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1、第九章 条件异方差模型（ARCH） 经典线性回归分析中，时间序列数据被认为更容易存在序列相关，而不是异方差。然而当学者在分析利率、汇率、股票价格等金融时间序列时，却发现其方差会经常随时间变化，具有集群性和方差波动性特点，即存在明显异方差现象。第九章 条件异方差模型（ARCH） 1982年，美国经济学家恩格尔(Engle.R)教授提出了自回归条件异方差模型(Auto Regressive Conditional Heteroscedasticity，以下简称ARCH模型)，该模型被广泛应用于具有集群性和方差波动性特点的金融时间序列数据的分析及预测，取得了良好的效果，恩格尔教授也因此获得2003年
2、诺贝尔经济学奖。后来该模型又被扩展为GARCH、IGARCH、EGARCH、GARCH-M等模型。本章的知识框架9.1 ARCH模型9.1.1 ARCH(q)模型9.1.1 ARCH(q)模型ARCH(q)模型特点 ARCH(q)模型表明，过去的波动扰动对市场未来波动有着正向而减缓的影响，即较大幅度的波动后面一般紧接着较大幅度的波动，较小幅度的波动后面一般紧接着较小幅度的波动，波动会持续一段时间。因此，ARCH模型可以拟合市场波动的集群性现象，但没有说明波动的方向。如果时间序列的方差随时间变化，使用ARCH模型可以更精确地估计参数，提高预测精度，同时还可以知道预测值的可靠性。当方差较大时，预测
3、值的置信区间就较大，从而可靠性较差；当方差较小时，预测值的置信区间就较小，从而可靠性较好。ARCH模型的提出表明，经济时间序列中比较明显的变化是可以预测的，并且这种变化是来自某一特定类型的非线性依赖性，而不是方差的外生结构变化。9.1.2 ARCH效应的检验检验ARCH效应的方法包括:LM检验、F检验和残差平方相关图检验。LM检验F检验F检验残差平方相关图检验应用残差平方图可以显示指定滞后阶数的残差平方序列的自相关（AC）系数与偏自相关(PAC)系数，以及计算出相应滞后阶数的Ljung-Box Q统计量，从而反映残差序列是否存在ARCH效应。若自相关系数与偏自相关系数都近似为0且Q统计量不显著
4、，说明模型在该指定的滞后阶数下不存在ARCH效应，反之则存在ARCH效应。对于ARCH模型的估计，一般采用极大似然估计法。9.2 GARCH模型如果ARCH模型中的阶数过高，约束条件就会变得复杂，结果也难以解释。针对ARCH模型的缺陷，Bollerslev在1986年提出了广义的自回归条件异方差模型即GARCH模型。9.2.1 GARCH(p,q)模型GARCH模型的基本性质ARCH(q)模型是GARCH(p,q)模型的特例，当p = 0时，GARCH(p,q)模型即为ARCH(q)模型。两者的区别在于，GARCH模型的条件方差不仅是滞后误差平方的线性函数，而且是滞后条件方差的线性函数，GAR
5、CH过程实质上是无限阶的ARCH过程.利用GARCH模型，能在计算量不大时，更合适，更方便地描述高阶的ARCH过程。GARCH模型的基本性质GARCH模型的基本性质大多数金融数据序列的分布较正态分布而言，尾巴拖得更长，中间峰顶更尖，具有厚尾特征，GARCH（1,1）的尾部要比正态分布尾部厚，呈现尖峰厚尾的形状。正是由于GARCH模型既能模拟价格波动的集群性特征，又有助于解释厚尾巴现象，从而使得GARCH模型得到了广泛的应用。此外实践中还发现，当样本较大时，GARCH(1,1)就足以描述方差的动态特征，而且越是高频率的数据序列，ARCH效应就越显著。GARCH模型的不足由于GARCH(p,q)模
6、型假定条件方差是过去残差平方的函数，因此，条件方差对正的价格变化和负的价格变化的反应是对称的。但是现实中，正负冲击对波动率的影响并不对称，即存在杠杆效应，而GARCH模型不能解释这种现象。GARCH(p,q)模型中假定参数都是非负数，从而保证方差非负，但是这些约束隐含在任何时期增加误差的平方，都会增加误差方差，因而排除了误差方差的随机波动行为。GARCH模型的不足由于没有一致的测量波动持久性的准则，所以难以利用GARCH(p,q)模型对条件方差的冲击是否会持久这一问题进行评价。如果波动变化只是暂时的，则市场对风险溢价不会有明显的调整，由将来预期现金流的净现值决定的股票价格和折现因子都不会发生明
7、显变化；如果波动冲击无限期地存留，则可能改变整个风险溢价的期限结构，从而对长期资本的投资产生显著影响。9.2.2 GARCH模型误差项分布假设与估计GARCH模型误差项的分布通常有3个假设，正态分布、学生t分布和广义误差分布（GED）。给定误差项的分布假设，GARCH模型都使用极大似然估计法进行参数估计。针对GARCH模型误差项的不同分布，下面列举每种分布对应的对数似然函数。9.3 IGARCH模型和GARCH-M模型9.3.1 IGARCH模型IGARCH模型其实是GARCH模型中的一种特例，其参数估计与检验方法与GARCH类似。此外，它也可以作为一种估计方法，通过将方差方程中所有参数之和限
