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1、一、一、随机事件间的关系及运算随机事件间的关系及运算第二节 事件的关系和运算二、小结与思考题二、小结与思考题第一章一、随机事件间的关系及运算一、随机事件间的关系及运算样本点样本点 = 基本事件基本事件样本空间样本空间 = 全体样本点全体样本点= 必然事件必然事件随机事件是由具有某些特征的基本事件随机事件是由具有某些特征的基本事件所组成，所以所组成，所以随机事件随机事件 = 样本空间样本空间 的一个子集的一个子集.如：如：记记“摸到标号为摸到标号为i的球的球” (i=1,2,10)则样本点为：则样本点为： = i 样本空间：样本空间： =1,2,10事件事件D=球的标号是奇数球的标号是奇数=1，
2、3，5，7，9F=球的标号球的标号5=1，2，3，4，5D, F均是均是 的子集的子集.1.运算运算(有有3种）种） 运算运算 符号符号 概率论概率论集合论集合论Venn图图 和和差差事件事件A发生发生而而B不发生不发生积积事件事件A与与B同同时发生时发生A与与B的并集的并集A与与B的差集的差集A与与B的交集的交集事件事件A与与B至少至少有一个发生有一个发生事件事件 A 与与 B 的并的并(和事件和事件)实例实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定直径是否合格所决定,因此因此 “产品不合格产品不合格”是是“长度长度不合格不合格”与与“直径
3、不合格直径不合格”的并的并.图示事件图示事件 A 与与 B 的并的并. BA事件事件 A 与与 B 的差的差图示图示 A 与与 B 的差的差实例实例 “长度合格但直径不合格长度合格但直径不合格”是是“长度合格长度合格” 与与“直径合格直径合格”的差的差. 由事件由事件 A 出现而事件出现而事件 B 不出现所组成的不出现所组成的事件称为事件事件称为事件 A 与与 B 的差的差. 记作记作 A- - B. AABBA ABB 事件事件 A 与与 B 的交的交 (积事件积事件)图示事件图示事件A与与B 的积的积事件事件.实例实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度某种产品的合格与否是由该产品的长度
4、与直径是否合格所决定与直径是否合格所决定,因此因此“产品合格产品合格”是是“长度合格长度合格”与与“直径合格直径合格”的交或积事件的交或积事件. ABAB 推广推广2.关系关系(有有4种）种）关系关系 符号符号 概率论概率论集合论集合论VennVenn图图包含包含A发生则发生则B必发生必发生A是是B的子的子集集等价等价A与与B相等相等互斥互斥(互互不相不相容容)事件事件A与与B不不能同时发生能同时发生A与与B不不相交相交对立对立(互逆互逆)A A的对立事件的对立事件A A的余集的余集若事件若事件 A 出现出现, 必然导致必然导致 B 出现出现 , 则称则称事件事件 B 包含事件包含事件 A,
5、记作记作实例实例 “长度不合格长度不合格” 必然导致必然导致 “产品不合产品不合格格”所以所以“产品不合格产品不合格” 包含包含“长度不合格长度不合格”.图示图示 B 包含包含 A. 包含关系包含关系BA事件事件 A 与与 B 互不相容互不相容 (互斥互斥) 若事件若事件 A 的出现必然导致事件的出现必然导致事件 B 不出现不出现, B出现也必然导致出现也必然导致 A不出现不出现,则称事件则称事件 A与与B互不相互不相容容, 即即实例实例 抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币, “出现花面出现花面” 与与 “出现字面出现字面” 是互不相容的两个事件是互不相容的两个事件.“骰子出现骰子出现1点点” “骰子出
