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1、山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂第八章第八章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算第二节第二节 数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积第三节第三节 曲面及其方程曲面及其方程第四节第四节 空间曲线及其方程空间曲线及其方程第五节第五节 平面及其方程平面及其方程第六节第六节 空间直线及其方程空间直线及其方程山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂一、向量概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向解、投影 8.1 向量及其运算山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂表示法:向量的模
2、 :向量的大小,一、向量的概念一、向量的概念向量:(又称矢量). 既有大小, 又有方向的量称为向量向径 (矢径):自由向量: 与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量: 模为 1 的向量,零向量:模为 0 的向量,有向线段 M1 M2 ,或 a ,山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂规定: 零向量与任何向量平行 ;若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等,记作 ab ;若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, ab ;与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .
3、若 k (3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .记作a ;山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂二、向量的线性运算二、向量的线性运算1. 向量的加法向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律 : 交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加 .山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂2. 向量的减法向量的减法三角不等式山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂3. 向量与数的乘法向量与数的乘法 是一个数 ,规定 :可见 与 a 的乘积是一个新向量, 记作总之:运算律 : 结合律分配律因此山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂
4、定理定理1. 设 a 为非零向量 , 则( 为唯一实数)abOiPxx点点P= xi实数实数x轴上点P的坐标为x的充分必要条件是 = xi直线上点的坐标直线上点的坐标平面上点的坐标平面上点的坐标OQpMxyij点点M向量向量 轴上点M的坐标为（x，y）的充分 必要条件是 向量向量山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系. 坐标原点 坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z 轴(竖轴)过空间一定点 o , 坐标面 卦限(八个)zox面1. 空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系的基本概念山东农业大学 高等数学 主讲人
5、： 苏本堂向径在直角坐标系下坐标轴上的点 P, Q , R ;坐标面上的点 A , B , C点点 M特殊点的坐标 :有序数组(称为点 M 的坐标坐标)原点 O(0,0,0) ;山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂坐标轴 : 坐标面 :山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂2. 向量的坐标表示向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点 M 则沿三个坐标轴方向的分向量分向量.的坐标为此式称为向量 r 的坐标分解式坐标分解式 ,任意向量 r 可用向径 OM 表示.山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算设则平行向量对应坐标成比例:山东农业大
6、学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例2. 求解以向量为未知元的线性方程组解解: 2 3 , 得代入得山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例3. 已知两点在AB直线上求一点 M , 使解解: 设 M 的坐标为如图所示及实数得即山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂说明说明: 由得定比分点公式定比分点公式:点 M 为 AB 的中点 ,于是得中点公式中点公式:山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式则有由勾股定理得因得两点间的距离公式:对两点与山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂
7、例例4. 求证以证证:即为等腰三角形 .的三角形是等腰三角形 . 为顶点山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例5. 在 z 轴上求与两点等距解解: 设该点为解得故所求点为及思考思考: (1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?离的点 . 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂提示提示:(1) 设动点为利用得(2) 设动点为利用得且例例6. 已知两点和解解:求山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂2. 方向角与方向余弦方向角与方向余弦设有两非零向量 任取空间一点 O ,称 =AOB (0 ) 为向量 的夹
8、角. 类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . 与三坐标轴的夹角 , , 为其方向角方向角.方向角的余弦称为其方向余弦方向余弦. 记作山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂方向余弦的性质:山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例7. 已知两点和的模 、方向余弦和方向角 . 解解:计算向量山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例8. 设点 A 位于第一卦限,解解: 已知角依次为求点 A 的坐标 . 则因点 A 在第一卦限 , 故于是故点 A 的坐标为 向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 作业：作业：p-12习题习题8-1 3 , 5, 6, 8, 13, 14, 15
