动能定理ppt课件

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1、动动 力力力力 学学学学动 能能 定定 理理13-213-113-3 动能定理能定理13-4 权利利场势能能机械能守恒定理机械能守恒定理动能动能力的功力的功13-1 动 能 质质点的点的动动能能 质质点系的点系的动动能能 几几种种刚刚体体运运动动的的动动能能 柯尼西定理柯尼西定理 即：质点的质量与其速度平方乘积的一半称为质点的动能。 质点系的动能等于系统内一切质点动能的总和，用符号 T 表示，那么有国国际单位制中，位制中，动能的常用能的常用单位是位是 kgm2/s2 kgm2/s2，即，即 J J 。动能能是是物物体体机机械械运运动的的一一种种度度量量，是是一一非非负的的标量量，只只取决于各取

2、决于各质点速度的大小，而与方向无关。点速度的大小，而与方向无关。二、二、质点系的点系的动能能一、质点的动能1. 1. 平平动刚体的体的动能能即，平即，平动刚体的体的动能，等于能，等于刚体的体的质量与量与质心速度平方乘心速度平方乘积的一半。的一半。 质点系的动能质点系的动能三、几种三、几种刚体运体运动的的动能能2. 2. 定定轴转动刚体的体的动能能可可见，定定轴转动刚体体的的动能能，等等于于刚体体对转轴的的转动惯量量与与其其角角速速度度平平方乘方乘积的一半的一半. . A AAviC CCvCP PPrcriP 根据根据转动惯量的平行量的平行轴定理有定理有平平面面运运动刚体体的的动能能, ,等等

3、于于它它以以质心心速速度度作作平平动时的的动能与相能与相对于于质心心轴转动时的的动能之和。能之和。此此结论能否适用于能否适用于刚体的恣意运体的恣意运动？3. 3. 平面运平面运动刚体的体的动能能 以以质点点系系的的质心心 C 为原原点点,取取平平动坐坐标系系 Cx y z ,它以它以质心的速度心的速度 vC 运运动。 故得故得质点系在点系在绝对运运动中的中的动能能四、柯尼西定理四、柯尼西定理OAvixyzvCzyxCvCvirrCrirvi = vc + vir 上式右端第一上式右端第一项即即，质点点系系在在绝对运运动中中的的动能能, ,等等于于它它随随质心心一一同同平平动时的的动能能, ,加

4、加上上它它在在以以质心速度做平心速度做平动的坐的坐标系中相系中相对运运动的的动能。能。这就是柯尼西定理。就是柯尼西定理。 第三第三项等于等于 mivir2/2 = Tr mivir2/2 = Tr 是是质点系在相点系在相对运运动中所具有的中所具有的动能。能。记为TrTr第二第二项是是质点系随点系随质心一同平心一同平动时的的动能能. .所以所以质点系的点系的动能能匀质杆,m, L, 计算刚体的动量、动量矩、动能计算刚体的动量、动量矩、动能OCm ,R , ,匀质圆盘CM,R,匀质圆轮,纯滚动v vC CO C 系系统如如下下图，轮的的质量量为m1，纯滚动，AO杆杆的的质量量为 m ，角角速速度度

5、为 ，求系，求系统的的动能。能。O OA AC Cr1r1r2r211vAvA 练习题C是是轮上的点，上的点，JC是是绕C点的点的转动惯量，量， 能否成立？能否成立？知知滑滑块A的的质量量为 m1，质点点B的的质量量为m2 , AB杆杆的的长度度为 l、不不计质量量，以以角角速速度度AB绕 A点点转动，滑滑块的速度的速度为vA。求系。求系统的的动能。能。滑滑块A的的动能能质点点B B的的动能能解：解：A Am1m2BlvAvAABvAvAvBAvBA 知知滑滑块A的的质量量为 m1；匀匀质杆杆AB的的长度度为l、质量量为m2，以以角角速速度度AB绕 A点点转动。圆盘B的的质量量为m3 , 半半

