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1、X17.2勾股定理的逆定理11. 直角三角形有哪些性质直角三角形有哪些性质?（1）有一个角是直角；）有一个角是直角；（2）两个锐角互余；）两个锐角互余；（3）两直角边的平方和等于斜边的平方；）两直角边的平方和等于斜边的平方；（4）在含）在含30角的直角三角形中，角的直角三角形中，30 的角所对的直角边是斜边的一半的角所对的直角边是斜边的一半2. 一个三角形，满足什么条件是直角三角形？一个三角形，满足什么条件是直角三角形？有一个内角是有一个内角是90,那么这个三角形就为直角三角形。那么这个三角形就为直角三角形。如果一个三角形中，有两个角的和是如果一个三角形中，有两个角的和是90，那么这，那么这个
2、三角形也是直角三角形。个三角形也是直角三角形。我们是否可以不用角我们是否可以不用角,而用三角形三边的关系而用三角形三边的关系来判断是否为直角三角形呢来判断是否为直角三角形呢?2古埃及人曾用下面的方法得到古埃及人曾用下面的方法得到直角直角33 32 2+4+42 2=5=52 2 古埃及人曾用下面的方法得到直角：古埃及人曾用下面的方法得到直角：用用13个等距的结个等距的结,把一根绳把一根绳子分成等长的子分成等长的12段段,然后以然后以3个结，个结，4个结，个结，5个结的长度个结的长度为边长，用木桩钉成一个三为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是角形，其中一个角便是直角直角。请同学们观察请同
3、学们观察,这个三角形的三这个三角形的三条边有什么关系吗条边有什么关系吗?3454 下面的三组数分别是一个三下面的三组数分别是一个三角形的三边长角形的三边长a，b，c：2.5，6，6.5； 6，8，10。（1）这三组数都满足）这三组数都满足吗？吗？（2）画出图形）画出图形,它们都是直角三角形吗？它们都是直角三角形吗？动手画一画动手画一画5由上面几个例子你发现了什么吗由上面几个例子你发现了什么吗? 如果三角形的三边长如果三角形的三边长a、b、c满足满足那么这个三角形是直角三角形。那么这个三角形是直角三角形。a a2 2 + b+ b2 2 = c= c2 26如果如果直角三角形的两直角边长分别为直
4、角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长，斜边长c，那么那么a2+b2=c2 命题命题1：如果三角形的三边长如果三角形的三边长a，b，c有关系有关系a2+b2=c2， 那么那么这个三角形是直角这个三角形是直角三角形三角形.命题命题2：我们看到我们看到, 这两个命题中这两个命题中, 题设题设和和结论结论正好相反，正好相反，我们把这样的两个命题叫做我们把这样的两个命题叫做互逆命题互逆命题，如果把，如果把其中一个命题叫做其中一个命题叫做原命题原命题,那么另一个叫做它的那么另一个叫做它的逆命题逆命题.7a a2 2 + b+ b2 2 = c= c2 2题设题设结论结论直角三角形直角三角形直角三角形直
5、角三角形a a2 2 + b+ b2 2 = c= c2 2题设和结论正好相反的两个命题题设和结论正好相反的两个命题, ,叫做叫做互逆互逆命题命题. .其中一个叫做其中一个叫做原命题原命题，另一个叫做原，另一个叫做原命题的命题的逆命题逆命题 命题命题1:命题命题2:8勾股定理的逆命题勾股定理的逆命题 如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为斜边为c，那么有，那么有a a2 2 + b+ b2 2 = c= c2 2勾股定理勾股定理 如果三角形的三边长如果三角形的三边长a、b、c满足满足那么这个三角形是直角三角形。那么这个三角形是直角三角形。a a2 2 + b+
6、b2 2 = c= c2 2互逆命题9 C=900 AB2= a2+b2 a2+b2=c2 AB 2=c2 AB =c ABC ABC C= C=90BC=a=BCCA=b=CAAB=c=AB已知已知:在在ABC中，中，AB=c BC=a CA=b 且且a2+b2=c2求证求证: ABC是直角三角形是直角三角形证明证明:画一个画一个ABC,使使 C=90,BC=a, CA=b在在 ABC和和 ABC中中 ABC是直角三角形是直角三角形（直角三角形的定义）（直角三角形的定义）勾股定理的逆命题勾股定理的逆命题ABCACB10勾股定理的逆命题勾股定理的逆命题 如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角
7、形两直角边分别为a，b，斜边为斜边为c，那么有，那么有a a2 2 + b+ b2 2 = c= c2 2勾股定理勾股定理 如果三角形的三边长如果三角形的三边长a、b、c满足满足那么这个三角形是直角三角形。那么这个三角形是直角三角形。a a2 2 + b+ b2 2 = c= c2 2互逆命题逆定理逆定理定理定理11驶向胜利驶向胜利的彼岸的彼岸定理与逆定理定理与逆定理我们已经学习了一些互逆的定理我们已经学习了一些互逆的定理,如如:勾股定理及其逆定理；勾股定理及其逆定理；两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等;内错角相等内错角相等,两直线平行两直线平行.如果一个如果一个定理定理的逆命题经过证
8、明是真命题的逆命题经过证明是真命题,那那么它是一个么它是一个定理定理,这两个定理称为这两个定理称为互逆定理互逆定理,其其中一个定理称另一个定理的中一个定理称另一个定理的逆定理逆定理.12(1)两条直线平行，内错角相等两条直线平行，内错角相等(2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等如果两个实数相等，那么它们的平方相等(3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等(4)全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等说出下列命题的逆命题这些命题的逆命题成立吗说出下列命题的逆命题这些命题的逆命题成立吗?逆命题逆命题: 内错角相等，两条直线平行内错角相等，两条直线平行
9、. 逆命题逆命题:如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等. 逆命题逆命题:如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等. 逆命题逆命题:对应角相等的两个三角形是全等三角形对应角相等的两个三角形是全等三角形. 感悟感悟: 原命题成立时原命题成立时, 逆命题有时成立逆命题有时成立, 有时不成立有时不成立试一试试一试一个一个命题命题是真命题是真命题, ,它逆命题却它逆命题却不一定不一定是真命题是真命题. .13 分分析析：根根据据勾勾股股定定理理的的逆逆定定理理, 判判断断一一个个三三角角形形是是不不是是直直角
