二阶系统的阶跃响应

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1、第三节 二阶系统的阶跃响应3.3 二阶系统的阶跃响应1一、典型二阶系统的数学模型 由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。它在控制工程中的应用极为广泛。许多高阶系统在一定的条件下，也可简化为二阶系统来研究。开环传递函数为:闭环传递函数为:- 称为典型二阶系统的传递函数， 称为阻尼系数， 称为无阻尼振荡频率或自然频率。这两个参数称为二阶系统特征参数。典型结构的二阶系统如图所示。3.3 二阶系统的阶跃响应2特征根为：注意：当 不同时，特征根有不同的形式，系统的阶跃响应形式也不同。它的阶跃响应主要有振荡和非振荡两种情况。特征方程为： 当 时，特征方程有一对共轭的虚根，称为零(无)阻尼系统，系统的阶跃响

2、应为持续的等幅振荡。 当 时，特征方程有一对实部为负的共轭复根，称为欠阻尼系统，系统的阶跃响应为衰减的振荡过程。 当 时，特征方程有一对相等的实根，称为临界阻尼系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。 当 时，特征方程有一对不等的实根，称为过阻尼系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。3.3 二阶系统的阶跃响应3当输入为单位阶跃函数时， ，有： 当 时，极点为： 此时输出将以频率 做等幅振荡，所以, 称为无阻尼振荡频率。二、典型二阶系统的阶跃响应 3.3 二阶系统的阶跃响应4输入阶跃信号和阶跃响应之间的误差 ： 误差曲线呈现等幅振荡形式。即系统在无阻尼情况下，不能跟踪输入的单位阶跃信号。 3.3 二阶系统

3、的阶跃响应5 当 时，系统极点为： 称为阻尼振荡频率。 3.3 二阶系统的阶跃响应63.3 二阶系统的阶跃响应73.3 二阶系统的阶跃响应两阶系统的瞬态响应两阶系统的瞬态响应系统极点为：极点的负实部 决定了指数衰减的快慢，虚部是振荡频率。称 为阻尼振荡圆频率。注意： 。8输入阶跃信号和阶跃响应之间的误差 ： 误差也呈阻尼正弦振荡。当稳态时，即当时 ，有 ，表示欠阻尼二阶系统能够完全跟踪输入单位阶跃信号，没有稳态误差。 3.3 二阶系统的阶跃响应93.3 二阶系统的阶跃响应阶跃响应函数为：当 时，极点为：两阶系统的瞬态响应两阶系统的瞬态响应10输入阶跃信号和阶跃响应之间的误差 ： 随着时间的增加

4、，误差越来越小，到稳态时误差变为零。通常，在临界阻尼情况下，二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应。 3.3.2 典型二阶系统的单位阶跃响应3.3 二阶系统的阶跃响应113.3 二阶系统的阶跃响应两阶系统的瞬态响应两阶系统的瞬态响应当 时，极点为：即特征方程为特征方程还可为123.3 二阶系统的阶跃响应因此过阻尼二阶系统可以看作两个时间常数不同的惯性环节的串联，其单位阶跃响应为于是闭环传函为：这里 ，式中两阶系统的瞬态响应两阶系统的瞬态响应133.3 二阶系统的阶跃响应两阶系统的瞬态响应两阶系统的瞬态响应14n当阻尼系数 z远大于1，即 p1-p2时，在两个衰减的指数项中，后者衰减的速度远远快

5、于前者，即此时二阶系统的瞬态响应主要由前者来决定，或者说主要由极点p1决定，因而过阻尼二阶系统可以由具有极点-p1的一阶系统来近似表示。 3.3 二阶系统的阶跃响应163.3 二阶系统的阶跃响应 上述四种情况分别称为二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼系统。其阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应如下表所示：单位阶跃响应极点位置特征根阻尼系数单调上升两个互异负实根单调上升一对负实重根衰减振荡一对共轭复根(左半平面）等幅周期振荡一对共轭虚根典型两阶系统的瞬态响应典型两阶系统的瞬态响应173.3 二阶系统的阶跃响应可以看出：随着 的增加，c(t)将从无衰减的周期运动变为有衰减的正弦运动，当 时c