6、现骰子出现2点点”图示图示 A与与B互斥互斥 AB互斥互斥实例实例 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子, 观察出现的点数观察出现的点数 . 说明说明 当当A B= 时时,可将可将A B记为记为“直和直和”形式形式A+B. 任意事件任意事件A与不可能事件与不可能事件为互斥为互斥. 设设 A 表示表示“事件事件 A 出现出现”, 则则“事件事件 A 不出现不出现”称为事件称为事件 A 的的对立事件或逆事件对立事件或逆事件. 记作记作实例实例 “骰子出现骰子出现1点点” “骰子不出现骰子不出现1点点”图示图示 A 与与 B 的对立的对立. B若若 A 与与 B 互逆互逆,则则有有A对立对立事件事件 A 的对立
7、（互逆）事件的对立（互逆）事件注注. 1 互斥与互逆的关系互斥与互逆的关系互逆互逆 互斥互斥如：对于如：对于但但 2 必然事件必然事件 与不可能事件与不可能事件互逆互逆.对立事件与互斥事件的区别对立事件与互斥事件的区别 ABABA、B 对立对立A、B 互斥互斥互互 斥斥对对 立立3. 运算法运算法= =4. 对偶律对偶律(De Morgan定理定理)意义：意义： “A，B至少有一发生至少有一发生”的对立事件的对立事件是是“A，B均不发生均不发生”.意义：意义：“A，B均发生均发生”的对立事件是的对立事件是“A，B至少有一个不发生至少有一个不发生”.推广：推广：5. 特别地，特别地，=，3例例1
8、 设设 A，B为随机事件，证明：为随机事件，证明：(1) A-B=A-AB(2)例例2 下列命题是否正确？下列命题是否正确？A，B至少有至少有一个不发生一个不发生A，B均不均不发生发生解解 不正确不正确.AB-AAB特别地，特别地，从而从而解解 正确正确.=例例3 设设A A，B B，C C为三个事件，试用这三个事件为三个事件，试用这三个事件的运算关系表示下列事件：的运算关系表示下列事件：可表示为：可表示为：或或可表示为：可表示为：可表示为：可表示为：可表示为：可表示为：例例4 在计算机系学生中任选一名学生，设事件在计算机系学生中任选一名学生，设事件A=“选出的学生是男生选出的学生是男生”；B
9、=“选出的学生是三年级学生选出的学生是三年级学生”；C=“选出的学生是运动员选出的学生是运动员”.解解的含义是的含义是“选出的学生是三年级选出的学生是三年级的男生，但他不是运动员的男生，但他不是运动员”.即即“计算系学生中的运动员都是计算系学生中的运动员都是三年级的男生三年级的男生”.解解 当运动员都是三年级的学生时，当运动员都是三年级的学生时，C是是B的子事件，即的子事件，即设设A,B,C 表示三个随机事件表示三个随机事件, ,试将下列事件试将下列事件用用A,B,C 表示出来表示出来. .(1) A 出现出现 , B, C 不出现不出现;(5) 三个事件都不出现三个事件都不出现;(2) A,
10、 B都出现都出现, C 不出现不出现;(3) 三个事件都出现三个事件都出现;(4) 三个事件至少有一个出现三个事件至少有一个出现;练习练习1(7) 不多于两个事件出现不多于两个事件出现;(8) 三个事件至少有两个出现三个事件至少有两个出现;(9) A, B 至少有一个出现至少有一个出现, C 不出现不出现;(10) A, B, C 中恰好有两个出现中恰好有两个出现.解解(6) 不多于一个事件出现不多于一个事件出现;(1)没有一个是次品没有一个是次品;(2)至少有一个是次品至少有一个是次品;(3)只有一个是次品只有一个是次品;(4)至少有三个不是次品至少有三个不是次品;(5)恰好有三个是次品恰好
11、有三个是次品;(6)至多有一个是次品至多有一个是次品.解解练习练习2二、小结二、小结 概率论与集合论之间的对应关系概率论与集合论之间的对应关系记号记号概率论概率论集合论集合论样本空间样本空间, ,必然事件必然事件不可能事件不可能事件基本事件基本事件随机事件随机事件A的对立事件的对立事件A出现必然导致出现必然导致B出现出现事件事件A与事件与事件B相等相等空间空间(全集全集)空集空集元素元素子集子集A的补集的补集A是是B的子集的子集A集合与集合与B集合相等集合相等事件事件A与事件与事件B的差的差 A与与B两集合的差集两集合的差集事件事件A与与B互不相容互不相容A与与B 两集合中没有两集合中没有相同的元素相同的元素事件事件A与事件与事件B的和的和 A集合与集合与B集合的并集集合的并集 事件事件A与与B的积事件的积事件 A集合与集合与B集合的交集集合的交集
