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1、信号与系统第二章第二章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析0一、冲激响应一、冲激响应1 1、定义：、定义：LTILTI在在零状态零状态条件下，由条件下，由单位冲激信号单位冲激信号(t)(t)作用所产生作用所产生的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)h(t)。2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应引入冲激函数后，用卷积积分求系统的零状态响应，绕过了求引入冲激函数后，用卷积积分求系统的零状态响应，绕过了求0 0+ +时刻初始值的步骤。时刻初始值的步骤。12 2、h(t)h(t)的求解方法的求解方法例：描述某系
2、统的微分方程为例：描述某系统的微分方程为: :试求该系统的冲激响应试求该系统的冲激响应h(t)h(t)。解：由冲激响应的定义，当解：由冲激响应的定义，当f(t)=f(t)=(t)(t)时，时，2根据上述例子的求解可知，对于一般的根据上述例子的求解可知，对于一般的n n阶阶LTILTI系统，其冲激响应系统，其冲激响应h(t)h(t)具有以下特点：具有以下特点：（1 1）当）当t0t0时，时，(t)(t)及其各阶导数均为零，及其各阶导数均为零，n n阶微分方程等式的右阶微分方程等式的右端恒等于零；因此，端恒等于零；因此，h(t)h(t)与微分方程的齐次解有相同的形式。与微分方程的齐次解有相同的形式
3、。（2 2）h(t)h(t)的形式与微分方程左右两端的阶数的形式与微分方程左右两端的阶数n n、m m的相对大小密切相的相对大小密切相关；因此，在求解关；因此，在求解h(t)h(t)中的待定系数时，要使等式两端奇异函数项中的待定系数时，要使等式两端奇异函数项平衡。平衡。3综上所述，如果方程的特征根均为单根，则综上所述，如果方程的特征根均为单根，则h(t)h(t)中的待定系数，是利用方程等号两端各奇异函数项的系数对中的待定系数，是利用方程等号两端各奇异函数项的系数对应相等的方法求得。应相等的方法求得。4二、阶跃响应二、阶跃响应1 1、定义：、定义：LTILTI在在零状态零状态条件下，由条件下，由
4、单位阶跃信号单位阶跃信号(t)(t)引起的响引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，记为应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，记为g(t)g(t)。利用利用(t)(t)与与(t)(t)之间的关系之间的关系，及，及LTILTI系统的微、积分特性系统的微、积分特性，有，有5假设方程的特征根均为单根，则假设方程的特征根均为单根，则g(t)g(t)中的待定系数，也是利用方程等号两端各奇异函数项的系中的待定系数，也是利用方程等号两端各奇异函数项的系数对应相等的方法求得。数对应相等的方法求得。一般的一般的n n阶系统微分方程阶系统微分方程672.3 2.3 卷积积分及其应用卷积积分及其应用一、卷积积分的定义
5、一、卷积积分的定义设有定义在（设有定义在（-，）区间上的两个函数）区间上的两个函数f f1 1(t)(t)和和f f2 2(t)(t)，则积分则积分定义为定义为f f1 1(t)(t)和和f f2 2(t)(t)的卷积，并记为的卷积，并记为f f1 1(t)*f(t)*f2 2(t)(t)，即，即注意注意：卷积定义中：卷积定义中为积分变量，积分结果一般是关于参为积分变量，积分结果一般是关于参变量变量t t的函数的函数y(t)y(t)。8二、任意信号的冲激表示二、任意信号的冲激表示冲激信号的一个重要应用冲激信号的一个重要应用窄脉冲窄脉冲f(t)f(t)为任意信号为任意信号f f1 1(t)(t)
6、为台阶信号为台阶信号f(t)f(t)用用f f1 1(t)(t)逼近，逼近，f f1 1(t)(t)又用又用p p(t)(t)的加权叠加表示。的加权叠加表示。f f1 1(t)(t)中中不同时刻的矩形脉冲可分别表示为不同时刻的矩形脉冲可分别表示为9上式的离散和将变为连续积分，于是上式的离散和将变为连续积分，于是信号的冲激分解信号的冲激分解：任意信号：任意信号f(t)f(t)可以看成无穷多个强度为可以看成无穷多个强度为f(f()d)d的冲激信号的线性组合。的冲激信号的线性组合。冲激函数的抽样性质冲激函数的抽样性质10三、用卷积积分计算三、用卷积积分计算LTILTI系统的零状态响应系统的零状态响应
7、利用利用LTILTI系统的时不变性系统的时不变性利用利用LTILTI系统的齐次性系统的齐次性利用利用LTILTI系统的叠加性系统的叠加性系统的零状态响应可以通过求输入信号系统的零状态响应可以通过求输入信号f(tf(t) )与系统冲激与系统冲激响应响应h(th(t) )的积分来获得。的积分来获得。h(th(t) )是系统特性的描述和表征。是系统特性的描述和表征。如系统的因果性和稳定性，可分别表示为如系统的因果性和稳定性，可分别表示为因果性因果性 h(th(t)=0)=0，t0t0稳定性稳定性 11四、卷积的计算四、卷积的计算图形扫描法图形扫描法1213下页动画演示卷积下页动画演示卷积14卷积动画
8、卷积动画15五、卷积积分的性质五、卷积积分的性质（1 1）交换律：）交换律：（2 2）分配律：）分配律：（3 3）结合律：）结合律：16方法一：方法一：17方法二：方法二：根据阶跃函数的自变量范围改变积分范围！根据阶跃函数的自变量范围改变积分范围！18方法三：由卷积的交换律方法三：由卷积的交换律19（4 4）卷积的微分性质）卷积的微分性质（5 5）卷积的积分性质）卷积的积分性质（6 6）由两性质可得）由两性质可得一般形式一般形式i i、j j为为正整数正整数时，表示时，表示求导的阶数求导的阶数；为；为负整数负整数时，表示时，表示重积分的次数重积分的次数。20（7 7）含有冲激函数的卷积）含有冲
9、激函数的卷积证明：证明：证毕！证毕！21例：如图（例：如图（a a）所示一）所示一LTILTI，其输入，其输入f(t)f(t)和冲激响应和冲激响应h(t)h(t)分别表示分别表示为，波形分别如图（为，波形分别如图（b b）、（）、（c c）所示，试求系统的零状态响应。）所示，试求系统的零状态响应。2223课堂小结课堂小结n如何从电路图中得到如何从电路图中得到LTILTI系统的微分方程表示式。系统的微分方程表示式。n两种求解微分方程的时域求解方法：两种求解微分方程的时域求解方法：经典时域分析法：经典时域分析法：n齐次解和特解齐次解和特解n零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应卷积积分法（零状态响应）卷积积分法（零状态响应）n冲激响应冲激响应n阶跃响应阶跃响应n卷积积分的定义、图解法、性质卷积积分的定义、图解法、性质24作作 业业n（1）n（1）、（）、（5）n（3）、（）、（4）25Thanks for listening!26
