复合函数与隐函数微分法

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1、第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/15/20249/15/2024第第1 1页页7.5 复合函数与隐函数微分法复合函数与隐函数微分法第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/15/20249/15/2024第第2 2页页7.5.1 多元复合函数的求导法则 在一元函数微分学中，复合函数的求导法则在一元函数微分学中，复合函数的求导法则起着重要的作用起着重要的作用.现在我们把他推广到多元复合函数的情形现在我们把他推广到多元复合函数的情形.下面按照多元复合函数不同的复合情形，下面按照多元复合函数不同的复合情形，分分三种三种情况进行讨论情况进行讨论.第

2、七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/15/20249/15/2024第第3 3页页1.1.复合函数的中间变量均为一元函数的情形复合函数的中间变量均为一元函数的情形 第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/15/20249/15/2024第第4 4页页证明证明则则第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/15/20249/15/2024第第5 5页页上述定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况上述定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如如以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为全导数全导数.第七章第七章 多元函数微分学

3、多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/15/20249/15/2024第第6 6页页解解第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/15/20249/15/2024第第7 7页页第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/15/20249/15/2024第第8 8页页2.2.复合函数的中间变量均为多元函数的情形复合函数的中间变量均为多元函数的情形第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/15/20249/15/2024第第9 9页页链式法则如图示链式法则如图示第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/15/202

4、49/15/2024第第1010页页第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/15/20249/15/2024第第1111页页解解第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/15/20249/15/2024第第1212页页解解令令记记同理有同理有第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/15/20249/15/2024第第1313页页于是于是第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/15/20249/15/2024第第1414页页第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/15/20249

5、/15/2024第第1515页页3.3.复合函数的中间变量既有一元函数又有复合函数的中间变量既有一元函数又有多元函数的情形多元函数的情形第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/15/20249/15/2024第第1616页页链式法则如图示链式法则如图示,第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/15/20249/15/2024第第1717页页特殊地特殊地即即令令其中其中两者的区别两者的区别区区别别类类似似第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/15/20249/15/2024第第1818页页全微分形式不变形的全微分形式不变形

6、的实质实质： 无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.全微分形式不变性全微分形式不变性第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/15/20249/15/2024第第1919页页第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/15/20249/15/2024第第2020页页隐函数的求导公式隐函数的求导公式7.5.2 7.5.2 隐函数的微分法隐函数的微分法第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/15/20249/15/2024第第2121页页若F( x

7、 , y ) 的二阶偏导数也都连续,二阶导数 :则还可求隐函数的 第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/15/20249/15/2024第第2222页页解解令令则则第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/15/20249/15/2024第第2323页页第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/15/20249/15/2024第第2424页页解解令令则则第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/15/20249/15/2024第第2525页页例例1. 验证方程在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数

8、解解: 令连续 ;由 定理1 可知,导的隐函数 则在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可且并求第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/15/20249/15/2024第第2626页页第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/15/20249/15/2024第第2727页页两边对 x 求导两边再对 x 求导令 x = 0 , 注意此时导数的另一求法导数的另一求法 利用隐函数求导第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/15/20249/15/2024第第2828页页第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9

9、/15/20249/15/2024第第2929页页解解令令则则第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/15/20249/15/2024第第3030页页解解第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/15/20249/15/2024第第3131页页思路：思路：解解令令则则第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/15/20249/15/2024第第3232页页整理得整理得第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/15/20249/15/2024第第3333页页整理得整理得整理得整理得第七章第七章 多元函数微分

10、学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/15/20249/15/2024第第3434页页思考题思考题第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/15/20249/15/2024第第3535页页思考题解答思考题解答第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/15/20249/15/2024第第3636页页思考题思考题第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/15/20249/15/2024第第3737页页思考题解答思考题解答第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/15/20249/15/2024第第3838页页例

11、例1.解解:第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/15/20249/15/2024第第3939页页例例2. 设 求全导数解解:第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/15/20249/15/2024第第4040页页备用题备用题1. 已知求解解: 由两边对 x 求导, 得第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/15/20249/15/2024第第4141页页2. 求在点处可微 , 且设函数解解: 由题设(2001考研考研)第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/15/20249/15/2024第第4242页页分别由下列两式确定 :又函数有连续的一阶偏导数 ,3. 设解解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得(2001考研)解得因此第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/15/20249/15/2024第第4343页页4. 设是由方程和所确定的函数 , 求解法解法1 分别在各方程两端对 x 求导, 得(1999考研)第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学 嘉兴学院嘉兴学院9/15/20249/15/2024第第4444页页解法解法2 微分法.对各方程两边分别求微分:化简得消去可得