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1、八年级数学八年级数学下下 新课标新课标北北师师第一章第一章 三角形的证明三角形的证明 学学 习习 新新 知知问题思考问题思考独立思考后再进行交流.【问题1】等腰三角形性质定理的内容是什么?这个命题的条件和结论分别是什么?【问题2】我们是如何证明上述定理的?【问题3】我们把性质定理的条件和结论反过来还成立吗?在一个三角形中,如果两个角相等,那么这两个角所对的边也相等,对吗?证明:有两个角相等的三角形是等腰三角形.已知:如图所示，在ABC中，B=C.求证AB=AC.证明证明1:作ADBC于点D.(如图所示)在ABD和ACD中,B=C, BDA=CDA, AD=AD, ABDACD (AAS). A
2、B=AC (全等三角形的对应边相等). 证明证明2：作ABC顶角的平分线AD交BC于点D.(如图所示)在ABD和ACD中,B=C, BAD=CAD, AD=AD, ABDACD (AAS). AB=AC (全等三角形的对应边相等).定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形.这一定理可以简述为:等角对等边.几何语言:在ABC中，B=C(已知)，AB=AC(等角对等边).例2 已知:如图所示,AB=DC,BD=CA,BD与CA相交于点E, 求证AED是等腰三角形.证明:AB=DC, BD=CA,AD=DA, ABDDCA (SSS).ADB=DAC(全等三角形的对应角相等).AE=DE(等角对等边)
3、. AED是等腰三角形.反证法反证法如图所示，在ABC中，已知BC，此时AB与AC要么相等，要么不相等.假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得C=B，这与已知条件“BC”相矛盾，因此ABAC.证明时,先假设命题的结论不成立,然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果,从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法.例3 用反证法证明:一个三角形中不能有两个角是直角.已知:ABC.求证:A，B，C中不能有两个角是直角.证明:假设A,B,C中有两个角是直角,不妨设A和B是直角,即A=90,B=90,于是A+B+C=90+90+C180.这与三角形内角和定理矛盾,因此“A
4、和B是直角”的假设不成立.所以，一个三角形中不能有两个角是直角.知识拓展等腰三角形的判定定理和性质定理是互逆的,解有关等腰三角形问题时,等腰三角形底边上的高线、中线、顶角平分线通常是作辅助线需要重点考虑的线段.1.已知:如图所示,OC平分AOB,CDOB,若OD=3 cm,则CD等于()A.3 cm B.4 cmC.1.5 cm D.2 cmA2.(2015西安中考)如图所示,在ABC中,A=36，AB=AC，BD是ABC的角平分线.若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有()A.2个 B.3个 C.4个 D.5个D解析:ABC为等腰三角形,A=36,ABC=C=72,BD是
5、ABC的角平分线,ABD=CBD=36,ABD为等腰三角形,BCD为等腰三角形.可得BE=BC=BD,BDE为等腰三角形.AED=108,EAD=EDA=36,AED为等腰三角形.故选D.检测反馈检测反馈3.如图所示,在ABC中,ABC与ACB的平分线交于点F,过点F作DEBC交AB于点D,交AC于点E,那么下列结论:BDF和CEF都是等腰三角形;DE=BD+CE;ADE的周长等于AB与AC的和;BF=CF.其中正确的有()A.B.C.D.解析:可证明BDF,CEF都是等腰三角形,得正确.故选A.A4.用反证法证明命题“一个三角形的三个外角中,至多有一个锐角”的第一步是 .假设三角形的三个外角
6、中,有两个锐角解析:根据等腰三角形的性质可知AB=AC.故填AB=AC.5.已知AD是ABC的外角EAC的平分线,要使ADBC,则ABC的边一定满足.AB=AC解析:可证ADE是等腰三角形,AD=AE=2 cm.6.在ABC中,C=B,D,E分别是AB,AC上的点,AE=2 cm,且DEBC,则AD=.2 cm7.如图所示,已知AB=AC,E,D分别在AB,AC上,BD与CE交于点F,且ABD=ACE,求证BF=CF.证明:连接BC,AB=AC,ABC=ACB.ABD=ACE,FBC=FCB,FB=FC.8.如图所示,在ABC中,BA=BC,点D是AB延长线上一点,DFAC于F交BC于E,求证DBE是等腰三角形.证明证明:BA=BC,A=C.DFAC,C+FEC=90,A+D=90.FEC=D. FEC=BED,BED=D.BD=BE,即DBE是等腰三角形.
