高中数学解题的理论与技巧第一篇理论篇

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1、高中数学解题方法与技巧专题研究高中数学解题方法与技巧专题研究 数学究竟是由什么组成的？定理吗？证明数学究竟是由什么组成的？定理吗？证明吗？概念？定义？理论？公式？诚然，没吗？概念？定义？理论？公式？诚然，没有这些组成部分，数学就不存在，这些都有这些组成部分，数学就不存在，这些都是数学的必要组成部分，但是，它们中的是数学的必要组成部分，但是，它们中的任何一个都不是数学的心脏，数学家存在任何一个都不是数学的心脏，数学家存在的主要理由就是解决问题。因此，数学的的主要理由就是解决问题。因此，数学的真正的组成部分是问题和解，问题才是数真正的组成部分是问题和解，问题才是数学的心脏。学的心脏。 哈尔莫斯哈尔

2、莫斯 掌握数学就意味着善于解题，解题就是在掌握数学就意味着善于解题，解题就是在原先是隔开的事物或想法（已有的事物与原先是隔开的事物或想法（已有的事物与要求的事物、已知量和未知量、假设与结要求的事物、已知量和未知量、假设与结论）之间去找出联系论）之间去找出联系 这种联系就像一这种联系就像一座桥座桥 像是一条由一系列结论组成的链。像是一条由一系列结论组成的链。解题是一种本领，不仅要能解决普通的问解题是一种本领，不仅要能解决普通的问题，而且要能解决需要某种程度的独立思题，而且要能解决需要某种程度的独立思考、判断力、独创性和想象力的问题。考、判断力、独创性和想象力的问题。 波利亚波利亚 美国全国数学管

3、理者大会在美国全国数学管理者大会在21世纪世纪的数学基础（的数学基础（1988）中指出：学习）中指出：学习数学的主要目的在于问题解决。并把数学的主要目的在于问题解决。并把“问题解决问题解决”定义为定义为“将先前已获得将先前已获得的知识用于新的、不熟悉的情境的过的知识用于新的、不熟悉的情境的过程。这就是说，问题解决是一个发现程。这就是说，问题解决是一个发现的过程、探索的过程、创新的过程。的过程、探索的过程、创新的过程。 中学数学教学的首要任务就是加强解中学数学教学的首要任务就是加强解题能力的训练。解题是一种实践性的题能力的训练。解题是一种实践性的技能，没有万能的方法，只能采用探技能，没有万能的方

4、法，只能采用探索、尝试或试验的方法，只能通过模索、尝试或试验的方法，只能通过模仿和实践来学到。仿和实践来学到。 波利亚波利亚 寻找题解不能教会，而只能靠自己学寻找题解不能教会，而只能靠自己学会。会。 弗里德曼弗里德曼 学数学如同下围棋，必须实践学数学如同下围棋，必须实践(做习题做习题)，必须和较高水平的人切磋，必须和较高水平的人切磋(做有一做有一定难度的题定难度的题)，棋力，棋力(数学水平数学水平)才有长才有长进此外，还需揣摩成局进此外，还需揣摩成局(学习定理的学习定理的证明或著名问题的解法证明或著名问题的解法)，领会其精髓，领会其精髓(深刻的数学思想深刻的数学思想) 。 单墫单墫开设数学课程

5、的主要目的是教会学生如何开设数学课程的主要目的是教会学生如何思考。思考。“教会思考教会思考”意味着数学教师不仅仅应该意味着数学教师不仅仅应该传授知识，而且也应当去发展学生运用所传授知识，而且也应当去发展学生运用所传授的知识的能力传授的知识的能力 数学的发现第二卷数学的发现第二卷 教师必须通晓他所要讲授的内容。他应该教师必须通晓他所要讲授的内容。他应该指导学生如何解题。但是，如果连他自己指导学生如何解题。但是，如果连他自己都搞不清楚，又怎么能教他的学生呢？教都搞不清楚，又怎么能教他的学生呢？教师应该提高学生们的才智和推理能力；教师应该提高学生们的才智和推理能力；教师应该能发现并鼓励创造性的见解。

