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1、第四节第四节 极限的四则运算极限的四则运算如果如果则则如果如果则则如果如果则则定理定理2.11定理定理2.12定理定理2.13此时此时故故 对对所以命题成立所以命题成立.因因所以所以 对对证证同时成立同时成立总总当当时时,与与总总当当时时,恒成立恒成立推论推论1 常数因子可以提到极限符号外面常数因子可以提到极限符号外面,即即推论推论2 如果如果是与极限变量是与极限变量 无关的正整数无关的正整数,则则各种类型极限求法各种类型极限求法:例例1 求求解解 原式原式注注 求极限时直接代入求极限时直接代入.2.分母极限不为零的分式的极限分母极限不为零的分式的极限例例2 求求解解原式原式因因注注分子极限除
2、以分母极限分子极限除以分母极限.故故3.分母极限为零而分子极限不为零的分式的极限分母极限为零而分子极限不为零的分式的极限例例3 求求解解因因又又所以所以故故注注 此种类型的极限以后不要过程此种类型的极限以后不要过程, 直接为直接为4.分母、分子极限全为零的分式的极限分母、分子极限全为零的分式的极限例例4 求求解解原式原式例例5 求求解解 原式原式原式原式注注:(1)型型.(2) 此种极限求解时此种极限求解时,分子分母分解因式分子分母分解因式带根号将根号有理化带根号将根号有理化.此种类型的极限为此种类型的极限为约去公因子约去公因子.既使不是既使不是型型,只要分子只要分子分母中有公因子分母中有公因
3、子, 一般的处理方法也是一般的处理方法也是将公因子先约去然后再计算将公因子先约去然后再计算.(3)例例6 求求解解原式原式注注(1)型型.(2)做法做法:通分合并变成一个分式通分合并变成一个分式.(3)新分式一定为新分式一定为 型型.例例7求求解解原式原式例例8 求求解解原式原式例例9求求解解原式原式例例10 求求解解 原式原式注注7.分段函数求极限分段函数求极限例例11 已知已知求求解解故故不存在不存在.故故8.数列求极限数列求极限(1)多项式多项式/多项式多项式(2)(3)项和求极限项和求极限(4)项积求极限项积求极限(5)(6)两边夹法则两边夹法则(7)定积分定积分(8)级数级数例例12
4、 求求解解 原式原式例例13 求求解解原式原式求求例例14时时,解解 原式原式例例15求求解解 原式原式9.杂例杂例例例16 设设存在存在,求求解解令令将将两边求极限两边求极限得得即即故故从而从而例例17 设设求求的值的值.解解 因因所以所以故故将将代入原式代入原式得得从而从而故故又又2.分母极限不为零的分式的极限分母极限不为零的分式的极限3.分母极限为零而分子极限不为零的分式的极限分母极限为零而分子极限不为零的分式的极限4.分母、分子极限全为零的分式的极限分母、分子极限全为零的分式的极限7.分段函数求极限分段函数求极限8.数列求极限数列求极限9.杂例杂例总结总结作业题作业题2.习题二习题二 (A) 10、11、12、13、1.牢记各种类型极限的求法牢记各种类型极限的求法.14、15、16.