6、径径为r，与与杆杆固固连；滑滑块的的速速度度为vA，求求系系统的的动能。能。A Am1Oxxym2BlvAvAyABCr 思索思索思索思索题题13-2 力 的 功 功的概念功的概念功的概念功的概念几种常几种常见见力的功力的功作用于作用于质质点系上的力系的点系上的力系的功功一、功的概念一、功的概念在一无限小位移中力所做的功称在一无限小位移中力所做的功称为元功元功力在一段路程中力在一段路程中对物体物体作用的累作用的累积效果。效果。OA1AFxyzA2vr+drrdsdr重力在曲线路程重力在曲线路程 A1A2 上的功为上的功为有有有有 结结 论论2重力的功与运动途径无关。1重力的功等于重力与重心高度

7、降的乘积。3重心下降，重力作正功；否那么，重力做负功。二、 几种常见力的功1 1 重力的功重力的功OA1(x1,y1,z1)AGxyzA2(x2,y2,z2)对于质点系弹性力弹性力 F 在曲线路程在曲线路程 A1A2 中的功中的功有有有有 结结 论论(2)弹性力的功与运动途径无关。(1)弹性力的功，等于弹簧初变形的平方和末变形的平方之差与弹簧刚度系数乘积的一半。(3)弹簧的变形量减小弹性力作正功；否那么，做负功。OA1drA2r1rr2FA2 2、 弹性力的功弹性力的功三、 作用于质点系上的力系的功1 1、 平动刚体上力的功平动刚体上力的功OdrxrFAvyzCdrC vC W = Fv dt

8、 = Fv C dt W = F dr = FdrC或或2 2、 定轴转动刚体上外力的功定轴转动刚体上外力的功在在刚体由角体由角 1 转到角到角 2 的的过程中，力程中，力 F 的的总功功为特特别是，假是，假设力矩是常量，那么力在上述力矩是常量，那么力在上述过程中的程中的总功功为W = mz(F) (2 1) 作用于定轴转动刚体上的力的功，等于该力对转轴的矩与刚体微小转角的乘积的积分。OkdrxrFAvdyz3 3、 平面运动刚体上力的功平面运动刚体上力的功 设一一刚体体在在力力 F 作作用用下下作作平平面面运运动，其其质心心在在 C 点点，速速度度是是 vC ，刚体上点体上点 A 的速度是的

9、速度是 vA , 那么力那么力 F 的元功的元功2). 2). 总 功功1). 1). 元元 功功 W = FvA dt = Fv C + vAC dt W = Fdr C + mC ( F ) d rFACvCvCvACvAd = F = F v C dt + Fv C dt + F vAC dtvAC dt = F = F dr C + Fdr C + F ( ( r ) dt r ) dt = F = F dr C + mC ( F ) ddr C + mC ( F ) d 有有有有 结结 论论作用于平面运动刚体上的力的功，等于该力在刚体随质心平动中的功与力对质心的矩在刚体转动中的功之和

10、。约束力元功之和等于零的约束称为理想约束。4 4、理想约束约束反力的功、理想约束约束反力的功1 1光滑固定面光滑固定面2 2光滑光滑铰链或或轴承承约束束3 3刚性性衔接的接的约束束4 4联接两个接两个刚体的体的铰链5 5柔性而不可伸柔性而不可伸长的的绳索索约束束4). 圆轮沿支承面滚动时，摩擦力圆轮沿支承面滚动时，摩擦力(约束力约束力)的功。的功。O OvOvOCvCvF FFNFN 由于Cv 为速度瞬心，其速度为零。所以作用在Cv点的静摩擦力F 所作元功为1圆轮连滚带滑滑运运动时，动摩摩擦擦力力F 所所作作元元功功为2圆轮纯滚动时，这时出出现静摩擦力静摩擦力F 。 这里里 d(A1A2) d

11、(A1A2) 代代表表两两质点点间间隔隔 A2A1 A2A1 的的变化化量量，它它和和参参考考系系的的选择无无关关，在在普普通通质点点系系中中，两两质点点间间隔隔是是可可变的的，因因此此，可可蜕变点点系系内内力力所所做做功功的的总和和不不一一定定等于零。等于零。 但是但是,刚体内恣意两点体内恣意两点间的的间隔一直隔一直坚持不持不变，所以，所以刚体体内力所做功的内力所做功的总和恒等于零。和恒等于零。 W = F1d(A1A2)dr1dr2r1A1OA2F2F1r15 5、 质点系和刚体内力的功质点系和刚体内力的功 设质点点系系内内有有两两质点点 A1 和和 A2 ,相相 互互间作作用用着着内内力