6、但是，师应该能发现并鼓励创造性的见解。但是，教师往往对自己所学的课程并没有充分掌教师往往对自己所学的课程并没有充分掌握，而且也没有考虑到如何发扬他自己的握，而且也没有考虑到如何发扬他自己的技能、推理能力、解题能力以及创造性。技能、推理能力、解题能力以及创造性。依我看，这就是现在对中学数学教师的培依我看，这就是现在对中学数学教师的培养中存在的最大缺陷。养中存在的最大缺陷。 波利亚波利亚 应当给学生以适合他们程度的问题去应当给学生以适合他们程度的问题去引起他们的好奇心，并且用一些吸引引起他们的好奇心，并且用一些吸引人的问题来帮助他们解题，这样做会人的问题来帮助他们解题，这样做会引起学生们对独立思考

7、的兴趣并教给引起学生们对独立思考的兴趣并教给他们一些方法。他们一些方法。 波利亚波利亚 数学解题案例渗透着对特定数学问题数学解题案例渗透着对特定数学问题的深刻反思的深刻反思,反映了数学解题实践的经反映了数学解题实践的经验与方法验与方法,蕴涵着一定程度的理论原理蕴涵着一定程度的理论原理,是了解解题教学的窗口是了解解题教学的窗口,数学问题解决数学问题解决的源泉的源泉,是数学解题理论的故乡是数学解题理论的故乡,是数是数学教师发展的阶梯学教师发展的阶梯. 1995年北京文科高考状元段楠说年北京文科高考状元段楠说:“我我能学好数学是背例题背出来的能学好数学是背例题背出来的.我不喜我不喜欢题海战术欢题海战

8、术,我喜欢从每一种类型的题我喜欢从每一种类型的题中找出一两道典型中找出一两道典型“背背”下来下来.刚开始刚开始的例题可能不会的例题可能不会,但但“背背”过一两次过一两次,理解之后理解之后,再看到这种类型就拿着再看到这种类型就拿着“例例题题”往里套了往里套了.” 成功的数学家大都有乐而不疲多做题的经历成功的数学家大都有乐而不疲多做题的经历. 解题就是把题归结为已经解过的题解题就是把题归结为已经解过的题. 前苏联著名数学家雅诺夫斯卡娅前苏联著名数学家雅诺夫斯卡娅 寻找题解就好像去抓石堆里的老鼠寻找题解就好像去抓石堆里的老鼠.这有两这有两种方法种方法:一种是可以把这个石堆的石头一块一种是可以把这个石

9、堆的石头一块接一块地逐渐地搬开接一块地逐渐地搬开,直到露出老鼠来直到露出老鼠来.这这时时,再扑上去再扑上去,抓住它抓住它.另一种就是围绕石堆另一种就是围绕石堆不停止地来回走动不停止地来回走动,并留心观察并留心观察,看看什么看看什么地方露出老鼠尾巴没有地方露出老鼠尾巴没有.一旦发现老鼠尾巴一旦发现老鼠尾巴,就用手抓住它就用手抓住它,并把老鼠从石堆里拖出来并把老鼠从石堆里拖出来. 前苏联著名数学家塔尔塔科夫斯基前苏联著名数学家塔尔塔科夫斯基 在数学教学中，出于巩固知识内容和在数学教学中，出于巩固知识内容和 熟练常规思路的目的，大多使用结构熟练常规思路的目的，大多使用结构 良好的封闭题，其内容是熟知

10、的，形良好的封闭题，其内容是熟知的，形 式是标准的，方法是现成的，答案是式是标准的，方法是现成的，答案是确定的，条件恰好不多不少，学生通确定的，条件恰好不多不少，学生通过对教材的模仿和操作性练习，基本过对教材的模仿和操作性练习，基本上就能完成的常规性上就能完成的常规性“练习题练习题”。例例1: (1995年全国高考数学理科题年全国高考数学理科题) 在复平面上在复平面上,一个正方形的四个顶点按照逆一个正方形的四个顶点按照逆 时针方向依次为时针方向依次为Z1,Z2,Z3,O(其中其中O是原点是原点), 已知已知Z2复数对应复数对应 ,求求Z1和和Z3对应对应的复数的复数. y Z2 Z3 Z1 o

