程满足微分方程(2) 利用利用(1)的结果求幂级数的结果求幂级数的和的和.解解: (1)机动 目录 上页 下页 返回 结束 (02考研考研)2021/8/245所以所以(2) 由由(1)的结果可知所给级数的和函数满足的结果可知所给级数的和函数满足其特征方程其特征方程:特征根特征根:齐次方程通解为齐次方程通解为设非齐次方程特解为设非齐次方程特解为代入原方程得代入原方程得故非齐次方程通解为故非齐次方程通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/246代入初始条件可得代入初始条件可得故所求级数的和故所求级数的和机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/8/247部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！
