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1、1Ex.1. . 下列一组波函数共描写粒子的几个不同状态下列一组波函数共描写粒子的几个不同状态? ? 并指出并指出哪几个波函数描写同一哪几个波函数描写同一状态。状态。 、Ex.2. 已知一微观粒子已知一微观粒子的动的动量以等概率量以等概率取取三个可能值三个可能值 、 和和 ，试写出其状态波函数，试写出其状态波函数。答：答：上列一组波函数共描写粒子的上列一组波函数共描写粒子的三三个不同状态。个不同状态。、两个波函数描写粒子的同状态。两个波函数描写粒子的同状态。其中，其中， 三个波函数描写粒子的同状态。三个波函数描写粒子的同状态。、 、描写粒子的状态。描写粒子的状态。解解：2021/8/2612E
2、x.3.已知下列两个波函数已知下列两个波函数试判断试判断: （并说明其理由）（并说明其理由）(1)(1)波函数波函数 和和 是否描述同一状态是否描述同一状态? ?(2)(2)对对 取取 两种情况两种情况, ,得到的两个得到的两个波函数是否等价波函数是否等价? ?2021/8/2623(1)(1)即即 和和 线性相关，故它们描述粒子的同一状态。线性相关，故它们描述粒子的同一状态。当当 为奇数时，有为奇数时，有当当 为偶数时，有为偶数时，有(2)(2)因因 是是 的奇函数，在的奇函数，在 两种情况下两种情况下, ,两两波函数仅相差负号，故得到的两个波函数等价。波函数仅相差负号，故得到的两个波函数等
3、价。解：解：因因2021/8/2634答答：（1 1）由波函数）由波函数 描述的状态描述的状态称为定态称为定态。. .处在定态中的粒子，其处在定态中的粒子，其概概率密度与时间无关。率密度与时间无关。. .处在定态中的粒子，其处在定态中的粒子，其概概率流密度与时间无关。率流密度与时间无关。其其特征特征有：有：. 处在定态中的粒子，其能量有确定值处在定态中的粒子，其能量有确定值。 回答下列问题回答下列问题 （1 1）什么是量子力学中的定态？它有什么特征？）什么是量子力学中的定态？它有什么特征？Ex.4.（2 2）什么是量子力学中的守恒）什么是量子力学中的守恒律律？它？它的物理意义是的物理意义是什么
4、？什么？2021/8/2645 它的物理意义是粒子既未产生也未消灭，它的物理意义是粒子既未产生也未消灭，粒子数粒子数守恒。守恒。称为量子力学中的守恒律；称为量子力学中的守恒律；（2 2）概率密度与概率流密度所满足的微分方程）概率密度与概率流密度所满足的微分方程 及积分式及积分式 2021/8/2656一、力学量与算符一、力学量与算符 1 1算符的定义算符的定义 2. 2. 厄米算符的定义及其性质厄米算符的定义及其性质定义定义 性质性质：、厄米算符的本征值是实数；、厄米算符的本征值是实数； 、属于不同本征值的本征函数正交。、属于不同本征值的本征函数正交。 第三章第三章 复复 习习2021/8/2
5、6673 3力学量与厄米算符的关系力学量与厄米算符的关系假设：假设：力学量用厄米算符表示，表示力学力学量用厄米算符表示，表示力学量的厄米算符有组成完全系的本征函数系；量的厄米算符有组成完全系的本征函数系；若量子力学中的力学量若量子力学中的力学量 在经典力学中有相在经典力学中有相应的力学量，则表示该力学量的算符应的力学量，则表示该力学量的算符 由经由经典表示典表示 中将动量中将动量 换成动量算符换成动量算符 而得出：而得出： 2021/8/2678二、力学量的测量值与力学量算符关系：二、力学量的测量值与力学量算符关系： 假假设设：力力学学量量算算符符的的本本征征值值是是力力学学量量的的可可测测量
6、量值值。将将体体系系的的状状态态波波函函数数用用算算符符 的的本本征函数系征函数系 展开展开则则在在 态态中中测测量量力力学学量量 得得到到结结果果为为 的的概概率率是是 ，得得到到结结果果在在 范范围围内内的概率是的概率是2021/8/2689 力学量的平均值力学量的平均值本征函数：本征函数：本征值：本征值：力学量算符力学量算符 本征方程本征方程方法二：方法二：方法一：方法一：2021/8/26910三、力学量算符之间的关系三、力学量算符之间的关系 1 1算符的对易关系算符的对易关系 （1 1）基本对易关系）基本对易关系 （2 2）角动量算符的对易关系）角动量算符的对易关系定定 理理 若算符