11、 x 解法解法1: 如图如图,由复数乘法的几何意义有由复数乘法的几何意义有解法解法2:由复数运算的几何意义有由复数运算的几何意义有加减消元即得加减消元即得.例例2: （1999年全国理科高考题）年全国理科高考题）若若则则 ( ) A. 1 B. -1 C. 0 D. 2 例例3: (2004年天津理科高考题年天津理科高考题)若若则则例例4: (2007年安徽高考数学题年安徽高考数学题)已知已知则则 ( )例例5: 已知点已知点P在椭圆在椭圆b2x2+a2y2=a2b2上上,F,F 为这曲线的焦点为这曲线的焦点, , 的的 面积为面积为S,求证求证:解解: 由由 , 得得 ,则则例例6：“糖水加

12、糖变甜了糖水加糖变甜了”，请以这一生活常，请以这一生活常识为背景提炼出一个数学命题，然后给出识为背景提炼出一个数学命题，然后给出严格的数学证明。严格的数学证明。答案：若答案：若ba0,m0，则，则a/ba10, b2a20,则有则有a1/b1a2/b2 a1/b1a1+a2/b1+b2a2/b2.拓展情境拓展情境3:取浓度不等的两杯糖水，它们有取浓度不等的两杯糖水，它们有一个平均浓度，合在一起后又有一个浓度，一个平均浓度，合在一起后又有一个浓度，这两个浓度哪个大？这两个浓度哪个大？答案：这是答案：这是 一个有挑战性的问题，需比较一个有挑战性的问题，需比较 与与 的大小。的大小。变式变式2：（：

13、（1989年广东数学高考题）年广东数学高考题） 如果如果0mbb0),自中心作两自中心作两条互相垂直的弦条互相垂直的弦AC,BD.顺次连结顺次连结A,B,C,D得得一四边形一四边形,记其面积为记其面积为S,在所有这样的四边形在所有这样的四边形中中,求求S的最大值的最大值.解解:由对称性知由对称性知,只须求出只须求出AOB的面积的面积.设设A的坐的坐标为标为 ,( ),由由OAOB得得B的坐标为的坐标为则则S=4SAOB=2OAOBOA2+OB2=(a2cos2+ b2sin2)+ (a2sin2+ b2cos2)=a2 + b2例例8:求函数求函数 (a0)的最大值与最小值的最大值与最小值.

14、解解:题目的结构像斜率公式题目的结构像斜率公式,故取故取A(a2x2,ax), B(-2,1),则则A在抛物线在抛物线y2=x上上,问题转化为求问题转化为求抛物线上动点抛物线上动点A与定点与定点B的连线的斜率的最大的连线的斜率的最大值与最小值值与最小值.设过设过B(-2,1)的直线方程为的直线方程为y=k(x+2)+1,代入代入抛物线方程抛物线方程y2=x得得 其判别式非负其判别式非负解得解得 ,所以最大值为所以最大值为 ,最小最小值值为为例例9:设设,是已知的复数是已知的复数(|(|1),解关于解关于z的方程的方程解解:对已知式求共轭复数对已知式求共轭复数与上式联立可解得与上式联立可解得例例

15、10:(1995年数学高考题年数学高考题) 等差数列等差数列an, bn的前的前n项和分别为项和分别为Sn与与Tn,若若 ,则则 等于等于( )解解:由极限的性质有由极限的性质有例例11: (1992年数学高考理科题年数学高考理科题)在在(x2+3x+2)5的展开式中的展开式中x的系数为的系数为( )A.160 B. 240 C. 360 D. 800B.解解:因为因为x2乘以式中的另两项不会产生一乘以式中的另两项不会产生一次项次项C.x,故确定故确定x的系数与的系数与x2项无关项无关,只须考虑只须考虑(3x+2)5展开式中的展开式中的x项就够了项就够了:C54(3x) 24=240x,选B.

16、例例12: (1992年数学高考题年数学高考题)如果函数如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数对任意实数t都有都有f(2+t)=f(2-t),那么那么( )A.f(2)f(1)f(4) B. f(1)f(2)f(4)B.C. f(2)f(4)f(1) D. f(4)f(2)0, 根据椭圆的定义根据椭圆的定义,原点到两焦点距离之和为原点到两焦点距离之和为2a,则则2a= | 0-z1|+ | 0-z2|= | z1|+ | z2|= 2| z1| 例例10: 已知已知abc0, , ,m,n Z,且且 , 求求证:证明明: 已知表明不同的两点已知表明不同的两点都在直都在直线ax+by=c上上