6、(t)呈现单调上升运动(无振荡)。可见 反映实际系统的阻尼情况，故称为阻尼系数。典型两阶系统的瞬态响应典型两阶系统的瞬态响应183.3 二阶系统的阶跃响应三、典型二阶系统的性能指标及其与系统参数的关系（一）衰减振荡瞬态过程 ： 上升时间 ：根据定义，当 时， 。解得：衰减振荡瞬态过程的性能指标衰减振荡瞬态过程的性能指标193.3 二阶系统的阶跃响应 称为阻尼角，这是由于 。衰减振荡瞬态过程的性能指标衰减振荡瞬态过程的性能指标203.3 二阶系统的阶跃响应 峰值时间 ：当 时，整理得：由于 出现在第一次峰值时间，取n=1，有：其中衰减振荡瞬态过程的性能指标衰减振荡瞬态过程的性能指标213.3 二

7、阶系统的阶跃响应衰减振荡瞬态过程的性能指标衰减振荡瞬态过程的性能指标22 最大超调量 ：故：将峰值时间 代入最大超调量仅与阻尼系数有关。3.3 二阶系统的阶跃响应衰减振荡瞬态过程的性能指标衰减振荡瞬态过程的性能指标233.3 二阶系统的阶跃响应衰减振荡瞬态过程的性能指标衰减振荡瞬态过程的性能指标243.3 二阶系统的阶跃响应253.3 二阶系统的阶跃响应衰减振荡瞬态过程的性能指标衰减振荡瞬态过程的性能指标 调节时间 ：可见，写出调节时间的表达式是困难的。由右图可知响应曲线总在一对包络线之内。包络线为 根据调节时间的定义，当tts时 |c(t)-c()| c() %。263.3 二阶系统的阶跃响

8、应当t=ts时，有： 由于实际响应曲线的收敛速度比包络线的收敛速度要快，因此可用包络线代替实际响应来估算调节时间。即认为响应曲线的包络线进入误差带时，调整过程结束。当z 较小时，近似取 ，且所以衰减振荡瞬态过程的性能指标衰减振荡瞬态过程的性能指标273.3 二阶系统的阶跃响应衰减振荡瞬态过程的性能指标衰减振荡瞬态过程的性能指标283.3 二阶系统的阶跃响应衰减振荡瞬态过程的性能指标衰减振荡瞬态过程的性能指标293.3 二阶系统的阶跃响应衰减振荡瞬态过程的性能指标衰减振荡瞬态过程的性能指标303.3 二阶系统的阶跃响应 振荡次数N：由此可见振荡次数N仅与阻尼系数z 有关。衰减振荡瞬态过程的性能指

9、标衰减振荡瞬态过程的性能指标31 通常希望系统的输出响应既有充分的快速性，又有足够的阻尼。因此，为了获得满意的二阶系统瞬态响应特性，阻尼系数应选择在0.4和0.8之间。 3.3 二阶系统的阶跃响应32 工程上常取阻尼系数 作为系统设计的依据，该阻尼系数称为最佳阻尼系数。在这种情况下，典型二阶系统的超调量为： 上升时间tr为：峰值时间tp为：调整时间ts为：3.3 二阶系统的阶跃响应33 当阻尼系数z一定时，无阻尼振荡频率wn越大，上升时间、峰值时间和调整时间越短，响应速度越快。 3.3 二阶系统的阶跃响应34q阻尼系数z是二阶系统的一个重要参数，用它可以间接地判断一个二阶系统的瞬态品质。在z

10、1的情况下瞬态特性为单调变化曲线，无超调和振荡，但ts长。当z 0时，输出量作等幅振荡或发散振荡，系统不能稳定工作。总结q在欠阻尼 情况下工作时，若 过小，则超调量大，振荡次数多，调节时间长，瞬态控制品质差。注意到 只与 有关，所以一般根据 来选择 。 q 越大， （当 一定时）q为了限制超调量，并使 较小， 一般取0.40.8，则超调量在25%1.5%之间。3.3 二阶系统的阶跃响应35这是一个单调上升的过程。用调整时间ts就可以描述瞬态过程的性能。利用牛顿迭代公式求出ts。（二）非振荡瞬态过程： 对于 ，极点为：牛顿迭代公式：对 f (x)=0，其根可迭代求出-3.3 二阶系统的瞬态响应非