7、若算符 和和 具有共同的本征函数完全具有共同的本征函数完全系，则系，则 和和 必对易。必对易。 2 2两个定理两个定理逆逆 定定 理理若算符若算符 与与 对易，则它们具有共同的本对易，则它们具有共同的本征函数完全系征函数完全系2021/8/2610113 3不同力学量同时可测定的条件不同力学量同时可测定的条件： 力学量算符彼此对易。力学量算符彼此对易。 4 4测不准关系测不准关系四、力学量算符的本征值问题：四、力学量算符的本征值问题：2021/8/261112五、力学量随时间的变化与守恒律五、力学量随时间的变化与守恒律常量常量或或 1 1动量算符的本征值问题；动量算符的本征值问题； 2 2 、
8、 的本征值问题；的本征值问题； 3 3中心力场问题；中心力场问题； 氢原子问题。氢原子问题。2021/8/261213解：解：例例1 1、一维谐振子处在基态一维谐振子处在基态 求：（求：（1 1）势能的平均值）势能的平均值 （2 2）动能的平均值）动能的平均值（1）2021/8/261314（2）2021/8/261415 例例2.2.宽度为宽度为 的一维无限深势阱中运动的的一维无限深势阱中运动的粒子处在由波函数粒子处在由波函数描写的状态描写的状态， 为归一化常数，求粒子能量的为归一化常数，求粒子能量的概率分布和能量期望值。概率分布和能量期望值。 解：解：先求归一化系数先求归一化系数 2021
9、/8/261516无限深势阱中粒子能量算符的本征函数无限深势阱中粒子能量算符的本征函数 能量的概率分布为能量的概率分布为2021/8/261617能量期望值能量期望值 利用利用 故故 2021/8/261718例例3 3、设氢原子的状态为设氢原子的状态为 求：（求：（1 1）氢原子能量、轨道角动量平方的可能值，）氢原子能量、轨道角动量平方的可能值，这些可能值出现的概率及它们的平均值。这些可能值出现的概率及它们的平均值。 （2 2）轨道角动量）轨道角动量 分量的可能值及这些可能分量的可能值及这些可能值出现的概率和这些力学量的平均值。值出现的概率和这些力学量的平均值。（其中（其中 为常数）为常数）
10、C解：解：由归一化条件由归一化条件 求得归一化常数求得归一化常数归一化波函数为归一化波函数为2021/8/261819能量可能值能量可能值 出现的概率出现的概率 平均值平均值 （1 1） 由题可知由题可知 角动量平方可能值角动量平方可能值 ，出现的概率为，出现的概率为1 1 平均值平均值 例例 题题 二二 （续（续2）（2 2）轨道角动量）轨道角动量 分量分量 的可能值有的可能值有 出现的概率分别是出现的概率分别是 和和 平均值平均值 2021/8/261920 例例4 4、一电子处在宽度为、一电子处在宽度为 的无限深方势阱的无限深方势阱的基态上，阱的两壁突然反向运动，使阱宽的基态上，阱的两壁
11、突然反向运动，使阱宽变为变为 ，求粒子留在基态的概率。，求粒子留在基态的概率。解：解：将将 轴坐标原点取在阱中心。轴坐标原点取在阱中心。对于宽度为对于宽度为 的阱，能量本征函数为的阱，能量本征函数为对于宽度为对于宽度为 的阱，能量本征函数为的阱，能量本征函数为2021/8/262021将将 按按 展开展开粒子留在基态的概率粒子留在基态的概率2021/8/262122（1 1）若两个力学量算符有共同本征态，则）若两个力学量算符有共同本征态，则它们彼此对易。它们彼此对易。例例4 4、判断下列提法的正误，并举例说明。、判断下列提法的正误，并举例说明。（2 2）若两个力学量算符不对易，则它们定）若两个力学量算符不对易，则它们定无共同本征态。无共同本征态。（3 3）在任一态中，两对易的力学算符所表）在任一态中，两对易的力学算符所表示的两力学量均可测定。示的两力学量均可测定。（）（）（）（4 4）角动量分量）角动量分量 和和 能有共同本征态，能有共同本征态，但无共同的本征函数完全系。但无共同的本征函数完全系。（）（5 5）自由粒子处于定态，则动量有确定值。）自由粒子处于定态，则动量有确定值。（）2021/8/262223部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！