17、,但但A,B又决定一条直又决定一条直线方程方程即即因因为两点确定唯一一条直两点确定唯一一条直线,所以所以,上述两条直上述两条直线重合重合,得得对应系数成比例系数成比例,即得即得证.例例11: (2004年广东数学高考题年广东数学高考题)设直线设直线 与椭圆与椭圆 相交于相交于A、B两点两点,又与双曲线又与双曲线x2-y2=1相交于相交于C、D两点两点, C、D三等分线段三等分线段AB,求直线求直线 的方程的方程.解解:从题设的椭圆方程与双曲线方程可知从题设的椭圆方程与双曲线方程可知,它们的图形既关于它们的图形既关于x轴轴,又关于又关于y轴对称轴对称,既然既然C、D三等分线段三等分线段AB,则有

18、则有AC=CD=DB,则直则直线线 也应该关于也应该关于x轴、轴、 y轴或坐标原点对称轴或坐标原点对称.设直线设直线 的方程为的方程为y=kx+b,则则(1)当当k=0时时,y=b,直线直线 轴轴.分别把分别把y=b代代入入椭圆与双曲线的方程得椭圆与双曲线的方程得因为因为AB=3CD,所以所以x2-x1=3(x4-x3),即即 ,从而从而 ,所以直线所以直线的方程为的方程为(2)当斜率当斜率k不存在时不存在时,直线直线 的方程的方程x=c,直线直线 轴轴,类似类似(1)可得可得,直线直线 的方程为的方程为(3)当斜率当斜率k0时时,由图形的对称性可知由图形的对称性可知b=0,则则y=kx,此时

19、直线此时直线 通过坐标原点通过坐标原点,类似类似(1)得得根据根据x2-x1=3(x4-x3),可得可得 ,从而直线从而直线 的方程为的方程为例例12: 对对a,b,c,d,mR,m-1,且且(a-c)2+ (b-d)20,求证求证:证法证法1:由柯西不等式有由柯西不等式有证法证法2:在坐标平面上取点在坐标平面上取点A(a,b),B(c,d),直线直线AB上上的其他点为的其他点为 又与又与AB平行且过原点的直线为平行且过原点的直线为l:(b-d)x-(a-c)y=0.则则M到到l的距离不大于的距离不大于OM,得得 ,得证得证.例例13: (1994年全国数学高考文科试题年全国数学高考文科试题)

20、设数列设数列an的前的前n项和为项和为Sn,若对于所有的若对于所有的正整数正整数n,都有都有 ,证明证明: an是是等差数列等差数列.证明证明:当当n2时时,变形为变形为而为了证明而为了证明an是等差数列是等差数列,只须证只须证(1,a1),(n-1, an-1), (n,an)3点共线点共线,写成表达式就是写成表达式就是 ,只需将上式两边同时减去只需将上式两边同时减去(n-2)a1即得证即得证.即即例例14:设设mn,mn 0,a1, 求求分析分析:由已知有由已知有 , ,代入求值式代入求值式,数字繁多数字繁多,运算运算复杂复杂,若用若用x表示表示a,则由已知有则由已知有 , ,则则得证得证

21、.例例15: 当正数当正数a为何值时为何值时,抛物线抛物线 与椭圆与椭圆 有有4个不同的交点个不同的交点.解解:作出抛物线与椭圆的图形如图作出抛物线与椭圆的图形如图,抛物线与抛物线与 y o xx轴的交点为轴的交点为M(4,0), M1(-4,0);椭圆与椭圆与x轴的轴的交点为交点为A(a,0), A1(-a,0).要它们有要它们有4个交点个交点,须须A,A1位于位于M, M1之外之外,故得故得a4.评析评析:由于图形未反映出精确的数量关系由于图形未反映出精确的数量关系,直观造成直观造成了错觉了错觉,以为以为“A,A1位于位于M, M1之外之外”是两曲线是两曲线有有4个交点的充要条件个交点的充

22、要条件.其实其实,这只是充分而不必要条件这只是充分而不必要条件.事实上事实上,联立两方程消去联立两方程消去x得关于得关于y的二次方程的二次方程a2y2-36y+(144-9a2)=0.其两根在其两根在(-3,3)内内.记记f(y)= a2y2-36y+(144-9a2),这是一个开口向上的这是一个开口向上的抛物线抛物线.方程方程f(y)= 0的两根在的两根在(-3,3)内的充要条件内的充要条件为为 , 解得解得例例16:已知椭圆已知椭圆 ,直线直线l: .P是是l上一点上一点,射线射线OP交椭圆于点交椭圆于点R,又点又点Q在在OP上上且满足且满足|OQ|OP|= |OR|2.当点当点P在在L上