12、力 F1 和和 F2 = F1 。两两质点的元位移分点的元位移分别是是 dr1 和和 dr2 , 可得内力可得内力 F1 和和 F2 的元功之和的元功之和工程上几种内力作功的情形工程上几种内力作功的情形 作作作作为为整整整整体体体体调调查查，一一一一切切切切发发动动机机机机的的的的内内内内力力力力都都都都是是是是有有有有功功功功力力力力。例例例例如如如如汽汽汽汽车车内内内内燃燃燃燃机机机机任任任任务务时时，气气气气缸缸缸缸内内内内膨膨膨膨胀胀的的的的气气气气体体体体质质点点点点之之之之间间的的的的内内内内力力力力；气气气气体体体体质质点点点点与与与与活活活活塞塞塞塞之之之之间间的内力；气体的内

13、力；气体的内力；气体的内力；气体质质点与气缸内壁点与气缸内壁点与气缸内壁点与气缸内壁间间的内力；的内力；的内力；的内力；这这些内力都要作功。些内力都要作功。些内力都要作功。些内力都要作功。 有相有相对滑滑动的两个物体之的两个物体之间的摩擦力作的摩擦力作负功。功。 弹性构件横截面上的一切内力分量作性构件横截面上的一切内力分量作负功。功。a图中轮子在图中轮子在FT作用下纯滚动作用下纯滚动S间隔；间隔；b图中轮子由细绳缠绕下滑图中轮子由细绳缠绕下滑S间隔。间隔。求：求： FT 做的功。做的功。方法方法1：根据元功的定：根据元功的定义图a：图b：方法方法2：根据力系等效，将：根据力系等效，将FT平移至

14、平移至轮心，心，附加一力偶附加一力偶图a：图b：根本概念根本概念功功根本概念根本概念功功圆轮向前滑滚，摩擦力参与做功，此种情况下动能定理与动量圆轮向前滑滚，摩擦力参与做功，此种情况下动能定理与动量定理、动量矩定理可互换。定理、动量矩定理可互换。圆轮受力如受力如图根据根据两两边对t求求导比比较系数系数13-3 动 能 定 理 质质点系点系动动能定理能定理 质质点点动动能定理能定理 动能定理表达了质点或质点系的动能变化和作用力的功之间的动能定理表达了质点或质点系的动能变化和作用力的功之间的数量关系。数量关系。 设质量量为 m 的的质点点 A ，在力作用下，在力作用下 F 沿曲沿曲线由由 A1 运运

15、动到到 A2 ，它的速度由，它的速度由 v1 变为 v2 。两两边点乘速度点乘速度 v , v ,得得mv dv = F vdt一、一、质点点动能定理能定理1. 1. 微分方式微分方式由牛由牛顿第二定理第二定理1. 1. 微分方式微分方式即即，质点点动能能的的微微分分等等于于作作用用于于质点点上上的的力力的的元元功功，这就就是是质点点动能能定定理理的的微分方式。微分方式。将上式沿路程将上式沿路程 A1A2 积分，得分，得上式右端就是作用力的元功，左端可改写成上式右端就是作用力的元功，左端可改写成 mv mv dv = md(v dv = md(v v)/2 = v)/2 = d(mv2/2)d

16、(mv2/2)，从而得，从而得mv dv = F dr式中式中 W 表示力表示力 F 在路程在路程 A1A2 中的功。中的功。可可见，质点点动能在某一路程中的改能在某一路程中的改动量，等于作用于量，等于作用于质点的各力在点的各力在该路程中路程中所做的功。所做的功。这就是就是质点点动能定理的能定理的积分方式。分方式。2. 2. 积分方式分方式即，即，质点系点系动能的微分等于作用于能的微分等于作用于质点系各力的元功的代数和，点系各力的元功的代数和，这就是就是质点系点系动能定理的微分方式。能定理的微分方式。dT= W i对于于质点系中的每个点系中的每个质点，都有点，都有类似上式，相加得似上式，相加得

17、因因故上式可写成故上式可写成由由质点点动能定理的微分方式能定理的微分方式1.1.微分方式微分方式二、质点系动能定理式式中中 T1 ， T2 分分别代代表表某某一一运运动过程程中中开开场和和终了了时质点点系系的的动能能。上上式式阐明明质点点系系的的动能能在在某某一一路路程程中中的的改改动量量,等等于于作作用用于于质点点系系的的各各力力在在该路程中的功的代数和。路程中的功的代数和。这就是就是质点系点系动能定理的能定理的积分方式。分方式。T2T1 = Wi将上式将上式积分，得分，得由微分方式由微分方式 dT= Wi2.2.积分方式积分方式 一自一自动卸料卸料车重重W1 , 装好料后重装好料后重W2

