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1、九年级数学(上)第三章 证明(三)2.特殊的平行四边形(1)矩形的性质及判定阳泉市义井中学阳泉市义井中学 高铁牛高铁牛驶向胜利的彼岸学好几何标志是会“证明”w证明命题的一般步骤:w(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);w(2)根据题意,画出图形;w(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;w(4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索“因”);w(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;w(6)检查表达过程是否正确,完善. 回顾与思考回顾与思考1 1驶向胜利的彼岸四边形之间的关系四边形之间的关系w四边形之间有何关系？特殊的平行四边形之间
2、呢？还记得它们与平行四边形的关系吗?w能用一张图来表示它们之间的关系吗?四边形平行四边形矩形菱形正方形两组对边分别平行有一个角是直角有一组邻边相等有一个角是直角有一组邻边相等一组对边平行另一组对边不平行梯形两腰相等等腰梯形腰与底垂直直角梯形 回顾与思考回顾与思考2 2驶向胜利的彼岸平行四边形的性质与判定 回顾与思考回顾与思考3 3性质判定边角对角线推论平行四边形的两组对边分别平行两组对边分别相等平行四边形的对角相等邻角互补平行四边形的对角线互相平分夹在两条平行线间的平行线段相等两组对边分别平行的四边形两组对边分别相等的四边形一组对边平行且相等的四边形两组对角分别相等的四边形对角线互相平分四边形
3、BDCAOBDCAMNPQ驶向胜利的彼岸等腰梯形的性质与判定 回顾与思考回顾与思考4 4性质判定边角对角线两底平行,两腰相等等腰梯形同一底上的两个角相等等腰梯形的两条对角线相等两腰相等的梯形是等腰梯形同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形两条对角线相等的梯形是等腰梯形BDCABDCA三角形中位线的性质三角形中位线的性质驶向胜利的彼岸w定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.w这个定理提供了证明线段平行,和线段成倍分关系的根据.wDE是ABC的中位,DEBCADEBC, 回顾与思考回顾与思考5 5三角形中位线的性质三角形中位线的性质驶向胜利的彼岸w模型:连接任意四边形各边中点所成的四
4、边形是平行四边形.w这个定理提供了证明线段平行,和线段成倍分关系的根据.w要重视这个模型的证明过程反映出来的规律:对角线的关系是关键.改变四边形的形状后,对角线具有的关系(对角线相等,对角线垂直,对角线相等且垂直)决定了各中点所成四边形的形状.ABCHDEFG 回顾与思考回顾与思考6 6矩形的性质矩形的性质w定理:矩形的四个角都是直角.驶向胜利的彼岸试一试试一试P861 1已知:如图,四边形ABCD是矩形.w分析:由矩形的定义,利用对角相等,邻角互补可使问题得证.证明: 四边形ABCD是矩形,A=900,四边形ABCD是平行四边形.C=A=900,B=1800-A=900, D=1800-A=
5、900.求证:A=B=C=D=900.四边形ABCD是矩形.DBCA想一想:正方形的四个角都是直角吗?矩形的性质矩形的性质驶向胜利的彼岸w定理:矩形的两条对角线相等.已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线.求证: AC=BD.证明: 四边形ABCD是矩形,AB=DC,ABC=DCB=900.w分析:根据矩形的性质性质,可转化为全等三角形(SAS)来证明.DBCABC=CB,ABCDCB(SAS).AC=DB.试一试试一试P862 2直角三角形的性质直角三角形的性质驶向胜利的彼岸w议一议:设矩形的对角线AC与BD交于点E,那么,BE是RtABC中一条怎样的特殊线段? w它与AC有什么大