11、振荡瞬态过程的性能指标36当 时，极点为：若令3.3 二阶系统的瞬态响应非振荡瞬态过程的性能指标37在c(t)中，有两个衰减指数项，所以是一个单调上升的过程。用调整时间 就可以描述瞬态过程的性能。当 时利用牛顿迭代公式可得当 时，这时可用一阶系统来近似式中此时调节时间由较大的时间常数决定。3.3 二阶系统的瞬态响应非振荡瞬态过程的性能指标383.3 二阶系统的瞬态响应非振荡瞬态过程的性能指标39 此时，极点s2远离虚轴，且c(t)中包含极点s2的指数项的系数绝对值大，所以由极点s2引起的指数项衰减的很快。 这时出现的问题是c(0)0。当 时，极点为： ， 同时，c(t)中包含极点s2的衰减项的

12、系数小，所以由极点s2引起的指数项在解中所占比重小。 因此可以考虑在瞬态过程中忽略s2的影响，把二阶系统近似为一阶系统。3.3 二阶系统的瞬态响应非振荡瞬态过程的性能指标40 需要说明的是，在所有非振荡过程中，临界阻尼系统的调节时间最小。通常，都希望控制系统有较快的时间响应，即希望系统的阻尼系数在0.7左右。而不希望处于过阻尼情况(调节时间过长)。但对于一些特殊的不希望出现超调系统(如液位控制)和大惯性系统(如加热装置，舰船靠岸)，则可采用z 1的过阻尼系统。 这时，闭环传函应写成时间常数形式，通过略去小时间常数来降阶，而不能简单地略去大极点来降阶。 这样才能既保证降阶的系统的初值和终值都与原

13、系统一样。3.3 二阶系统的瞬态响应非振荡瞬态过程的性能指标41典型二阶系统响应特性的小结极点位置与阶跃响应形式的关系单位阶跃响应极点位置特征根阻尼系数单调上升两个互异负实根单调上升一对负实重根衰减振荡一对共轭复根(左半平面）等幅周期振荡一对共轭虚根3.3 二阶系统的瞬态响应典型二阶系统响应特性的小结423.3 二阶系统的瞬态响应z=0z=0.3z=1z=2z=00z1z=1z=2-1z0z=0.05z=-1典型二阶系统响应特性的小结极点位置与阶跃响应形式的关系典型二阶系统响应特性的小结z=143 阻尼系数、阻尼角与最大超调量的关系z b=cos-1 zd %z b=cos-1 zd %0.1

14、84.2672.90.6946.3750.278.4652.70.745.574.60.372.5437.230.707454.30.466.4225.380.7838.7420.56016.30.836.871.50.653.139.840.925.840.15极点位置与特征参数z、wn及性能指标的关系3.3 二阶系统的瞬态响应44wn是极点到原点的直线距离，距离越大振荡频率越高。3.3 二阶系统的瞬态响应45 极点距虚轴的距离与系统的调节时间成反比(0z0.8)对于临界阻尼和过阻尼时，此规律也存在。-1-2-3-40ts=4ts=2ts=1式中3.3 二阶系统的瞬态响应46例：求如下随动系

15、统的特征参数 ,分析与性能指标的关系。+n-电压放大器+ -+-功放C-K1K2R电动机传递函数为电压放大器和功放的传递函数分别为K1和K2，可得方框图3.3 二阶系统的瞬态响应瞬态过程的性能指标例子瞬态过程的性能指标例子47闭环传递函数为：T不变，K下面分析瞬态性能指标和系统参数之间的关系(假设 ): N。z d%wnwdzwn=1/2T不变，ts几乎不变总之，K增大振荡加剧；K不变，T N。z d%wnwdzwn=1/2T ts实际系统中T往往不能变，要使系统性能好，则K，这对控制精度不利。3.3 二阶系统的瞬态响应瞬态过程的性能指标例子瞬态过程的性能指标例子48磁盘驱动读取系统例:1.1

16、.假定簧片是完全刚性的,则有:3.3 二阶系统的瞬态响应493.3 二阶系统的瞬态响应50四、改善二阶系统响应特性的措施+n-电压放大器+ -+-功放3.3 二阶系统的瞬态响应改善二阶系统响应特性的措施改善二阶系统响应特性的措施513.3 二阶系统的瞬态响应二阶系统超调产生过程1.0,t1误差信号为正，产生正向修正作用，以使误差减小，但因系统阻尼系数小，正向速度大，造成响应出现正向超调。2.t1,t2误差信号为负，产生反向修正作用，但开始反向修正作用不够大，经过一段时间才使正向速度为零，此时输出达到最大值。3.t2,t3误差信号为负，此时反向修正作用大，使输出返回过程中又穿过稳态值，出现反向超