18、, 自自倾斜斜30的斜面上的斜面上无初速地下滑无初速地下滑, 碰着固定的碰着固定的弹簧簧, 并并紧缩弹簧簧, 当料当料车到达最到达最低点低点(弹簧簧产生最大生最大紧缩变形形)时自自动卸料卸料. 然后然后, 依托依托弹簧的簧的弹力力, 把空把空车弹回到原来的高度回到原来的高度. 设一切阻力等于斜面一切阻力等于斜面对料料车法向支承力的法向支承力的20% , 问W2 与与W1的比的比值应为多少多少?hD 讨论题方法一方法一方法一方法一: : : : 分分分分为为两个两个两个两个过过程来求解程来求解程来求解程来求解: : : :(1)(1)装料装料车从最高位置到最低位置的从最高位置到最低位置的过程中，

19、用程中，用动能定理。能定理。(2)(2)空空车从最低位置到最高位置的从最低位置到最高位置的过程中，再用程中，再用动能定理。能定理。hD 方法二：方法二： 装料装料车从最高点下滑从最高点下滑, , 又回到最高点又回到最高点, , 对这一往返一往返过程程运用运用动能定理。能定理。 空空车上滑上滑时阻力做功。阻力做功。 装料装料车下滑下滑时阻力做功。阻力做功。 下滑下滑时，料的重力做功。，料的重力做功。 在往返在往返过程中，空程中，空车重力重力W1做功也做功也为0。 在往返在往返过程中，程中，弹簧簧紧缩后又恢复到原后又恢复到原长，故，故弹性力做功性力做功为0。 始、末位置始、末位置动能：能： T1=

20、T2=0 T1=T2=0hD 例题 13-4 运送重物用的卷扬机如图 (a) 所示。知鼓轮重 W1 ,半径是 r,对转轴 O 的回转半径是 。在鼓轮上作用着常值转矩 MO ,使重 W2 的物体 A 沿倾角为 的直线轨道向上运动。知物体 A 与斜面间的动摩擦系数是 f 。假设系统从静止开场运动，绳的倾斜段与斜面平行，绳的质量和轴承 O 的摩擦都忽略不计。试求物体 A 沿斜面上升间隔 s 时物体 A的速度和加速度。(a)s sA2AA1OMOMO 用用v 表表示示这时物物体体的的速速度度大大小小，那那么么鼓鼓轮的的角角速度大小速度大小 =v/r，从而有，从而有 系系统从从静静止止开开场运运动的的，

21、初初动能能 T1 T1 = = 0 0。在在重重物物上上升升的的单向向路路程程为 s s 时，系系统的的动能能 T2 T2 可可计算如下。算如下。 取鼓取鼓轮、绳索和物体索和物体 A 组成的系成的系统为研研讨对象。象。解：解：(b)A AOM0W2FNFFOxFOyW1av v根据根据T2 T1=W，有，有在物体在物体 A 上升上升 s 路程中，作用在系路程中，作用在系统上的力的上的力的总功功为T1 = 0 ,(b)A AOM0W2FNFFOxFOyW1av v 物体物体 A A 的加速度的加速度把式把式(1)中的中的s看作看作变值，并求两端，并求两端对时间 t 的的导数，有数，有思索到在直思

22、索到在直线运运动中中 dv / dt = a，ds / dt = v，故，故物体物体 A 的加速度的加速度A AOM0W2FNFFOxFOyW1av v(1)根号内必需根号内必需为正正值，故当，故当满足足MOW2r(sin+f cos )时，卷，卷扬机才干开机才干开场任任务。OM0AAm2gm2gF FN NFsFsFTFTa如何求绳子拉力和物体如何求绳子拉力和物体A与斜面间的摩擦力？与斜面间的摩擦力？ 思索思索思索思索题题m2a=FT Fs mgsin0= FN m2g cosOM0PArAs 假假设设将将重重 W2 W2 的的物物体体 A A 改改动动成成半半径径为为rArA的的匀匀质质滚

