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1、第四章连续时间信号的频域分析一、一、 周期信号的傅里叶级数展开周期信号的傅里叶级数展开二、二、 周期信号的频谱及其特点周期信号的频谱及其特点三、三、 傅里叶级数基本性质傅里叶级数基本性质四、四、 离散频谱与功率分配离散频谱与功率分配第一节第一节 周期信号的频域分析周期信号的频域分析9/16/2024SSch4-1连续周期信号频域分析 周期信号分析周期信号分析是把信号表示为不同频率正弦分量的线性组合是把信号表示为不同频率正弦分量的线性组合 （1）从信号分析的角度，几乎一切实际信号都可以表示为不同频率正弦分量（或指数分量）的线性组合，这样，不同的信号都归结为正弦分量，为不同的信号之间进行比较提供了
2、途径。 （2）从系统分析角度，线性时不变系统在单频正弦信号激励下的稳态响应仍是同频率的正弦信号。在多个不同频率正弦信号同时激励下的总响应，只需利用线性系统的迭加特性即可求得，而且每个正弦分量通过系统后，是衰减还是增强一目了然。周期信号频域分析的意义9/16/2024SSch4-1连续周期信号频域分析一、周期信号的傅立叶级数展开1. 周期信号展开为傅立叶级数条件周期信号fT(t)应满足Dirichlet条件，即：(1) 绝对可积，即满足 (2) 在一个周期内只有有限个有限的不连续点；(3) 在一个周期内只有有限个极大值和极小值。注意：条件（1） 为充分条件但不是必要条件； 条件（2）（3）是必要
3、条件但不是充分条件。9/16/2024SSch4-1连续周期信号频域分析2. 2. 指数形式傅立叶级数指数形式傅立叶级数Cn 为复数，可以表示成模与幅角的形式，即连续时间周期信号可以用指数形式傅立叶级数表示为其中两项的基波频率为f0，两项合起来称为信号的基波分量的基波频率为2f0，两项合起来称为信号的2次谐波分量的基波频率为Nf0，两项合起来称为信号的N次谐波分量物理含义物理含义：周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和。9/16/2024SSch4-1连续周期信号频域分析3. 3. 三角形式傅立叶级数三角形式傅立叶级数若f(t)为实函数，则指数Fourier级数展开式中的系数满足利用
4、这个性质可以将指数Fourier级数表示写为由于Fourier级数的系数Fn一般为复数，记由于C0是实的，所以b0=0，故9/16/2024SSch4-1连续周期信号频域分析 整理后得三角形式傅立叶级数，为9/16/2024SSch4-1连续周期信号频域分析三角形式的傅立叶级数又可写成纯余弦形式，即: 称为信号的直流分量， An cos(n0+ n)称为信号的n次谐波分量。9/16/2024SSch4-1连续周期信号频域分析例4-1 试计算图示周期矩形脉冲信号的傅立叶级数展开式。解:该周期信号f (t)显然满足狄里赫勒的三个条件， 必然存在傅立叶级数展开式。9/16/2024SSch4-1连续
5、周期信号频域分析可得，周期方波信号的三角形式傅立叶级数展开式为若=T/2，则有由因此，周期方波信号的指数形式傅立叶级数展开式为9/16/2024SSch4-1连续周期信号频域分析例4-2 试计算图示周期三角脉冲信号的傅立叶级数展开式。解:该周期信号f (t)显然满足狄里赫勒的三个条件， 必然存在傅立叶级数展开式。9/16/2024SSch4-1连续周期信号频域分析可得，周期三角脉冲信号的三角形式傅立叶级数展开式为由因此，周期三角脉冲信号的指数形式傅立叶级数展开式为9/16/2024SSch4-1连续周期信号频域分析二、 周期信号的频谱及其特点1、频谱的概念：周期信号f(t)可以分解为不同频率虚
6、指数信号之和，即2、频谱的表示：通常直接画出信号各次谐波对应的An、 Cn线状分布图形，这种图形称为信号的频谱图。 傅立叶级数的系数是频率的函数，它反映了组成信号各正弦谐波的幅度和相位随频率变化的规律，称频谱函数。不同的时域信号，只是傅立叶级数的系数不同，因此通过研究傅立叶级数的系数来研究信号的特性。9/16/2024SSch4-1连续周期信号频域分析周期信号的频谱-8-6-4-20246-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81tf(t)0.10.20.40.30.500.6nA030507090n005000.10.20.30.40.5|An|300n00123401tf
