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1、325242美妙的勾股定理美妙的勾股定理数形结合之美在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为 勾勾 ，下半部分称为，下半部分称为 股股 。我国古代学者把直角三角形。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为较短的直角边称为“勾勾”，较长的直角边称为，较长的直角边称为“股股”，斜边称为斜边称为“弦弦”. .勾勾股股勾股弦的定义勾股弦的定义勾股定理的由来这个定理在中国又称为这个定理在中国又称为“商高定理商高定理”，在外国称为，在外国称为“毕达哥拉毕达哥拉斯定理斯定理”。为什么一个定理有这么多名称呢？商高是公元前十一世。为什么一个定理有这么多名称
2、呢？商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。 在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作周髀算经周髀算经中记中记录着商高同周公的一段对话。商高说：录着商高同周公的一段对话。商高说：“故折矩，故折矩，勾广三，股修勾广三，股修四，经隅五四，经隅五。“什么是什么是”勾、股勾、股“呢？在中国古代，人们把弯曲成呢？在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为直角的手臂的上半部分称为“勾勾”，下半部分称为，下半部分称为“股股”。商高那。商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为段
3、话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3 3（短边）和（短边）和4 4（长边）时，径隅（就是弦）则为（长边）时，径隅（就是弦）则为5 5。以后人们就简单地把这个事。以后人们就简单地把这个事实说成实说成“勾三股四弦五勾三股四弦五”。由于勾股定理的内容最早见于商高的。由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫作话中，所以人们就把这个定理叫作 商高定理商高定理 。毕达哥拉斯（毕达哥拉斯（PythagorasPythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五世）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，纪的人，比商高晚出生五百多年比商高晚出生五百多年。希腊另一位数学家欧几。希腊另
4、一位数学家欧几里德（里德（EuclidEuclid，是公元前三百年左右的人）在编著，是公元前三百年左右的人）在编著几何原本几何原本时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为定理称为“毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理”，以后就流传开了，以后就流传开了。（为了庆祝这一定理。（为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百百牛定理牛定理”）走进数学史走进数学史 两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴
5、近人两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨和研究它的证明因此不断出现关于勾股定理的新证法和研究它的证明因此不断出现关于勾股定理的新证法1 1传说中毕达哥拉斯的证法传说中毕达哥拉斯的证法2 2赵爽弦图的证法赵爽弦图的证法4 4美国第美国第2020任总统茄菲尔德的证法任总统茄菲尔德的证法3 3刘徽的证法刘徽的证法勾股定理的证明勾股定理的证明5 5其他证法其他证法勾股定理是几何学中的明珠，勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人所以
6、它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论次地反复被人炒作，反复被人论证。有资料表明，关于勾股定理证。有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有的证明方法已有500500余种，仅我余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精
7、彩的证法。十多种精彩的证法。 在这数百种证明方法中，有在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常的因为证明者身份的特殊而非常著名。著名。 现在在网络上看到较多的是现在在网络上看到较多的是1616种种, ,包括前面的包括前面的6 6种种, ,还有还有: :返回 这棵树漂亮吗？如果在树上挂上这棵树漂亮吗？如果在树上挂上几串彩色灯泡，再挂上些小铃铛、小几串彩色灯泡，再挂上些小铃铛、小彩球、小礼盒、小的圣诞老人，是不彩球、小礼盒、小的圣诞老人，是不是更像一棵圣诞树是更像一棵圣诞树 也许有人会问：也许有人会问：“它与勾股定理它与勾股定理有
8、什么关系吗？有什么关系吗？”仔细看看，你会发现，奥妙在树仔细看看，你会发现，奥妙在树干和树枝上，整棵树都是由下方的这干和树枝上，整棵树都是由下方的这个基本图形组成的：个基本图形组成的：一个直角三角形一个直角三角形以及分别以它的每边为一边向外所作以及分别以它的每边为一边向外所作的正方形的正方形 这个图形有什么作用呢？不要小看它哦！古希腊的数学家毕达这个图形有什么作用呢？不要小看它哦！古希腊的数学家毕达哥拉斯就是利用这个图形验证了勾股定理哥拉斯就是利用这个图形验证了勾股定理 关于勾股定理的关于勾股定理的证明，明，现在人在人类保存下来的最早的保存下来的最早的文字文字资料是欧几里得（公元前料是欧几里得
9、（公元前300年左右）所著的年左右）所著的几几何原本何原本第一卷中的命第一卷中的命题47：“直角三角形斜直角三角形斜边上的正上的正方形等于两直角方形等于两直角边上的两个正方形之和上的两个正方形之和”其其证明是用明是用面面积来来进行的行的传说中毕达哥拉斯的证法传说中毕达哥拉斯的证法已知：如图，以在已知：如图，以在RtABC中，中，ACB=90，分别以，分别以a、b、c为为边向外作正方形边向外作正方形 求证：求证：a2 +b2=c2数数学学故故事事链链接接 相相传传两两千千五五百百年年前前，一一次次毕毕达达哥哥拉拉斯斯去去朋朋友友家家作作客客，发发现现朋朋友友家家用用砖砖铺铺成成的的地地面面反反映
10、映直直角角三三角角形形三三边边的的某某种种数数量量关关系系，同同学学们们，我我们们也也来来观观察察下下面面的的图图案案，看看看看你你能能发发现现什什么么？探探索索勾勾股股定定理理数学家毕达哥拉斯的发现：数学家毕达哥拉斯的发现：A、B、C的面积有什么关系？的面积有什么关系？SA+SB=SCABC探索勾股定理ABCS SA A=a=a2 2S SB B=b=b2 2S SC C=c=c2 2abca2+b2=c2设：直角三角形的三边长分别是设：直角三角形的三边长分别是a、b、c猜想猜想:两直角边两直角边a、b与斜边与斜边c之间的关系？之间的关系？SA+SB=SC探索勾股定理返回 S矩形矩形ADNM