23、移动时上移动时,求点求点Q的轨迹的轨迹,并说明轨迹是什么曲线并说明轨迹是什么曲线.解解:问题的难度在于问题的难度在于Q(x,y)同时受到两个动点同时受到两个动点P(xP,yP), R(xR,yR)的约束的约束,为了化解这个难为了化解这个难点点,我们引进辅助参数我们引进辅助参数 (0,1),使使 则则 ,则则 ,分别代入所在的曲线方程得分别代入所在的曲线方程得相减即得相减即得Q的轨迹方程的轨迹方程其中其中0知知,不包括原点不包括原点.例例17: 已知已知 ,求证求证:证法证法1:已知条件表明点已知条件表明点 在单位在单位圆上圆上,又由显然的恒等式又由显然的恒等式知知,A点在过点在过B(cos,s

24、in)(也在单位圆上也在单位圆上)的的切线切线xcos+ysin=1上上.由切点的唯一性得由切点的唯一性得A,B重合重合.则则 ,即即代入代入则则得得证证.证法证法2: 由平均不等式有由平均不等式有则则所以所以代入即得证代入即得证. 货源充足和组织良好的知识仓库是一个解货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本题者的重要资本.解题所做的脑力工作就在解题所做的脑力工作就在于回忆他的经验中用得上的东西于回忆他的经验中用得上的东西,并且和他并且和他的解题思维联系起来的解题思维联系起来. 如果你希望从自己的努力中如果你希望从自己的努力中,取得最大的收取得最大的收获获,就要从已经解决了的问题中找

25、出那些对就要从已经解决了的问题中找出那些对将来的问题可能有用的特征将来的问题可能有用的特征.解题中解题中,一个一个好念头的基础是过去的经验和已有的知识好念头的基础是过去的经验和已有的知识. 波利亚波利亚 教学生解题是意志的教育教学生解题是意志的教育.当学生求解那些当学生求解那些对他来说并不太容易的题目时对他来说并不太容易的题目时,他学会了败他学会了败而不馁而不馁,学会了赞赏微小的进展学会了赞赏微小的进展,学会了等学会了等待主要的念头待主要的念头,学会了当主要念头出现后全学会了当主要念头出现后全力以赴力以赴.如果学生在学校里没有机会尝尽为如果学生在学校里没有机会尝尽为求解而奋斗的喜怒哀乐求解而奋

26、斗的喜怒哀乐,那么他的数学教育那么他的数学教育就在最重要的地方失败了就在最重要的地方失败了. 波利亚波利亚 “怎样解题表怎样解题表”弄弄清清题题意意拟拟定定计计划划执执行行计计划划检检验验回回顾顾变换变换, ,推广推广, ,类类比比, ,作出新的作出新的数学发现数学发现. .概概括括方方法法论论因因素素, ,建建立立数数学学模型模型. . 弄清问题弄清问题1) 已知是什么已知是什么? 2) 未知是什么未知是什么? 3) 题目要求你干什么题目要求你干什么? 4) 可否画一个图形可否画一个图形? 5) 可否数学化可否数学化?拟定计划拟定计划6)你能否一眼看出结果你能否一眼看出结果?7)是否见过形式

27、上稍有不同的题目是否见过形式上稍有不同的题目?8) 你是否知道与此有关的题目你是否知道与此有关的题目,是否知道用得上的是否知道用得上的定义定义,定理公式定理公式?9) 有一个与你现在的题目有关且你已解过的题目有一个与你现在的题目有关且你已解过的题目,你能利用它吗你能利用它吗?10) 已知条件已知条件A,B,C可否转化可否转化?可否建立一个等可否建立一个等式或不等式式或不等式?11) 你能否引入辅助元素你能否引入辅助元素?12) 如果你不能解这个题如果你不能解这个题,可先解一个有关的题可先解一个有关的题,你你能否想出一个较易下手的能否想出一个较易下手的,较一般的较一般的,特殊的特殊的,类类似的题

