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1、一个幂级数一个幂级数一个幂级数一个幂级数3 泰勒级数在其收敛圆内在其收敛圆内在其收敛圆内在其收敛圆内反过来反过来反过来反过来, ,在一个圆内在一个圆内在一个圆内在一个圆内可以展开成可以展开成可以展开成可以展开成D D设函数设函数设函数设函数在区域在区域在区域在区域D D内内内内作正向圆周作正向圆周作正向圆周作正向圆周K:K:z z是是是是KK内任何一点内任何一点内任何一点内任何一点根据柯西积分公式根据柯西积分公式根据柯西积分公式根据柯西积分公式根据高阶积分公式根据高阶积分公式根据高阶积分公式根据高阶积分公式正向圆周正向圆周正向圆周正向圆周KK可以增大可以增大可以增大可以增大, , 但整个圆周但
2、整个圆周但整个圆周但整个圆周KK完全在完全在完全在完全在D D内内内内, , 半径半径半径半径R Rz0z0到到到到D D的边界的的边界的的边界的的边界的最短距离最短距离最短距离最短距离的和函数的和函数的和函数的和函数解析解析解析解析, ,解析的函数解析的函数解析的函数解析的函数幂级数幂级数幂级数幂级数解析解析解析解析, ,的半径的半径的半径的半径R R及其内部及其内部及其内部及其内部最好等于最好等于最好等于最好等于定理定理4.12设函数设函数在区域在区域D内内R等于等于z0到到D的边界的边界 的最短距离的最短距离,则在圆内则在圆内:能够展开成能够展开成该公式该公式在在z0的泰勒展开式的泰勒展
3、开式将函数将函数其方法有两种其方法有两种:直接法、直接法、但结果但结果的所有奇点中的所有奇点中假设假设离离z0最近最近那么那么解析解析,泰勒级数泰勒级数:称为称为展开成幂级数展开成幂级数,间接法间接法,只有一个只有一个.的奇点为的奇点为z1几个重要函数的幂级数几个重要函数的幂级数例例例例1 1将下列函数将下列函数将下列函数将下列函数z z的幂级数的幂级数的幂级数的幂级数(1)(1)并指出它们并指出它们并指出它们并指出它们(1) (1) 解解解解(2)(2)(2) (2) 解解解解展开成展开成展开成展开成的收敛半径的收敛半径的收敛半径的收敛半径重要的幂级数重要的幂级数重要的幂级数重要的幂级数两边
4、求导两边求导两边求导两边求导再求导再求导再求导再求导重要的幂级数重要的幂级数重要的幂级数重要的幂级数积分积分积分积分求导求导求导求导例例例例2 (1) 2 (1) 求函数求函数求函数求函数处的泰勒展开式处的泰勒展开式处的泰勒展开式处的泰勒展开式, ,并指出它的收敛半径并指出它的收敛半径并指出它的收敛半径并指出它的收敛半径解解解解需要用公式需要用公式需要用公式需要用公式在在在在例例例例2 (2) 2 (2) 求函数求函数求函数求函数处的泰勒展开式处的泰勒展开式处的泰勒展开式处的泰勒展开式并指出它的收敛半径并指出它的收敛半径并指出它的收敛半径并指出它的收敛半径解解解解在在在在6060页页页页设设设
5、设处解析处解析处解析处解析, ,在在在在的的 泰勒级数泰勒级数:假如假如假如假如则称则称则称则称为为的的m阶零点阶零点例例例例1 1的零点的零点？阶？阶3定理定理定理定理为为的的m阶零点阶零点处处处处在在在在的泰勒级数为的泰勒级数为的泰勒级数为的泰勒级数为其中其中其中其中例例例例2 2是其是其是其是其一阶零点一阶零点的零点的零点？阶？阶的零点的零点？阶？阶的零点的零点？阶？阶5定理定理定理定理4.154.15为为的的m阶零点阶零点其中其中其中其中处解析处解析处解析处解析, ,在在在在定义定义定义定义4.64.6例例例例3 3求下列函数求下列函数求下列函数求下列函数的零点的零点的零点的零点 及其
6、阶数及其阶数及其阶数及其阶数1 1）的零点的零点的零点的零点？阶？阶2 2）的零点的零点的零点的零点？阶？阶3 3）的零点的零点的零点的零点？阶？阶4 4）的零点的零点的零点的零点？阶？阶例例例例4 4为为为为的几阶零点的几阶零点的几阶零点的几阶零点为为为为的五阶零点的五阶零点的五阶零点的五阶零点解解解解为为为为的几阶零点的几阶零点的几阶零点的几阶零点例例例例5 572页页15.求证求证证明证明假如假如为为的的m阶零点阶零点那么那么 为为的的 (m 1)阶零点阶零点根据条件得到根据条件得到其中其中处解析处解析,在在其中其中处解析处解析,在在处解析处解析,在在因而因而为为的的 (m 1)阶零点阶
7、零点例例3 (1) 求函数求函数处的泰勒展开式处的泰勒展开式并指出它的收敛半径并指出它的收敛半径解解在在需要用公式需要用公式两边求导数得到两边求导数得到例例例例3 (2) 3 (2) 求函数求函数求函数求函数处的泰勒展开式处的泰勒展开式处的泰勒展开式处的泰勒展开式, ,并指出它的收敛半径并指出它的收敛半径并指出它的收敛半径并指出它的收敛半径解解解解在在在在例例4 (1) 求函数求函数处的泰勒展开式处的泰勒展开式, 并指出其成立的范围并指出其成立的范围在在解解例例4 (2) 求函数求函数处的泰勒展开式处的泰勒展开式, 并指出其成立的范围并指出其成立的范围在在解解例例4 (3) 求函数求函数处的泰勒展开式处的泰勒展开式并指出其成立的范围并指出其成立的范围在在解解例例4 (4) 求函数求函数处的泰勒展开式处的泰勒展开式, 并指出其成立的范围并指出其成立的范围在在解解