8、定为1作为约束条件来进行一般GARCH模型的参数估计。9.3.2 GARCH-M模型9.4 非对称GARCH模型9.4 非对称GARCH模型对杠杆效应的一种解释是：因为股票价格的下降会引起公司债务对股权比率的上升，所以给公司股票带来更大的风险。因此，杠杆效应表明，条件方差 对正的冲击和负的冲击的反应应该具有不对称性。只能描述对称性冲击的GARCH模型，在描述金融时间序列的这个统计特征方面存在一定缺陷。为弥补GARCH模型的这个缺陷，很多学者构造了描述股票市场非对称性现象的GARCH类模型，包括了AGARCH模型和、TGARCH模型、EGARCH模型和PGARCH模型等等。9.4.1 AGARC
9、H模型9.4.2 TGARCH模型9.4.2 TGARCH模型9.4.3 EGARCH模型9.4.3 EGARCH模型该模型最大的优点还在于，由于条件方差被表示为指数形式，因此，对模型中的参数没有任何约束，无须人为地对模型参数施加非负约束，可以减少数值计算的工作量。9.4.4 PGARCH模型9.5 成分GARCH模型为了在GARCH模型中体现出影响收益波动的长期因素与短期因素，刻画出随时间变化的长期波动率与短期波动率，Engle和Lee等学者（1999）提出了成分GARCH模型（Component GARCH Model，简称CGARCH模型），这一模型将条件方差序列分解为长期波动成分和短期
10、波动成分。9.5.1 成分GARCH模型介绍此外，在成分GARCH模型的条件方差中，可以包含外生变量，外生变量既可以放在长期方程中，也可以放在短期方程中。短期方程中的外生变量将对波动产生短期影响，长期方程中的外生变量将对波动产生长期影响。非对称成分GARCH模型9.6 多元GARCH模型随着经济的全球化，很少有国家或地区的金融市场是封闭或孤立的，当某国出现金融危机后，通常会迅速传导到其它金融市场，多个金融资产会沿时间方向呈现波动集聚，不同金融资产之间会出现风险交叉传递。一元GARCH 模型无法捕捉到这种跨市场的风险传递或波动溢出。20世纪80年代末，Bollerslev 等提出运用多元GARC
11、H 模型研究多变量的波动溢出，之后，很多学者在Bollerslev等(1988)的基础上提出了一些扩展或修正模型，包括VEC-GARCH模型、BEKK -GARCH模型、CCC -GARCH模型、DCC -GARCH模型等。9.6.1 VEC-GARCH模型9.6.2 BEKK-GARCH模型9.6.3 CCC-GARCH模型9.6.4 DCC-GARCH模型针对CCC-GARCH模型的缺陷，学者们尝试了多种方法对其进行改进，思路是对CCC-GARCH模型进行一般化扩展，在保留以前分解的基础上, 使条件相关矩阵具有时变性，构建新模型，这类模型称为动态条件相关系数多元GARCH模型（DCC-GA
12、RCH模型）。9.6.4 DCC-GARCH模型DCC-GARCH模型把条件协方差矩阵分解成条件方差和条件相关系数矩阵两部分，然后各自进行参数化，这种处理方法降低了模型中待估参数个数，可以更好地描述不同时间序列之间的波动传递。在实际估计过程中，Engle (2002)建议使用两步估计法估计参数，第一步估计每个序列的一元GARCH模型，第二步利用第一步的结果估计相关系数的参数。9.7 EViews软件实现案例9.7.1 ARCH效应的检验图 9.2 估计结果从上图可以看到各系数都较为显著，拟合优度较为理想。进一步对模型的残差序列进行ARCH效应的F检验和LM检验，在上图回归结果窗口选择“view
13、 / Residual Diagnostics/Heteroskedasticity Tests”,得到如下窗口：图 9.3 ARCH效应检验然后选择ARCH并选择 检验的阶数，本例取默认值1，得到下图： 图 9.4 ARCH效应检验结果图9.4中，第一行得到的是F检验的F统计量及其P值，第二行给出LM检验的LM统计量及其P值。很显然，F检验与LM检验在显著性水平为0.1的情况下都不显著，说明原假设成立，表示模型（1）不存在一阶ARCH效应。方法二：残差平方相关图检验重复方法一中OLS参数回归，然后在图9.2所示的窗口中选择“view / Residual Diagnostics/Correl