28、似的题?实现计划实现计划13)把你想好的解题过程具体地用术语把你想好的解题过程具体地用术语,符号符号,图形图形,式子表述出来式子表述出来.14)修正解题方向以及原来拟定的不恰当的方修正解题方向以及原来拟定的不恰当的方案案.15)解题要求是解题要求是:严密具有逻辑性严密具有逻辑性.回顾反思回顾反思16)你能拟定其它解题方案吗你能拟定其它解题方案吗?17)你能利用它吗你能利用它吗?你能用它的结果吗你能用它的结果吗?你能用你能用它的方法吗它的方法吗?18)你能找到什么方法检验你的结果吗你能找到什么方法检验你的结果吗? 正如波利亚所说，这是正如波利亚所说，这是“领会方法的最佳领会方法的最佳时机时机”，

29、“当读者完成了任务，而且他的当读者完成了任务，而且他的体验在头脑中还是新鲜的时候，去回顾他体验在头脑中还是新鲜的时候，去回顾他所做的一切，可能有利于探究他刚才克服所做的一切，可能有利于探究他刚才克服困难的实质，他可以对自己提出许多有用困难的实质，他可以对自己提出许多有用的问题：的问题：关键在哪里？重要的困难是什关键在哪里？重要的困难是什么？什么地方我可以完成得更好些？我为么？什么地方我可以完成得更好些？我为什么没有觉察到这一点？要看出这一点我什么没有觉察到这一点？要看出这一点我必须具备哪些知识？应该从什么角度去考必须具备哪些知识？应该从什么角度去考虑？这里有没有值得学习的诀窍可供下次虑？这里有

30、没有值得学习的诀窍可供下次遇到类似问题时应用？遇到类似问题时应用？”怎样解题表是波利亚在分解解题的思维怎样解题表是波利亚在分解解题的思维过程得到的，看似很平常的解题步骤或方过程得到的，看似很平常的解题步骤或方法，其实却已包含几代人的智慧结晶和经法，其实却已包含几代人的智慧结晶和经验总结。在这张包括验总结。在这张包括“弄清问题弄清问题”、“拟拟定计划定计划”、“实现计划实现计划”和和“回顾反思回顾反思”四大步骤的解题全过程的解题表中，对第四大步骤的解题全过程的解题表中，对第二步即二步即“拟定计划拟定计划”的分析是最为引人入的分析是最为引人入胜的。胜的。 他把寻找并发现解法的思维过程分解为五他把寻

31、找并发现解法的思维过程分解为五条建议和二十三个具有启发性的问题，它条建议和二十三个具有启发性的问题，它们就好比是寻找和发现解法的思维过程进们就好比是寻找和发现解法的思维过程进行分解，使我们对解题的思维过程看得见，行分解，使我们对解题的思维过程看得见，摸得着，易于操作。摸得着，易于操作。 波利亚推崇探索法，他认为现代探索法力波利亚推崇探索法，他认为现代探索法力求了解解题过程，特别是解题过程中典型求了解解题过程，特别是解题过程中典型有用的智力活动。他说怎样解题这本有用的智力活动。他说怎样解题这本书就是实现这种计划的初步尝试，书就是实现这种计划的初步尝试，“怎样怎样解题表解题表”实质上就是试图诱发灵

32、感的实质上就是试图诱发灵感的“智智力活动表力活动表”。波利亚的怎样解题表的。波利亚的怎样解题表的精髓是启发你去联想。联想什么？怎样联精髓是启发你去联想。联想什么？怎样联想？让我们看一看他在表中所提出的建议想？让我们看一看他在表中所提出的建议和启发性问题吧。和启发性问题吧。 “你以前见过它吗？你是否见过相同的问题你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理问题？你是否知道一个可能用得上的定理？”波利亚说他在写这些东西时，脑波利亚说他在写这些东西时，脑子里重现了他过去在研究数学时解决问题子里重现了他

33、过去在研究数学时解决问题的过程，实际上是他解决和研究问题时的的过程，实际上是他解决和研究问题时的思维过程的总结。这正是数学家在研究数思维过程的总结。这正是数学家在研究数学，特别是研究解题方法时的优势所在，学，特别是研究解题方法时的优势所在，绝非绝非“纸上谈兵纸上谈兵”。 我们表中的问题和建议并不直接提到念头；我们表中的问题和建议并不直接提到念头；但实际上，所有的问题和建议都与它有关。但实际上，所有的问题和建议都与它有关。了解问题是为好念头的出现作准备；制定了解问题是为好念头的出现作准备；制定计划是试图引发它；在引发之后，我们实计划是试图引发它；在引发之后，我们实现它；回顾此过程和求解的结果，我

