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1、 平面向量的数量积平面向量的数量积 一般地，实数一般地，实数与向量与向量a a的积是一个向量，的积是一个向量，记作记作aa，它的长度和方向规定如下：，它的长度和方向规定如下：(1) |a|=| |a|(1) |a|=| |a|(2) (2) 当当00时时,a,a的方向与的方向与a a方向相同；方向相同； 当当00时时,a,a的方向与的方向与a a方向相反；方向相反； 特别地，当特别地，当=0=0或或a=0a=0时时, a=0, a=0复习复习:1.:1.数乘的定义数乘的定义 设设a,b为任意向量为任意向量,为为任意实数，则有：任意实数，则有： (a)=() a (+) a=a+a (a+b)=
2、a+b2.2.数乘的运算律数乘的运算律 引入引入:我们学过功的概念，即一个物体在我们学过功的概念，即一个物体在力力F的作用下产生位移的作用下产生位移s（如图）（如图）FS力力F所做的功所做的功W可用下式计算可用下式计算 W=|F| |S|cos 其中其中是是F与与S的夹角的夹角从力所做的功出发，我们引入向量从力所做的功出发，我们引入向量数量积数量积的概念。的概念。 两个非零向量两个非零向量a 和和b ，作作 ， ,则则 叫做向量叫做向量a 和和b 的的夹角夹角OABabOABba若若 ，a 与与b 同向同向OABba若若 a 与与b 反向反向OABab若若 ，a 与与b 垂直垂直，记作记作1.
3、向量的夹角练习练习1、如图，等边三角形中，求、如图，等边三角形中，求 （1）AB与与AC的夹角；的夹角； （2）AB与与BC的夹角。的夹角。ABC 通过平移通过平移变成共起点！变成共起点！2.平面向量的数量积的定义平面向量的数量积的定义规定：零向量与任意向量的数量积为规定：零向量与任意向量的数量积为0，即即 0 已已知知两两个个非非零零向向量量a 和和b ，它它们们的的夹夹角角为为 ，我我们们把把数数量量 叫叫做做a 与与b 的的数量积（或内积），记作数量积（或内积），记作a b ，即即注意：注意： (1)两两向向量量的的数数量量积积是是一一个个数数量量，而而不不是是向量，符号由夹角决定向量，
4、符号由夹角决定(2)a b不能写成不能写成ab (3)向量的数量积与实数积的区别向量的数量积与实数积的区别: 2）对于实数）对于实数a、b、c（b0），若），若a b=b c，则则a=c , 对于向量对于向量a，b，c , 此式是否仍成立呢？此式是否仍成立呢？ 1) 对实数对实数a0,若若a b=0，则，则b=0，但对向量，但对向量a0时，若时，若a b=0 , 能不能推出能不能推出b是零向量？是零向量？ 3）对于实数）对于实数a、b、c，有，有（a b） c=a （b c） 但对于向量但对于向量a，b，c来说，此式是否一定成立？来说，此式是否一定成立？ 解：解：ab=|a| |b|cos=5
5、4cos120 =54（-1/2）= 10。1. 已知已知|a|=5，|b|=4，a与与b的夹的夹角角=120，求，求ab。2 . 已知已知a=(1,1),b=(2,0),求求ab。解：解： |a| =2, |b|=2, =45 ab=|a| |b|cos= 22cos45 = 2练习练习2:2: 物理上力所做的功实际上是将力正交分解，物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方向上的力做功只有在位移方向上的力做功sF过点过点B作作垂直于直线垂直于直线OA，垂足为垂足为 ，则则| b | cosOABabOABab| b | cos叫向量叫向量b 在在a 方向上的投影方向上的投影为锐角时
6、，为锐角时，| b | cos0为钝角时，为钝角时，| b | cos0为直角时，为直角时，| b | cos=0BOAab我们得到我们得到ab的的几何意义几何意义：数量积数量积ab等于等于a的长度的长度|a|与与b在在a的方的方向上的投影向上的投影|b|cos的乘积。的乘积。3.3.平面向量的数量积的平面向量的数量积的重要性质重要性质: :ab|a|b|（4）cos=（5）|ab|a|b|（3）当）当a与与b同向时，同向时，ab=|a|b|当当a与与b反向时，反向时，ab=|a| |b|特别地，特别地，aa =|a|2或或|a|=aa 。（2）a b ab=0 设设a，b都是非零向量，都是非
7、零向量，e是与是与b方向相同方向相同的单位向量，的单位向量，是是a与与e的夹角，则的夹角，则 （1）ea=ae = |a| cos1若若a=0，则对任一向量，则对任一向量b ，有，有a b=02若若a0，则对任一非零向量，则对任一非零向量b,有有a b03.若若a0，a b=0,则则b=04.若若a b=0,则则a b中至少有一个为中至少有一个为05.若若a0，a b= b c,则则a=c6.若若a b= a c ,则则bc,当且仅当当且仅当a=0时成立时成立7.对任意向量对任意向量a , b ,c,有有(a b)ca (b c)8.对任一向量对任一向量a,有有a2=|a|2 练习练习3：判断
8、正误：判断正误( ）( ）( ）( ）( ）( ）( ）( ）4、平面向量数量积的运算律、平面向量数量积的运算律 已知向量已知向量 和实数和实数 ,则向量的数量积满足：则向量的数量积满足：（1）（交换律）（交换律）（2）（数乘结合律）（数乘结合律）（3）（分配律）（分配律）注意：注意：数量积运算不满足结合律消去律数量积运算不满足结合律消去律（1）交换律：）交换律：证明：证明： 设设 夹角为夹角为 ， 则则所以所以（2）若若证明：证明：若若（3）分析：分析： 12A1B1AOBC（3）12ABOA1B1C证明：在平面内取一点证明：在平面内取一点 ，作，作（即（即 ）在）在 方向上的投影等于方向上
9、的投影等于在在 方向上的投影的和，方向上的投影的和，即即即即5、平面向量数量积的常用公式、平面向量数量积的常用公式 求证：（求证：（1） （2）证明：（证明：（1）（2）例例2、已知、已知与与 的夹角为的夹角为60，求：（求：（1） 在在 方向上的投影；方向上的投影； （2） 在在 方向上的投影；方向上的投影； （3） =2=3解：（解：（3）练习：练习：（ ）A 锐角三角形锐角三角形C 钝角三角形钝角三角形D 不能确定不能确定B 直角三角形直角三角形D（ ）CA A 锐角三角形锐角三角形B B 直角三角形直角三角形C C 钝角三角形钝角三角形D D 不能确定不能确定课堂小结：课堂小结：课堂小结：课堂小结： 本节课我们主要学习了平面向量数量积的性质本节课我们主要学习了平面向量数量积的性质及其应用，常见的题型主要有：及其应用，常见的题型主要有：1、直接计算数量积（定义式以及夹角的定义）、直接计算数量积（定义式以及夹角的定义）2、由数量积求向量的模、由数量积求向量的模4、运用数量积的性质判定两向量是否垂直、运用数量积的性质判定两向量是否垂直3、由数量积确定两向量的夹角、由数量积确定两向量的夹角5、判断三角形的形状、判断三角形的形状