14、ationogram Squared Residual”,然后弹出对话框要求设定计算自相关和偏自相关系数的滞后阶数，这里选择默认的12阶，单击“ok”，得到下图：图 9.5 自相关和偏自相关系数检验结果从图9.5可以看到，残差序列的一阶自相关系数与一阶偏自相关系数均不显著，说明模型（1）不存在一阶ARCH效应，这与方法一得到的结果是一致的。9.7.2 GARCH模型实例运用OLS对方程（1）回归并进行1阶滞后LM检验，得到如下结果： 图 9.6 ARCH效应检验结果可以看到F统计量与LM检验统计量P值均为0，表示存在一阶ARCH效应。接下来利用GARCH（1，1）模型重新估计式（1）。在EVi
15、ews中建立GARCH（1，1）模型，点击“Object/New Object/Equation”，“Method”中选择ARCH，在弹出的新界面中，在“Mean equation（均值方程）”中输入“R C R(-4) R(-6) R(-7)”。在“Order”下的“ARCH”栏中输入1，“GARCH”栏中输入1，表示为GARCH(1,1)模型，点击确定。得到如下结果：输入如下内容：图 9.7 GARCH模型设置其他选项维持默认状态，然后点击“确定”，得到如下结果：图 9.8 GARCH模型估计结果图9.8为GARCH（1，1）的回归结果。从图中可以看到，方差方程中各参数均显著。再对该模型的
16、残差序列进行1阶滞后的ARCH效应检验，得到如下结果： 图 9.9 ARCH效应检验结果从F统计量和LM统计量的P值均可以看到，此时的残差序列不存在ARCH效应，说明GARCH（1，1）模型消除了最初残差序列的条件异方差，说明GARCH（1，1）模型能够很好地对上证指数日收益率的波动进行描述。9.7.3 GARCH-M模型实例例9.3 例9.2中估计了我国上证指数日收益率波动的GARCH模型，现使用GARCH-M模型对上证指数日收益率波动进行估计。采用例9.2中的数据，在EViews中点击“Object/New Object/Equation”，“Method”中选择ARCH，在弹出的新界面中
17、，在“Mean equation（均值方程）”中输入“R C R(-4) R(-6) R(-7)”。在“Order”下的“ARCH”栏中输入1，“GARCH”栏中输入1，这里均值方程加入的是“ ”项，因此在“ARCH-M”选择“Std.Dev.”,如下图所示：图 9.10 GARCH-M模型设置其他选项默认，点击确定，得到如下结果：图 9. 11 GARCH-M模型估计结果从结果可以看到，系数 的Z统计量P值为0.0431，在0.05的显著性水平下统计显著，这一结果表明，市场中的预期风险增加一个单位时，就会导致上证指数日收益率相应增加0.103484个百分点。9.7.4 非对称GARCH模型实
18、例例9.4 为检验我国股票市场是否存在波动的非对称性，利用例9.2中的数据，分别构建EGARCH模型与TGARCH模型验证，并评估结果。1、构建EGARCH模型： 在EViews中点击“Object/New Object/Equation”，“Method”中选择“ARCH”，在弹出的新界面中，在“Mean equation（均值方程）”中输入“R C R(-4) R(-6) R(-7)”。在“Model”中选择“EGARCH”，其他选项为默认值，点击确定，得到如下结果：图 9.12 EGARCH模型估计结果2、构建TGARCH模型： 在EViews中点击“Object/New Object/
19、Equation”，“Method”中选择“ARCH”，在弹出的新界面中，在“Mean equation（均值方程）”中输入“R C R(-4) R(-6) R(-7)”。在“Model”中选择“GARCH/TGARCH”，并在“Threshold”中输入1，其他选项为默认值，点击确定，得到如下结果：图 9.14 TGARCH模型估计结果9.7.5 成分GARCH模型实例例9.5为验证上证指数波动中的长期波动率与短期波动率，试建立CGARCH模型进行分析。采用2000年至2014年上证指数的日收益率序列 ，建立CGARCH模型。在EViews中点击“Object/New Object/Equation”，“Method”中选择“ARCH”，在弹出的新界面中，在“Mean equation（均值方程）”中输入“R C R(-4) R(-6) R(-7)”。在“Model”中选择“Component ARCH(1,1)”，其他项为默认值，点击确定，得到如下结果：图 9.15 CGARCH模型估计结果图 9.16考虑非对称效应的CGARCH模型估计结果从图9.16中看到，杠杆效应项的系数 参数z统计量P值为0.2225， 统计不显著，说明短期方程中不存在非对称效应。9.7.6 多元GARCH模型实例