34、们是现它；回顾此过程和求解的结果，我们是试图更好地利用它。试图更好地利用它。 波利亚波利亚 可能会有这样的情况：一个学生想出了一可能会有这样的情况：一个学生想出了一个异常好的念头，于是跳过所有的预备步个异常好的念头，于是跳过所有的预备步骤，解答就脱口而出了。如此幸运的念头骤，解答就脱口而出了。如此幸运的念头当然是求之不得的，但是也可能发生很不当然是求之不得的，但是也可能发生很不如愿和很不走运的事，即学生通过上述如愿和很不走运的事，即学生通过上述4阶阶段中的任何一个阶段都没有想出好念头。段中的任何一个阶段都没有想出好念头。老师为学生所能做的最大的好事是通过比老师为学生所能做的最大的好事是通过比较

35、自然的帮助，促使他自己想出一个好念较自然的帮助，促使他自己想出一个好念头。头。 波利亚波利亚 解题的成功要靠正确思路的选择，要靠从解题的成功要靠正确思路的选择，要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒。为了找出可以接近它的方向去攻击堡垒。为了找出哪个方面是正确的方面，哪一侧是好接近哪个方面是正确的方面，哪一侧是好接近的一侧，我们从各个方面、各个侧面去试的一侧，我们从各个方面、各个侧面去试验，我们变化命题。变化问题使我们引进验，我们变化命题。变化问题使我们引进了新的内容，从而产生了新的接触，产生了新的内容，从而产生了新的接触，产生了和我们问题有关的元素接触的新可能性。了和我们问题有关的元素接触的新可能性

36、。如果我们不用如果我们不用“题目变更题目变更”，几乎是不能，几乎是不能有什么进展的。有什么进展的。 波利亚波利亚 “解题系统解题系统”是波利亚解题思想的整体轮廓，是波利亚解题思想的整体轮廓，“分析解题过程分析解题过程”是波利亚解题思想的内是波利亚解题思想的内在核心，在核心，“念头诱发念头诱发”是波利亚解题思想是波利亚解题思想的外在表现，的外在表现，“问题转换问题转换”是波利亚解题是波利亚解题思想的具体实现，这张表体现了解题过程思想的具体实现，这张表体现了解题过程是积极思维活动的实质，也抓住了思维活是积极思维活动的实质，也抓住了思维活动中最富于创造性的成分动中最富于创造性的成分提出问题，提出问题

37、，并且为不断提出问题、不断解决问题的积并且为不断提出问题、不断解决问题的积极思维活动提供了一个合理的框架。极思维活动提供了一个合理的框架。 对于多数中学教师来说对于多数中学教师来说,他们最缺乏的是主他们最缺乏的是主动的、创造性的数学工作经验动的、创造性的数学工作经验,而没有一定而没有一定的独立思考、能动性和创新精神的独立思考、能动性和创新精神,也就谈不也就谈不上才智上才智.在数学里在数学里,才智比起仅仅具有知识才智比起仅仅具有知识更为重要更为重要,而且重要得多而且重要得多.中学不仅应当向中学不仅应当向学生传授知识学生传授知识,而且应当开发他们的才智而且应当开发他们的才智,他们的独立性、能动性和

38、创新精神他们的独立性、能动性和创新精神.因此因此,教师更应当具有某种创造性工作的经历教师更应当具有某种创造性工作的经历. 不能要求一般的教师都去从事某个非常高不能要求一般的教师都去从事某个非常高深的课题的研究深的课题的研究.所谓适当水平的创造性工所谓适当水平的创造性工作作,对大多数教师来说对大多数教师来说,就是解题就是解题,尤其是解尤其是解非常规性的数学问题非常规性的数学问题.这种问题并不要求超这种问题并不要求超出中学水平的知识出中学水平的知识,却要求一定程度的却要求一定程度的(有有时要求高度的时要求高度的)精力集中和判断能力精力集中和判断能力,需要需要发挥某种程度的主动性和创造性发挥某种程度