17、调。改善二阶系统响应特性的措施改善二阶系统响应特性的措施52二阶系统超调产生原因1.0,t1 正向修正作用太大，特别在靠近t1 点时。2.t1,t2 反向修正作用不足。减小二阶系统超调的思路1.0,t1 减小正向修正作用。附加与原误差信号相反的信号。2.t1,t2 加大反向修正作用。附加与原误差信号同向的信号。 3.t2,t3减小反向修正作用。附加与原误差信号相反的信号。4.t3,t4 加大正向修正作用。附加与原误差信号同向的信号。 即在0,t2 内附加一个负信号，在t2,t4内附加一个正信号。 减去输出的微分或加上误差的微分都具有这种效果。3.3 二阶系统的瞬态响应改善二阶系统响应特性的措施

18、改善二阶系统响应特性的措施53a. 输出量的速度反馈控制-+-b. 误差的比例+微分控制将输出量的速度信号c(t)采用负反馈形式反馈到输入端并与误差信号e(t)比较，构成一个内反馈回路。简称速度反馈。以误差信号e(t)与误差信号的微分信号e(t)的和产生控制作用。简称PD控制。又称微分顺馈为了改善系统性能而改变系统的结构、参数或附加具有一定功能的环节的方法称为对系统进行校正。附加环节称为校正环节。速度反馈和微分顺馈是较常用的校正方法。3.3 二阶系统的瞬态响应改善二阶系统响应特性的措施改善二阶系统响应特性的措施54a. 输出量的速度反馈控制-与典型二阶系统的标准形式 比较 不改变无阻尼振荡频率

19、 等效阻尼系数为由于 ，即等效阻尼系数加大，将使超调量%和调节时间ts变小。3.3 二阶系统的瞬态响应改善二阶系统响应特性的措施改善二阶系统响应特性的措施55+-b. 误差的比例+微分控制-与典型二阶系统的标准形式比较 不改变无阻尼振荡频率 等效阻尼系数为 由于 ，即等效阻尼系数加大，将使超调量%和调节时间ts变小。 闭环传递函数有零点 ，将会给系统带来影响。3.3 二阶系统的瞬态响应改善二阶系统响应特性的措施改善二阶系统响应特性的措施56五、具有零点的二阶系统分析具有零点的二阶系统比典型的二阶系统多一个零点，( 和 不变)。其闭环传递函数为： ，零点为：具有零点的二阶系统 的单位阶跃响应为：

20、零极点分布图3.3 二阶系统的瞬态响应具有零点的二阶系统具有零点的二阶系统57由上图可看出： 使得 比 响应迅速且有较大超调量。3.3 二阶系统的瞬态响应具有零点的二阶系统分析具有零点的二阶系统分析58设 为零点和极点实部之比3.3 二阶系统的瞬态响应具有零点的二阶系统分析具有零点的二阶系统分析59具有零点的二阶系统阶跃响应为：具有零点的二阶系统阶跃响应为：式中： ， 零极点分布图3.3 二阶系统的瞬态响应具有零点的二阶系统分析具有零点的二阶系统分析60根据上式可以得出主要性能指标如下：式中： ， ，零极点分布图3.3 二阶系统的瞬态响应具有零点的二阶系统分析具有零点的二阶系统分析61+-比例

21、+微分控制的性能 显然，这是一个典型二阶环节加微分顺馈。不同的是其原二阶环节的阻尼系数增加了，变为 ，而无阻尼振荡频率不变。我们知道，当阻尼系数不变时，附加零点会使系统的超调量增大。但是，增加了顺馈环节虽然增加了一个零点，却使系统的阻尼系数增加了。一般来讲，超调量会下降。这样，就能改善系统的瞬态性能。这点可从前面所介绍的公式算出，也可由p75图3-21看出。 3.3 二阶系统的瞬态响应比例比例+微分控制的性能微分控制的性能62比例微分控制与测速反馈控制的比较比例微分控制与测速反馈控制的比较附加阻尼来源：比例微分控制的阻尼作用产生于系统的输入端误差信号的速度，而测速反馈控制的阻尼作用产生于系统的

