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1、平面向量的正交分解平面向量的正交分解坐标表示及坐标运算坐标表示及坐标运算11、平面向量的基本定理、平面向量的基本定理:2、向量的基底、向量的基底: 不共线的平面向量不共线的平面向量 e1 , e2 叫做这叫做这一平面内所有向量的一组基底一平面内所有向量的一组基底. 如果如果 e1 , e2是同一平面内的两个不共是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一线的向量，那么对于这一平面内的任一向量向量 a ，有且只有一对实数，有且只有一对实数 1 , 2 使使得得a= 1 e1+ 2 e2复习引入复习引入2 (1)基底不唯一；基底不唯一； (2)要求这两个向量不共线；要求这两个向量不共线
2、； (3)如果基底选定，则如果基底选定，则 ， 唯一确定唯一确定, 可以为可以为零零.时时, , ， 与与 共线共线. . 时时, , ， 与与 共线共线. .时时, ,特别的：特别的：3如图，光滑斜面上一个木块受到的重力如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为为G G，下滑力为，下滑力为F F1 1，木块对斜面的压力，木块对斜面的压力为为F F2 2，这三个力的方向分别如何？，这三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？三者有何相互关系？G GF F1 1F F2 2新课引入新课引入4把把一一个个向向量量分分解解为为两两个个互互相相 垂垂直直的的向向量量 ,叫叫做做把把向向量量 正正交交分分解解a
3、1a12 a2F1F2G正交分解正交分解5 我们知道，在平面直角坐标系，我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数（即它每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的的坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？每一个向量，如何表示？6Oxya任一向量任一向量a ，用这组基底用这组基底能不能表示能不能表示? 分别与分别与x 轴、轴、y 轴方向相同的两单位向量轴方向相同的两单位向量i 、j 能否作为平面向量的基底能否作为平面向量的基底?ij7yOxjiaxiyj分别取与分别取与x轴、轴、y轴方向相同的两轴方向相同的两个单位向量个单位向量i、j作为基底作为基底
4、.任任作一个向量作一个向量a a, ,由平面向量基本定理知由平面向量基本定理知, ,有且有且只有一对实数只有一对实数x x、 y y, , 使得使得a a= = x x i i+ +y y j j探究一、平面向量的坐标表示探究一、平面向量的坐标表示:把把(x,y)叫做向量叫做向量a的坐标，记作的坐标，记作 a = ( x, y )其中其中x叫做叫做a在在x轴上的坐标，轴上的坐标，y叫做叫做a在在y轴上的坐标轴上的坐标8i=j=0=( 1, 0 )( 0, 1 )( 0, 0 )ayOxxiyjjia = ( x, y )9yxAa如图，在直角坐标平面内，以原如图，在直角坐标平面内，以原点点O为
5、起点作为起点作OA=a，则点，则点A的位的位置由置由 唯一确定。唯一确定。yxOjia(x,y)因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。以用一对实数唯一表示。反过来，点反过来，点A的坐标（的坐标（x,y)也就是也就是向量向量OA的坐标。的坐标。a设设OA=xi+yj，则向量，则向量OA的坐标的坐标（x,y)就是点就是点A的坐标；的坐标；10yOxajixiyjxiyjb相等的向量坐标相同相等的向量坐标相同向量a、b有什么关系?ab能说出向量b的坐标吗?b=( x,y )11jyxOiaA1AA2bcd例例2: 用基底用基底i
6、，j分别表示向量分别表示向量a、b、c、d,并求出它们的坐标并求出它们的坐标.解：解：12 思考：思考： 已知已知你能得出你能得出 的坐标吗？的坐标吗？探究二：平面向量的坐标运算探究二：平面向量的坐标运算: 13平面向量的坐标运算：平面向量的坐标运算： 两个向量和（差）的坐标分别等于这两个两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）向量相应坐标的和（差） 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的坐标原来向量的坐标14 例题例题:已知已知 求求 的坐标。的坐标。变式练习变式练习：15 例例3.如图，已知如图，已知求求 的坐标。的坐标。xyO
7、BA解：解： 一个向量的坐标等于表示此向量的一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。这是一个重要结论！这是一个重要结论！探究三：点的坐标与向量坐标的关系探究三：点的坐标与向量坐标的关系16ABCDxyO解法：解法：设点设点D的坐标为（的坐标为（x,y）解得解得 x=2,y=2所以顶点所以顶点D的坐标为（的坐标为（2，2）例例3.如图，已知如图，已知 ABCD的三个顶点的三个顶点A、B、C的的坐标分别是（坐标分别是（-2，1）、（）、（-1，3）、（）、（3，4），），试求顶点试求顶点D的坐标。的坐标。18ABCDxyO解法解法2：由
8、平行四边形法则可得由平行四边形法则可得而而所以顶点所以顶点D的坐标为（的坐标为（2，2）例例4.如图，已知如图，已知 ABCD的三个顶点的三个顶点A、B、C的的坐标分别是（坐标分别是（-2，1）、（）、（-1，3）、（）、（3，4），），试求顶点试求顶点D的坐标的坐标。19随堂练习随堂练习坐标是坐标是A A、(3,2) B(3,2) B、(2,3) C(2,3) C、(-3,-2) D(-3,-2) D、(-2,-3)(-2,-3)BA A、x=1,y=3 Bx=1,y=3 B、x=3,y=1x=3,y=1C C、x=1,y=-3 Dx=1,y=-3 D、x=5,y=-1x=5,y=-1B标标
9、坐标为坐标为A A、(x-2,y+1) B(x-2,y+1) B、(x+2,y-1)(x+2,y-1)C C、(-2-x,1-y) D(-2-x,1-y) D、(x+2,y+1)(x+2,y+1)C20BB标标的坐标为的坐标为(i,j),(i,j),则点则点A A的坐标为的坐标为A A、(m-i,n-j) B(m-i,n-j) B、(i-m,j-n)(i-m,j-n)C C、(m+i,n+j) D(m+i,n+j) D、(m+n,i+j)(m+n,i+j)A21课堂小结课堂小结: :2 加、减法法则加、减法法则.3 实数与向量积的运算法则实数与向量积的运算法则：4 向量坐标向量坐标.1 向量坐标定义向量坐标定义. =(x +y )=（x，y ） 若若A(x1 , y1) , B(x2 , y2)， 则则 =(x2 - x1 , y2 y1 ) 22