39、的主动性和创造性.解这种问解这种问题时题时,不仅有机会获得中学数学的全面知识不仅有机会获得中学数学的全面知识,而且能享受到发现的喜悦而且能享受到发现的喜悦. “如果你没有解过这样的问题如果你没有解过这样的问题;如果你如果你没有体验过发现的紧张与胜利没有体验过发现的紧张与胜利;如果如果,在多年执教后在多年执教后,你还没有在一个学生身你还没有在一个学生身上见到这种紧张与胜利上见到这种紧张与胜利,那么那么,去寻找去寻找其他的职业吧其他的职业吧,别再教数学了别再教数学了.” 波利亚波利亚例例18:已知已知 , 为锐角为锐角,试证试证:证法证法1:将条件变形为将条件变形为两边同乘两边同乘 ,再移项得再移

40、项得 (1)而而 ,则则结合结合(1)式得式得 ,则则证法证法2:由已知得由已知得即即 (1) (2)易知易知 时结论显然成立时结论显然成立.若若 ,由由(2)/(1)并整理得并整理得即即即即 ,由于由于 为锐角得为锐角得 ,即即 ,即即这与这与 矛盾矛盾,因此因此 ,结论成立结论成立.变题变题:已知已知 ( 为锐角为锐角,n为自然为自然数数),试证试证:分析分析:由由相加得相加得 ,则则例例19、若抛物线、若抛物线y=x2的所有的弦都不能被直线的所有的弦都不能被直线y=k(x-3)垂直平分垂直平分,试求常数试求常数k的取值范围的取值范围.解：设抛物线解：设抛物线y=x2上存在两点上存在两点(

41、x1, x12)和和(x2, x22)关于直线关于直线y=k(x-3)对称，则对称，则 即即 消去消去x2，得，得 ，因为因为k R ,所以所以 ,即即(2k+1)(6k2-2k+1)0 又又 恒成立恒成立,所以所以2k+11,a1, 求证求证: 分析分析:要证原不等式成立要证原不等式成立,只要证只要证即只要证即只要证即只要证即只要证即只要证即只要证由由a1及及(1-ak)(1-an-k) 0 (1kn-1)得证得证. 12条解题要诀条解题要诀单单墫墫 1 1要享受到解题的乐趣对解题有浓厚的兴趣，要享受到解题的乐趣对解题有浓厚的兴趣， 能有几分痴迷更好能有几分痴迷更好 2 2要有充足的信心要有

42、充足的信心 3 3要有百折不回的决心与坚韧不拔的毅力要有百折不回的决心与坚韧不拔的毅力 4 4要做要做100100道有质量的题目道有质量的题目 5 5反复探索，大胆地跟着感觉走反复探索，大胆地跟着感觉走 6 6从简单的做起从简单的做起 7 7从不同的角度看问题从不同的角度看问题 8 8学、思结合，发挥创造性，努力产生学、思结合，发挥创造性，努力产生“好想法好想法” 9 9设法创造条件，不断变更问题设法创造条件，不断变更问题1010引入适当字母，向基本量靠拢引入适当字母，向基本量靠拢1111力求简单自然，直剖核心力求简单自然，直剖核心1212注意总结注意总结参考资料参考资料波利亚著怎样解题波利亚

43、著怎样解题(阎育苏译阎育苏译).北京北京:科学出科学出版社版社,1982年年.波利亚著数学的发现第一卷波利亚著数学的发现第一卷,欧阳绛译欧阳绛译,北京北京:科学出版社科学出版社,1982年年.第二卷第二卷,刘远图等译刘远图等译,北京北京:科学出版社科学出版社,1987年年.波利亚著数学与猜想波利亚著数学与猜想(第一卷第一卷,李心灿等译李心灿等译,第二卷第二卷,李克尧等译李克尧等译)北京北京:科学出版社科学出版社1984年年.罗增儒著中学数学解题的理论与实践罗增儒著中学数学解题的理论与实践,南宁南宁:广西教育出版社广西教育出版社,2008年年.罗增儒著数学解题学引论罗增儒著数学解题学引论,西安西安:陕西师范大陕西师范大学出版社学出版社,2001年年.思考与练习思考与练习设计一个解决某类问题的解题表设计一个解决某类问题的解题表根据你的解题经历，选一个典型例子，详细介绍根据你的解题经历，选一个典型例子，详细介绍解题的具体过程解题的具体过程实践解题表实践解题表对解题表，谈谈你想说的任何看法，写一篇不少对解题表，谈谈你想说的任何看法，写一篇不少于于1000字的小论文字的小论文