6、小关系?为什么?DBCAEw由此可得推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.wBE是RtABC中斜边AC上的中线. wBE等于AC的一半. AC=BD,BE=DE,议一议议一议P863 3矩形性质的应用矩形性质的应用驶向胜利的彼岸 例题欣赏例题欣赏P864 4w已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线,AC,BD相交于点O,AOD=1200,AB=2.5cm.求矩形对角线的长.解: 四边形ABCD是矩形,BD=2AB=22.5=5(cm).AC=BD,且DAB=900,DBCAOAOD=1200,ODA=OAD=你认为例1还可以怎么去解？矩形矩形-?-正方形正方形w1.正方形的四个
7、角都是直角吗?驶向胜利的彼岸已知:如图,在四边形ABCD中, A=B=C=900.w分析:利用同旁内角互补,两直线平行来证明四边形是平行四边形,可使问题得证.证明: A=B=C=900,A+B=18000,B+C=1800. ADBC,ABCD.求证:四边形ABCD是矩形.四边形ABCD是平行四边形.四边形ABCD是矩形.随堂练习随堂练习P884 4DBCA矩形的判定矩形的判定w2.定理:有三个角是直角的四边形是矩形.驶向胜利的彼岸已知:如图,在四边形ABCD中, A=B=C=900.w分析:利用同旁内角互补,两直线平行来证明四边形是平行四边形,可使问题得证.证明: A=B=C=900,A+B
8、=18000,B+C=1800. ADBC,ABCD.求证:四边形ABCD是矩形.四边形ABCD是平行四边形.DBCA四边形ABCD是矩形.随堂练习随堂练习P885 5矩形的判定矩形的判定(习题习题3.3)w1.定理:对角线相等的平行四边形是矩形.驶向胜利的彼岸已知:如图,在ABCD中,对角线AC=BD.求证:四边形ABCD是矩形.DBCAw分析:要证明ABCD是矩形,只要证明有一个角是直角即可.w证明:AB=CD,ABCD.AC=DB,BC=CB, ABCDCB.ABC=DCB.四边形ABCD是平行四边形.ABC+DCB=1800.ABC=900.四边形ABCD是矩形.做一做做一做P886
9、6直角三角形的判定直角三角形的判定(习题习题3.3)驶向胜利的彼岸w2.定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.w求证:ABC是直角三角形已知:CD是ABC边AB上的中线,且EABCDw分析:要证明ABC是直角三角形,可以点A,B,C构造平行四边形,然后证明其对角线相等,即可证明是矩形.w证明:延长CD到E,使DE=DC,连接AE,BE.四边形ACBE是平行四边形.AB=2CD,CE=2CD, AB=CE.四边形ACBE是矩形. AD=BD,CD=ED,ACB=900.ABC是直角三角形.做一做做一做P887 7矩形的性质矩形的性质,推论推论(三种语言三种语
10、言)驶向胜利的彼岸w定理:矩形的四个角都是直角.w定理:矩形的两条对角线相等.推论(直角三角形性质):直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.回顾 思考w四边形ABCD是矩形,A=B=C=D=900.DBCADBCAwAC,BD是矩形ABCD的两条对角线.AC=BD.在ABC中,ACB=900,AD=BD,ABCD矩形的判定矩形的判定,直角三角形的判定直角三角形的判定(三种语言三种语言)驶向胜利的彼岸w定理:有三个角是直角的四边形是矩形.w定理:对角线相等的平行四边形是矩形.w定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.回顾 思考wA=B=C=900,四边形ABC
11、D是矩形.DBCADBCAwAC,BD是ABCD的两条对角线,且AC=DB.四边形ABCD是矩形.ABCDACB=900.在ABC中,AD=BD=CD,知识的升华独立独立作业作业P88习题3.4 1,2,3题.祝你成功！驶向胜利的彼岸P88习题3.4 3题.独立独立作业作业3.已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,P是CD上的一点,且AP和BP分别分别平分DAB和CBA,QPAD,交AB于点Q.(1).求证:APPB;(2).如果AD=5cm,AP=8cm,那么AB的长是多少? APB的面积是多少?ABCDPQ驶向胜利的彼岸结束寄语严格性之于数学家,犹如道德之于人.条理清晰，因果相应,言必有据.是初学证明者谨记和遵循的原则.下课了! 驶向胜利的彼岸