7、(t)由图中各分量合成的波形9/16/2024SSch4-1连续周期信号频域分析例4-1周期矩形脉冲信号指数傅里叶系数 9/16/2024SSch4-1连续周期信号频域分析3频谱的特性(1)离散频谱特性所有周期信号的频谱都是由0为间隔的谱线组成。信号周期T越大，0就越小，则谱线越密。反之，T越小，0越大，谱线则越疏。(2)幅度衰减特性若信号时域波形变化越平缓，高次谐波成分就越少，幅度频谱衰减越快；若信号时域波形变化跳变越多，高次谐波成分就越多，幅度频谱衰减越慢。f(t)不连续时，Cn按1/n的速度衰减f(t)连续时，一阶导数不连续时，Cn按1/n2的速度衰减当周期信号的幅度频谱随着谐波n0增大
8、时，幅度频谱|Cn|不断衰减，并最终趋于零。9/16/2024SSch4-1连续周期信号频域分析(3)信号的有效带宽02 / 这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的有效频带宽度,即 信号的有效带宽与信号时域的持续时间成反比。即 越大，其B越小；反之， 越小，其B越大。物理意义：若信号丢失有效带宽以外的谐波成分，不会对信号产生明显影响。说明：说明：当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽必须“匹配”。9/16/2024SSch4-1连续周期信号频域分析1. 线性特性 2. 时移特性 三、傅里叶级数的基本性质9/16/2024SSch4-1连续周期信号频域分析3.卷积性质(1)若f(t)为实信号若f1(
9、t)和f2(t)均是周期为T0的周期信号，且4. 微分特性5. 对称特性9/16/2024SSch4-1连续周期信号频域分析5. 对称特性(2) 纵轴对称信号fT(t)=fT(-t)可见纵轴对称周期信号纵轴对称周期信号其傅立叶级数展开式中只含有直流项直流项与余弦项余弦项。9/16/2024SSch4-1连续周期信号频域分析(3) 原点对称信号 fT(t)=-fT(-t)可见原点对称周期信号原点对称周期信号其傅立叶级数展开式中只含有正弦项正弦项。9/16/2024SSch4-1连续周期信号频域分析(4) 半波重迭信号 fT(t)=f(tT/2)半波重叠周期信号半波重叠周期信号只含有正弦与余弦正弦
10、与余弦的偶次谐波分量偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。9/16/2024SSch4-1连续周期信号频域分析(5) 半波镜像信号 fT(t)=-f(tT/2)半波镜像周期信号只含有正弦与余弦的奇次谐半波镜像周期信号只含有正弦与余弦的奇次谐波分量，而无直流分量与偶次谐波分量。波分量，而无直流分量与偶次谐波分量。9/16/2024SSch4-1连续周期信号频域分析说明：某些信号波形经上下或左右平移后，才呈现出某种对称特性去掉直流分量后，信号呈奇对称，只含有正弦各次谐波分量。因此该信号含有正弦各次谐波分量，直流分量。9/16/2024SSch4-1连续周期信号频域分析例4-39/16/2024SSch4
11、-1连续周期信号频域分析四、周期信号的功率谱将上式中的求和与积分次序交换，得上式称为帕什瓦尔(Parseval)功率守恒定理。 物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号所包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。周期信号的功率频谱：|Cn|2 随n0 分布情况称为周期信号的功率频谱，简称功率谱。9/16/2024SSch4-1连续周期信号频域分析例4-4 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(02/)内谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。其中A=1，T=1/4，=1/20。9/16/2024SSch4-1连续周期信号频域分析解 周期矩形脉冲的傅立叶复系数为将A=1，T=1/4，=
12、1/20，0=2/T=8 代入上式包含在有效带宽(02/)内的各谐波平均功率为信号的平均功率为9/16/2024SSch4-1连续周期信号频域分析周期信号的功率谱9/16/2024SSch4-1连续周期信号频域分析吉伯斯现象：用有限次谐波分量来近似原信号，在不连续点出现过冲，过冲峰值不随谐波分量增加而减少，且为跳变值的且为跳变值的9%。吉伯斯现象产生原因：时间信号存在跳变破坏了信号的收敛性，使得在间断点傅里叶级数出现非一致收敛。9/16/2024SSch4-1连续周期信号频域分析N=5N=15N=50N=5009/16/2024SSch4-1连续周期信号频域分析周期信号的频域分析小结分析问题使用的数学工具为傅里叶级数本节最重要概念：频谱函数频谱函数1.频谱的定义、物理意义2.频谱的特点3.频谱的性质，应用性质可以分析复杂信号的频谱4.功率谱的概念及在工程中的应用9/16/2024SSch4-1连续周期信号频域分析