23、滚子子，试试求求滚滚子子A A 沿沿斜面上升间隔斜面上升间隔 s s 时物体时物体 A A的速度和加速度。的速度和加速度。 思索思索思索思索题题OM0Am1m1g gFOxFOxFOFOy ym2gm2gF FN NFsFsPvAaA动能能: :力的功力的功: :AAm2gm2gF FN NFsFsPOM0m1m1g gFOxFOxFOFOy yvAsBOM0PArAs 假假设设将将重重 W2 W2 的的物物体体 A A 改改动动成成半半径径为为rArA的的匀匀质质滚滚子子，且且绳绳子子缠缠绕绕在在滚子上，试求滚子滚子上，试求滚子A A 沿斜面上升间隔沿斜面上升间隔 s s 时物体时物体 A

24、A的速度和加速度。的速度和加速度。 思索思索思索思索题题动能能: :力的功力的功: : 例题 13-5 系统在铅直平面内由两根一样的匀质细直杆构成， A，B为铰链，D为小滚轮，且AD程度。每根杆的质量为 m，长度为 l，当仰角1=60 时，系统由静止释放。求当仰角减到2=30 时，杆AB的角速度，摩擦和小滚轮的质量都不计。ABDFEmgmgmgmg11(a)系系统开开场是是处于静止，初于静止，初动能能 T1=0。 取取整整个个系系统统为为研研讨讨对对象象，其其中中杆杆AB作作定定轴轴转转动动，而杆而杆BD 做平面运动。做平面运动。 思索系思索系统由静止开由静止开场运运动到到2=30 这个个过程

25、。程。解解:而末而末动能等于能等于 由于由于PB= BD = AB，代入上式，得，代入上式，得AB = BDABAB = PBBD 由由图 (b) 知，杆知，杆BD的速度瞬心在的速度瞬心在P 点，点，BADFEvBvD22BDAB(b)6060PmgmgmgmgFAxFAxFAyFAyF DF D分析点分析点B的速度有的速度有而而将以上将以上结果代入上式，得果代入上式，得vE = PE BDAB = BD杆杆BD质心心E的速度的速度= PE AB= PB sin (22 ) AB = l sin 60 ABBADFEvBvD22226060BDAB(b)PvEmgmgmgmgFAxFAxFAy

26、FAyF DF D从而得杆从而得杆AB在在2=30 时的角速度的角速度 ( 顺钟向 ) 在运动过程中，只需杆的重力mg做功，所以作用在系统中的力在运动过程中的总功为由由T2 T1=W 得得 BADFEvBvD22226060BDAB(b)PvEmgmgmgmgFAxFAxFAyFAyF DF D如何求当仰角减到如何求当仰角减到 2=30 时，杆，杆AB的角加速度的角加速度？ 思索思索思索思索题题BADFEmgmgmgmgFAxFAxFAyFAyF DF DvBvD90BDAB(b)PvEPB= AB = BD,AB = BDABAB = PBBDvE = PE BD= PE AB由余弦定理由余

27、弦定理 可知可知由于由于那么那么有有如何求当仰角减到如何求当仰角减到 2=30 时，杆，杆AB的角加速度的角加速度？ 思索思索思索思索题题BADFEmgmgmgmgFAxFAxFAyFAyF DF DvBvD90BDAB(b)PvE由由T2 T1=W 得得 上式两边求导上式两边求导 ，留意，留意 即可得杆即可得杆AB的角加速度。的角加速度。ABDFEmgmgmgmg11(a)BAFEmgmgmgmg22(b) 思索思索思索思索题题 假假设在在FE之之间衔接接一一根根刚度度系系数数为k的的程程度度弹簧簧，当当仰仰角角1=60 时为弹簧簧原原长。求求当当仰仰角角减减到到2=30 时，杆杆AB的角速

28、度。的角速度。 例例题题13-6 设设质质量量为为m ，半半径径为为r的的园园柱柱体体在在一一个个半半径径为为R的的大大园园槽槽内内作作无无滑滑动动的的滚滚动动，如如下下图图。如如不不计计滚滚动动摩摩阻阻，求园柱体围绕其平衡位置作微小摆动的周期。求园柱体围绕其平衡位置作微小摆动的周期。 ORACrE 其中其中 。至于角速度。至于角速度可以可以这样确定：利用无滑确定：利用无滑动的条件，接触点的条件，接触点A为瞬瞬时速度中心，因此可得到速度中心，因此可得到 ，或，或者者 。系系统的的动能能解：将将这些关系代入上式，就有些关系代入上式，就有ORACrmgmgFfFfFNFNE将将转动惯量用回量用回转