10、角三三角角形形, 只只要要看看两两条条较较少少边边长长的的平平方方和和是是否否等等于于最大边长的平方最大边长的平方. 例例1：判断由线段判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角组成的三角形是不是直角 三角形三角形? (1) a=15，b=17，c=8; (2) a=13，b=15，c=14解解:(1) 152+82=225+64 =289172 =289 152+82 =172 以以15, 8, 17为为边边长长的的三角形是直角三角形三角形是直角三角形 (2) 132+142=169+196=365152 =225 132+ 142 152 以以13, 15, 14为为边边长长的的三角形不是
11、直角三角形三角形不是直角三角形 像像15,17,8,能够成为直角三角形三能够成为直角三角形三条边长的三个条边长的三个正整数正整数，称为，称为勾股数勾股数.14 例例.在在ABC中，中，AB=5, BC=12, AC=13, 求此求此 三角形的面积三角形的面积。为直角三角形为直角三角形,且且B=90 ABC的面积为的面积为51213ABC15 下面以下面以a,b,c为边长的三角形是不是直为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？角三角形？如果是那么哪一个角是直角？(1) a=25 b=20 c=15 _ _ ;(2) a=13 b=14 c=15 _ _ ;(4) a:b: c=
12、3:4:5 _ _ ;是是是是不是不是 是是 A=900 B=900 C=900(3) a=1 b=2 c= _ _ ; 像像25,20,15,能够成为直角三角形能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为三条边长的三个正整数，称为勾股数勾股数.16例例2： “远航远航”号、号、“海天海天”号轮船同时离开号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，港口，各自沿一固定方向航行，“远航远航”号号每小时航行每小时航行16海里，海里，“海天海天”号每小时航行号每小时航行12海里。它们离开港口海里。它们离开港口一个半小时一个半小时后位于点后位于点Q,R处处,且相距且相距30海里。如果知道海里。如果知道“远
13、航远航”号号沿沿东北方向东北方向航行，能知道航行，能知道“海天海天”号沿哪个号沿哪个方向航行吗？方向航行吗？PEQRN远航远航海天海天17解：根据题意解：根据题意因为因为24242 2+18+182 2=30=302 2，即即PQPQ2 2+PR+PR2 2=QR=QR2 2 ，所以，所以QPR=90QPR=90。由由“远航远航”号东北方向航行可知号东北方向航行可知,QPS=45,QPS=45。所以所以RPS=45 RPS=45 ，即，即“海天海天”号沿西北方形航号沿西北方形航行。行。18BA、锐角三角形、锐角三角形 B、直角三角形、直角三角形C、 钝角三角形钝角三角形 D、等边三角形、等边三
14、角形1.练一练练一练192.2.下列四条线段不能组成直角三角形的是（下列四条线段不能组成直角三角形的是（ ）A. a=8A. a=8，b=15b=15，c=17c=17B. a=9B. a=9，b=12b=12，c=15c=15C. a= C. a= ，b= b= ，c=c=D. aD. a：b b：c=2c=2：3 3：4 4D203.3.已知：在已知：在ABCABC中，中，A A、B B、C C的对边的对边分别是分别是a a、b b、c c，分别为下列长度，判断该，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？是直角？ （1 1）
15、a= a= ，b= b= ，c= c= ； （2 2）a=5a=5，b=7b=7，c=9c=9；（3 3）a=2a=2，b= b= ，c= c= ； （4 4）a=5a=5，b= b= ，c=1c=1。（1 1）是，）是，B B（3 3）是，）是，C C（4 4）是，）是，A A（2 2）不是。）不是。214.4.小强在操场上向东走小强在操场上向东走80m80m后，又走了后，又走了60m60m，再走，再走100m100m回到原地。小强在操场回到原地。小强在操场上向东走了上向东走了80m80m后，又走后，又走60m60m的方向是的方向是 。 向正南或正北向正南或正北 225.5.一根一根3030
16、米长的细绳折成米长的细绳折成3 3段，围成一个三角形，段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长其中一条边的长度比较短边长7 7米，比较长边短米，比较长边短1 1米，请你试判断这个三角形的形状。米，请你试判断这个三角形的形状。解：设其中一条长为解：设其中一条长为x x， 则另两条分别为则另两条分别为x+1,x-7x+1,x-7根据题意有根据题意有x+x+（x+1x+1）+ +（x-7x-7）=30=30 解得解得 x=12x=12所以另两条分别为所以另两条分别为5 5和和1313因为因为5 52 2+12+122 2=25+144=196=13=25+144=196=132 2即：即：5
17、52 2+12+122 2=13=132 2，所以三角形为直角三角形。，所以三角形为直角三角形。23 6. 已已知知：如如图图，四四边边形形ABCD中中，B900，AB3，BC4，CD12，AD13,求求四四边边形形ABCD的的面积面积?ABCDS四边形四边形ABCD=3624勾股定理勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为，斜边为c，那么，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方方和等于斜边的平方. 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理: :如果三角形两边的平方和等于第三边平方如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那那么这个三角形是直角三角形么这个三角形是直角三角形.小结 拓展25
