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1、13.5.2线段垂直平分线线段垂直平分线山西省山西省长治市屯留四中治市屯留四中王王卫玲玲1、通过自己动手试验，知道线段是轴对、通过自己动手试验，知道线段是轴对称图形。称图形。 2、初步掌握线段的垂直平分线的定理及初步掌握线段的垂直平分线的定理及其逆定理。其逆定理。3 3、会运用线段垂直平分线的性质定理及、会运用线段垂直平分线的性质定理及逆定理解决有关问题。逆定理解决有关问题。 学习目标学习目标知知识回回顾互逆命题：互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二各命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么各命题的结论，而第一个命题的结论是第
2、二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。把其中一个命题叫原命题，那么另一这两个命题叫做互逆命题。把其中一个命题叫原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题。个命题就叫做它的逆命题。互逆定理：互逆定理：如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理作线段的垂直平分线作线段的垂直平分线. .已知：线段已知：线段AB.AB.求作：线段求作：线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线. .A AB BM MN N作法：作法：（2 2）作直线）作直线MN.MN.MNMN
3、即为所求即为所求. .（1 1）分别以点）分别以点A A，B B为圆心，为圆心，以大于以大于 AB AB的长为半径作弧，的长为半径作弧，两弧交于两弧交于M M，N N两点两点. .我们会发现：我们会发现： 线段线段AB沿着沿着MN折叠后，左右两部分折叠后，左右两部分会完全重合。从而得到结论：会完全重合。从而得到结论：线段是轴对称图形，对称轴就是线段是轴对称图形，对称轴就是它的垂直平分线它的垂直平分线大胆地猜想：大胆地猜想：命题：命题：线段垂直平分线上的点到线段两端线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的距离相等CABM PNMNCABQ 如图，如图，MN AB，垂足为点，垂足为点C，AC=B
4、C，点点P是直线是直线MN上的任意一点上的任意一点.已知：已知：PA=PB求证：求证：ABCNMP证明：证明：证明证明: MN AB（已知）已知） PCA= PCB(垂直的定义垂直的定义) 在在 PCA和和 PCB中中,AC=CB(AC=CB(已知已知),), PCA=PCA= PCB(PCB(已证已证) )PC=PC=PCPC( (公共边公共边) ) PCA PCB(SAS)PA=PB(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等)ACMNP当点当点P与点与点C重合时重合时, PA与与PB还相等相等吗?此时此时,PA=CA,PB=CB已知已知AC=CB PA=PBPA=PBB线段垂直平分线上
5、的线段垂直平分线上的点点到线段到线段两端两端的的距离相等距离相等.线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线的性质定理:几何语言表达：几何语言表达：MN AB于于C，且，且AC=BC,点点P在在MN上上PA=PBABMPCN命题：线段垂直平分线上的点到线段两命题：线段垂直平分线上的点到线段两 端的距离相等端的距离相等逆命题是：逆命题是： 到线段两端距离相等的点在线到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上段的垂直平分线上已知已知:如图如图,PA=PB求证求证:点点P在线段在线段AB的垂直的垂直平分线上平分线上. 过点过点P作作PC AB，垂足为点，垂足为点C. 在在Rt PCA和和Rt PCB中中
6、 PA=PB， PC=PC Rt PCA Rt PCB(H.L.) PC PC是线段是线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线. . 即即点点P在线段在线段AB的垂直的垂直 平分线上平分线上.证明：证明： 到线段两端距离相等的点在线段到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上的垂直平分线上。CBPA证明证明：故故PCA=PCB=90.证明：明：过点点P作作P的角平分线，交的角平分线，交AB于点于点C, 则有则有 ,APC= BPC 在在 PCA和和 PCB中中 PA=PB APC= BPC PC=PC PCA PCB(S.A.S) ACP=BCP=90。即即PC AB PC是线段是线段AB的垂直平
7、分线的垂直平分线 即点即点P是线段是线段AB 垂直平分线上的点垂直平分线上的点 BPACBPAC到线段两端距离相等的点在线段的垂直到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上平分线上.线段垂直平分线的性质定理的线段垂直平分线的性质定理的逆定理逆定理:几何语言表达：几何语言表达：PA=PB点点P在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上BPCAABC MN C ABMN线段的垂直平分线可以看作是：线段的垂直平分线可以看作是：和线段两端距离相等的所和线段两端距离相等的所有点的有点的集合集合.如图如图,已知点已知点A、B和直线和直线l,在直线在直线 l 上求上求作一点作一点P,使使PA=PB. lB
8、AP图中点图中点P为所求作的点为所求作的点练习练习如图，在如图，在ABC中，已知点中，已知点D在在BC上，上，且且BD+AD=BC.求证：点求证：点D在在AC的垂直的垂直平分线上。平分线上。ABDC 证明：证明： BD+AD=BC=BD+DC AD=DC 点点D在在AC的垂直平分线上的垂直平分线上 （线段垂直平分线的判定定理）（线段垂直平分线的判定定理）问题问题:如图如图,A、B、C三个村庄合建一所三个村庄合建一所学校学校,要求校址要求校址P点距离三个村庄都相等点距离三个村庄都相等.请你帮助确定校址请你帮助确定校址. ABCP 点点P为校址为校址2、线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的、
9、线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段点到这条线段 两端的距离相等两端的距离相等. 逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点, 在这在这条线段的垂直平分线上条线段的垂直平分线上.3、线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点、线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合距离相等的所有点的集合.1、线段是轴对称图形，对称轴就是它的垂、线段是轴对称图形，对称轴就是它的垂直平分线直平分线4、可以运用线段垂直平分线的性质定理及其逆定、可以运用线段垂直平分线的性质定理及其逆定理来解决一些数学问题和实际问题理来解决一些数学问题和实际问题知知识小小结