29、半径表示，半径表示，上式可化上式可化为ORACdrmgmgF Ff fFNFNEsds由由得得ORACdrmgmgF Ff fFNFNEsds那么微小那么微小摆动的周期的周期为在在微微小小摆摆动动情情况况下下，可可近近似似地地取取 。上上式式可简化为可简化为其中其中 如如以以平平衡衡位位置置为重重力力势能能的的零零点点，那么在任一位置系那么在任一位置系统的的势能能为O ORACrmgmgF FFNFNE运用机械能守恒定律求解运用机械能守恒定律求解运用机械能守恒定律求解运用机械能守恒定律求解根据机械能守恒定律得根据机械能守恒定律得 此式给出了系统的速度此式给出了系统的速度 随位置随位置 的变化规

30、的变化规律。律。 为了得到运了得到运动微分方程，可将式微分方程，可将式a对时间求求导数得数得那么微小那么微小摆动的周期的周期为在在微微小小摆摆动动情情况况下下，可可近近似似地地取取 。式式b可简化为可简化为abO ORACrmgmgF FFNFNE定常流动中的能量方程动能定理在流体中的运用定常流动中的能量方程动能定理在流体中的运用在定常流动流体中任取一段流体，截面分别为1、2，截面面积分别为A1、A2，流体密度：rt： 1-2位置 t+t：1-2位置流入：速度v1，压强p1流出：速度v2，压强p2理想流体，内摩擦力为零，在t内作用于流体的压力所作的功：流体不可紧缩重力功：重力功：根据根据动能定

31、理能定理稳定流体的伯努力方程：在定常流定流体的伯努力方程：在定常流动稳定流体中，沿同一流定流体中，沿同一流线的的单位位体体积流体的流体的动能、重力能、重力势能与能与该处的的压强之和之和为常量。常量。桶壁有小孔，水从小孔流出的速度？桶壁有小孔，水从小孔流出的速度？设液面高度为设液面高度为h，调查离水面为，调查离水面为x深度处的小孔水流，初速度为深度处的小孔水流，初速度为 ，视为平抛运动，程度射程，视为平抛运动，程度射程 如下图，盛满液体的水池侧壁上开有不同高度的小孔，试证明从一半液体高度的小孔里流出的水射程最远。13-4 权利场势能机械能守恒定理 权权利利场场与与势势能能 几种常几种常见权见权利

32、利场场的的势势能能 势势能函数能函数 等等势势面与零面与零势势面面 机械能守恒定理13-4 权利场.势能.机械能守恒定理一、权利场与势能1.1.力力场 一一物物体体在在某某空空间内内都都遭遭到到一一个个大大小小和和方方向向完完全全由所在位置确定的力作用，由所在位置确定的力作用，这部分空部分空间称称为力力场。2.2.有有权利利力力的的功功只只决决议于于作作用用点点的的始始末末位位置置，而而与与运运动途径无关的力途径无关的力统称称为有有权利利( (或保守力或保守力) )。3.3.权利利场( (或保守力或保守力场) ) 有有权利构成的力利构成的力场称称为权利利场。4.4.势能能 为了了描描画画权利利

33、场对物物体体作作功功的的才才干干，引引入入势能能的概念，用的概念，用V V 表示。表示。 在权利场中任选一点A0 ，作为势能零点，那么在场中另一点A处的势能就等于由点A运动到势能零点A0的过程中,有权利所做的功W(A A0)。 即有5.5.势能的能的计算算V = W(AA0) 1. 重力重力场中的中的势能能 取取 A2点点为势能能零零点点，那那么么在在重力重力场 A 处的的势能能为OA1(x1,y1,z1)AGxyzA2(x2,y2,z2)二、几种常见权利场的势能 2. 弹性力场中的势能 设弹簧在 A 和A2 位置的变形分别为 和2 ，取 A2点为势能零点，那么在弹力场 A 处的势能为OA1d