22、输出端响应的速度，因此对于给定的开环增益和指令输入速度，后者对应较大的的稳态误差。使用环境：比例微分控制对噪声有明显的放大作用，当系统输入端噪声严重时，一般不宜选用比例微分控制。同时微分器的输入信号为系统的误差信号，其能量水平低，需要相当大的放大作用，为了不明显恶化信噪比，要求选用高质量的放大器；而测速反馈控制对系统输入端噪声有滤波作用，同时测速发电机的输入信号能量水平较高，因此对系统组成元件没有过高的质量要求，使用场合比较广泛。3.3 二阶系统的瞬态响应64比例微分控制与测速反馈控制的比较比例微分控制与测速反馈控制的比较对开环增益和自然频率的影响：比例微分控制对系统的开环增益和自然频率均无影

23、响；测速反馈控制虽不影响自然频率，但却会降低开环增益。因此，对于确定的常值稳态误差，测速反馈控制要求有较大的开环增益。开环增益的加大，必然导致系统自然频率增大，在系统存在高频噪声时，可能引起系统共振。对动态系统的影响：比例微分控制相当于在系统中加入实零点，可以加快上升时间。在相同阻尼比的条件下，比例微分控制系统的超调量会大于测速反馈控制系统的超调量。3.3 二阶系统的瞬态响应65解：当T不变时，T=0.25，例3-1：如图所示系统， 试求： 和 ; 和 若要求 时，当T不变时K=?3.3 二阶系统的瞬态响应瞬态过程的性能指标例瞬态过程的性能指标例3-166解：系统的闭环传递函数为：例3-2：上

24、例中，用速度反馈改善系统的性能。如下图所示。为使 ，求 的值。并计算加入速度反馈后的瞬态指标。 -3.3 二阶系统的瞬态响应瞬态过程的性能指标例瞬态过程的性能指标例3-267这时的瞬态性能指标为：显然，加入了速度反馈后， 不变，而 增加了 倍。上例中 ，若要求 ，则：3.3 二阶系统的瞬态响应瞬态过程的性能指标例瞬态过程的性能指标例3-268解：例3-3对典型的二阶系统（ ）采用微分顺馈校正。为使 ，试确定顺馈系数 和 。3.3 二阶系统的瞬态响应具有零点的二阶系统性能指标与实例69与未加微分顺馈时比较： 显然，加了微分顺馈后，瞬态品质提高了。3.3 二阶系统的瞬态响应具有零点的二阶系统性能指

25、标与实例70磁盘驱动读取系统2.2.考虑摩擦力,但仍是刚性连接时的情况:3.3 二阶系统的瞬态响应713.3 二阶系统的瞬态响应723.3 二阶系统的瞬态响应无速度反馈时，即加入速度反馈，当733.3 二阶系统的瞬态响应74五、扰动作用下典型二阶系统的分析例子：-设 ，得输出对扰动的闭环传递函数为：单位阶跃响应为（ ）：显然，这是一个带有零点的二阶系统。3.3 二阶系统的瞬态响应扰动作用下典型二阶系统分析75将 代入c(t)中得：式中：3.3 二阶系统的瞬态响应扰动作用下典型二阶系统分析单位阶跃响应曲线如右：76扰动作用下的瞬态性能指标与随动系统略有不同：（1）最大偏离 ：瞬态过程中出现的 c

26、(t)的最大值。（2）调节时间（恢复时间） ：表示c(t)达到最大偏离的5%，且以后不再超出此值的时间。稳态值： ，最大偏离值：式中：3.3 二阶系统的瞬态响应扰动作用下典型二阶系统分析77小 结q二阶系统的动态性能指标基于以下两个条件：第一，性能指标是根据系统对单位阶跃输入的响应给出的；第二，初始条件为零。 q典型二阶系统的瞬态响应二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼系统的阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应。q典型二阶系统的性能指标主要是超调量和调整时间；与系统参数之间的关系；速度反馈校正。q具有零点的二阶系统单位阶跃响应的紧凑形式；性能指标；微分顺馈校正；q扰动作用下典型二阶系统性能指标3.3 二阶系统的瞬态响应78部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！