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1、3.2.4 3.2.4 利用向量解利用向量解决决 空间距离问题空间距离问题华美实验学校高二数学备课组华美实验学校高二数学备课组 jchay jchay知识回顾知识回顾1.1.距离定义距离定义（1 1）点到直线距离）点到直线距离 从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的距离叫这点到这条直线的距离。的距离叫这点到这条直线的距离。（2 2）点到平面的距离）点到平面的距离 从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫这点到这个平面的距离。的距离叫这点到这个平面的距离。（3 3）两平行直线间的距离）两平
2、行直线间的距离 两条平行线间的公垂线段的长，叫做两条平行线间两条平行线间的公垂线段的长，叫做两条平行线间的距离。的距离。（4）两条异面直线间的距离）两条异面直线间的距离 和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫两条异面直线和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫两条异面直线的公垂线；公垂线上夹在两异面直线间的线段的长度，叫两的公垂线；公垂线上夹在两异面直线间的线段的长度，叫两异面直线的距离。异面直线的距离。（5）直线与平面的距离）直线与平面的距离 如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这个如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这个平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做平面的距
3、离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离。这条直线和平面的距离。（6）两平行平面间的距离）两平行平面间的距离 和两个平行平面同时垂直的直线，叫这两个平行平面的和两个平行平面同时垂直的直线，叫这两个平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面间的距离。平行平面间的距离。ala2.法向量及射影：法向量及射影：ablABB1A1n空间两点之间的距离空间两点之间的距离 根根据据两两向向量量数数量量积积的的性性质质和和坐坐标标运运算算，利利用用公公式式 或或 ( (其其中中 ) ) ，可可将将两点距离问
4、题转化为求向量模长问题两点距离问题转化为求向量模长问题. .空间中的距离主要有空间中的距离主要有: 点点、点线、点面、线线、线面、面面点点、点线、点面、线线、线面、面面空间点线之间的距离空间点线之间的距离 求出垂线段的向量的模。求出垂线段的向量的模。如何利用空间向量求点到平面的距离如何利用空间向量求点到平面的距离：一、求点到平面的距离一、求点到平面的距离a anPAOMN方法指导方法指导：若点：若点P为平面为平面外一点，点外一点，点A为平面平面内任内任一点，平面的法向量一点，平面的法向量为n，则点点P到平面到平面的距离公式的距离公式为一、求点到平面的距离一、求点到平面的距离例例1、已知正方形、
5、已知正方形ABCD的边长为的边长为4，CG平面平面ABCDABCD，CG=2,ECG=2,E、F F分别是分别是ABAB、ADAD的中点，求点的中点，求点B B到平面到平面GEFGEF的距离。的距离。DABCGFExyzDABCGFExyz练习练习1:SBCDAxyzAPDCBMN练习练习2:DMPNAxCBzy例2、已知正方形ABCD的边长为4，CG平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面GEF的距离。DABCGFExyz二、求直线与平面间距离正方体正方体AC1棱长为棱长为1，求求BD与平面与平面GB1D1的的距离距离A1B1C1D1ABCDXYZ练习练习3:G
6、 例例3、正方体、正方体AC1棱长为棱长为1，求平面求平面AB1C与平面与平面A1DC1的距离的距离A1B1C1D1ABCDXYZ三、求平面与平面间距离三、求平面与平面间距离练习4、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点，求平面AMN与平面EFDB的距离。ABCDA1B1C1D1MNEFxyzBAaMNnab四、求异面直线的距离四、求异面直线的距离nabAB方法指导:作直线a、b的方向向量a、b，求a、b的法向量n，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量；在直线a、b上各取一点A、B，作向量AB；求向量AB在n上的射影d
7、，则异面直线a、b间的距离为zxyABCC1EA1B1例例4zxyABCC1即取x=1,z则y=-1,z=1,所以EA1B1例例4已知正方体已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为的棱长为1，求异面，求异面直线直线DA1与与AC的距离。的距离。ABDCA1B1C1D1xyz练习练习5练习练习6:如图如图, ,ASCDBxyz小结：小结：1 1、怎样利用向量求距离？、怎样利用向量求距离？点到平面的距离：点到平面的距离：连结该点与平面上任意一点的向量在平面定点与平面上任意一点的向量在平面定向法向量上的射影（向法向量上的射影（如果不知道判断方向，可取其射影的如果不知道判断方向，可取其射影的绝对值
8、）。）。点到直线的距离：点到直线的距离：求出垂线段的向量的模。求出垂线段的向量的模。直线到平面的距离：直线到平面的距离：可以转化为点到平面的距离。可以转化为点到平面的距离。平行平面间的距离：平行平面间的距离：转化为直线到平面的距离、点到平面的距转化为直线到平面的距离、点到平面的距离。离。异面直线间的距离：异面直线间的距离：转化为直线到平面的距离、点到平面的转化为直线到平面的距离、点到平面的距离。也可运用闭合曲线求公垂线向量的模或共线向量定理距离。也可运用闭合曲线求公垂线向量的模或共线向量定理和公垂线段定义求出公垂线段向量的模。和公垂线段定义求出公垂线段向量的模。点到平面的距离：点到平面的距离：直线到平面的距离：直线到平面的距离：平面到平面的距离：平面到平面的距离：异面直线的距离：异面直线的距离：2 .四种距离的统一向量形式：四种距离的统一向量形式：今日作业课本P111 练习2