34、rA2r1rr2FA 在在普普通通情情况况下下，质点点的的势能能可可以以表表示示成成质点点位位置置坐坐标x，y，z的的单值延延续函数，即函数，即V = V (x , y , z)它称它称为势能函数。能函数。的的各各点点确确定定的的每每个个曲曲面面称称为等等势面面；由由全全部部势能能零零点点构构成成的的等等势面称面称为零零势面。面。V (x , y , z) = 常量权利利场中，中，满足条件足条件四、等四、等势面与零面与零势面面三、势能函数三、势能函数T2+V2 = T1+V1 = 常量常量 如如质质点点系系只只在在有有权权利利作作用用下下运运动动, ,那那么么其其动动能能与与势势能能之之和和坚

35、坚持持不不变变。动动能能与与势势能能之之和和称称为为机机械械( (总总) )能能。或或表表达达为为: :当当作作功功的的力力都都是是有有权权利利时时, ,质质点点系系的的机机械械( (总总) )能能坚持不变。这一结论称为机械能守恒定理。坚持不变。这一结论称为机械能守恒定理。五、机械能守恒定理 例例题题 13-7 13-7 如如下下图图质质量量为为 m1m1的的物物块块A A悬悬挂挂于于不不可可伸伸长长的的绳绳子子上上，绳绳子子跨跨过过滑滑轮轮与与铅铅直直弹弹簧簧相相连连，弹弹簧簧刚刚度度系系数数为为 k k。设设滑滑轮轮的的质质量量为为 m2 m2 ，并并可可看看成成半半径径是是 r r 的的

36、匀匀质质圆圆盘盘。如如今今从从平平衡衡位位置置给给物物块块 A A 以以向向下下的的初初速速度度 v0v0，试试求求物物块块 A A由由这这位位置置下下降降的的最最大大间间隔隔s s。弹弹簧簧和和绳绳子子的的质质量量不不计计。s sk kA Av0v2= 0O O解: 取取整整个个系系统作作为研研讨对象象.系系统运运动过程程中中做做功功的的力力为有有权利利(重重力和力和弹性力性力),故可用机械能守恒定理求解。故可用机械能守恒定理求解。 取取物物块 A的的平平衡衡位位置置作作为初初位位置置，弹簧簧的的初初变形形1=s= m1g /k，物物块 A有有初初速速度度 v1 = v0，故系故系统初初动能

37、能 以物块 A 的最大下降点作为末位置，那么弹簧的末变形2=s+ s；系统的末动能 T2 = 0。s sk kA Av0v2= 0O O 取取平平衡衡位位置置为势能能零零点点，于于是是，系系统的的初初势能能 V1 = 0 ，运用机械能守恒定理的式运用机械能守恒定理的式 T2+V2 = T1+V1 = 常量常量 ，有有 以物块 A 的最大下降点作为末位置，那么弹簧的末变形2=s+ s；系统的末动能 T2 = 0。 而末而末势能能 留意到在平衡位置有留意到在平衡位置有所以所以s sk kA Av0v2= 0O O从而求得物从而求得物块 A的最大下降的最大下降间隔隔运用机械能守恒定理的式运用机械能守

38、恒定理的式 T2+V2 = T1+V1 = 常量常量 ，有有能否能能否能选物体下降的最低位置或物体下降的最低位置或弹簧簧原原长位置位置为势能零点？能零点？重力重力势能零点和能零点和弹性性势能零点能否能能零点能否能选不同位置？不同位置？运算运算结果能否有区果能否有区别？s sk kA Av0v2= 0O O选物体下降的最低位置物体下降的最低位置为势能零点。能零点。s sk kA Av0v2= 0O O 讨论T2 = 0V2 = 0运用机械能守恒定理的式运用机械能守恒定理的式 T2+V2 = T1+V1 = 常量常量 ，有有选物体平衡位置物体平衡位置O1为重力重力势能能零点，零点，弹簧原簧原长位置位置O2为势能零能零点。点。s sk kA Av0v2= 0O O 讨论T2 = 0O2O1运用机械能守恒定理的式运用机械能守恒定理的式 T2+V2 = T1+V1 = 常量常量 ，有，有即即求物体求物体A运运动微分微分方程。方程。x xk kO Ov0O O 讨论求求导得得取平衡位置取平衡位置为势能零点，于是能零点，于是运用机械能守恒定理的式运用机械能守恒定理的式 T+V= 常量常量 ，有，有