11、2SADC又又正方形正方形ACHK和和ABK同底（同底（AK）、等高（即等高（即平行线平行线AK和和BH间的距离），间的距离）， S正方形正方形ACHK2SABK ADAB，ACAK，CADKAB， ADCABK 由此可得由此可得S矩形矩形ADNMS正方形正方形ACHK 同理可证同理可证S矩形矩形MNEBS正方形正方形CBFG S矩形矩形ADNMS矩形矩形MNEBS正方形正方形ACHKS正方形正方形CBFG 即即S正方形正方形ADEBS正方形正方形ACHKS正方形正方形CBFG ， 也就是也就是 a2+b2=c2传说中毕达哥拉斯的证法传说中毕达哥拉斯的证法证明：从证明：从RtABC的三边向外各
12、作一个正方形（如图），作的三边向外各作一个正方形（如图），作CNDE交交AB于于M，那么正方形，那么正方形ABED被分成两个矩形连结被分成两个矩形连结CD和和KB返回 由于矩形由于矩形ADNM和和ADC同同底（底（AD），等高，等高(即平行线即平行线AD和和CN间的距离间的距离)，刘徽在刘徽在九章算术九章算术中对勾股定理的证明：中对勾股定理的证明：勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也合成弦方之幂，开从其类，因就其余不移动也合成弦方之幂，开方除之，即弦也方除之，即弦也令正方形令正方形ABCD为朱方，正方为朱方，正方形形BEF
13、G为青方在为青方在BG间取一点间取一点H，使，使AH=BG，裁下，裁下ADH，移至，移至CDI，裁下，裁下HGF，移至，移至IEF，是为，是为“出入相补，各从其类出入相补，各从其类”，其余不动，则形成弦方正方形其余不动，则形成弦方正方形DHFI勾股定理由此得证勾股定理由此得证 刘徽的证法刘徽的证法返回 我国对勾股定理的证明采取的是割我国对勾股定理的证明采取的是割补法，最早的形式见于公元三、四世纪补法，最早的形式见于公元三、四世纪赵爽的赵爽的勾股圆方图注勾股圆方图注在这篇短文在这篇短文中，赵爽画了一张他所谓的中，赵爽画了一张他所谓的“弦图弦图”，其中每一个直角三角形称为，其中每一个直角三角形称为
14、“朱实朱实”，中间的一个正方形称为，中间的一个正方形称为“中黄实中黄实”，以弦为边的大正方形叫，以弦为边的大正方形叫“弦实弦实”，所以，如果以，所以，如果以a、b、c分别表示勾、分别表示勾、股、弦之长，股、弦之长，那么：那么： 赵爽弦图的证法赵爽弦图的证法得：得：c2=a2+ b2返回学过几何的人都知道勾股定理它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛学过几何的人都知道勾股定理它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种其中，美国第二十任总统伽菲余种其中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话尔德的证法
15、在数学史上被传为佳话总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是否总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是否定的事情的经过是这样的：定的事情的经过是这样的：1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德他走着走着，突然发赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时现附近的一个小石凳上，有两个小孩正
16、在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底而小声探讨由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形于是伽菲在干什么只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为形的两条直角边分别为3和和4，那么斜边长为多少呢？，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：伽菲尔德答到：“是是5
17、呀呀”小男孩又问道：小男孩又问道：“如果两条直角边分别为如果两条直角边分别为5和和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？少？”伽菲尔德不加思索地回答到：伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于那斜边的平方一定等于5的平方加上的平方加上7的平方的平方”小男孩又说道：小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味了，心理很不是滋味 于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题他经过反于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题
18、他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法总统巧证勾股定理总统巧证勾股定理美国第二十任美国第二十任总统伽菲尔德总统伽菲尔德总统巧证勾股定理总统巧证勾股定理aabbccADCBE返回向常春的证明方法向常春的证明方法 注注:这一方法是向常春这一方法是向常春于于1994年年3月月20日构想发日构想发现的新法现的新法abcba-bADCBEc 我们用拼图的方法来说明我们用拼图的方法来说明勾股定理是正确的勾股定理是正确的试试 一一 试试证明证明:上面的大正方形的面积为：上面的大正方形的面积为：下面大的正方形的面积为
19、：下面大的正方形的面积为：从右图中我们可以看出，这两个正方形的从右图中我们可以看出，这两个正方形的边长都是边长都是ab，所以面积相等，即，所以面积相等，即以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上. RtHAE RtEBF, AHE = BEF. AEH + AHE = 90, AEH + BEF = 90. HEF = 18090= 90. 四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c2. RtGDH RtHAE, HG
20、D = EHA. HGD + GHD = 90, EHA + GHD = 90. 又 GHE = 90, DHA = 90+ 90= 180. ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于（a+b），（a+b）=4ab+c，a+b=c邹元治证明邹元治证明作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P. D、E、F在一条直线上, 且RtGEF RtEBD, EGF = BED， EGF + GEF = 90， BED + GEF = 90， BEG =18090= 90又 AB = BE = EG = GA = c， ABEG是一个边长为c的正方形. ABC + CBE = 90 RtABC RtEBD, ABC = EBD. EBD + CBE = 90即 CBD= 90又 BDE = 90，BCP = 90，BC = BD = a. BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则, BDPC的面积也为S，HPFG的面积也为S由此可推出：a2+b2=c2梅文鼎证明再见再见
