迭代法的建立与收敛性

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1、 一一. 迭代法的建立与收敛性迭代法的建立与收敛性所以所以, 为为f的根的充要条件是的根的充要条件是 为为 的不动点。的不动点。2.2 2.2 迭代法迭代法前者收敛前者收敛：1.5; 1.35721; 1.33086; 1.32588; 1.32494; 1.32476; 1.32473; 1.32472; 1.32472;后者发散后者发散: : 1.5; 2.375; 12.39; 问题：何时收敛？问题：何时收敛？xyy = xxyy = xxyy = xxyy = x y= (x)y= (x)y= (x)y= (x)x0p0x1p1 x0p0x1p1 x0p0x1p1x0p0x1p12.2

2、.收敛定理收敛定理定理定理2.2.12.2.1(2) (2) 即即xn收敛。收敛。 ()(3)(3) (4)(4) 注1：L L越小，收敛越快。越小，收敛越快。由定理结论由定理结论(3)(3)或或(2.2.2)(2.2.2)，只要前后两次迭代值的差值足，只要前后两次迭代值的差值足 够小，就可使近似值够小，就可使近似值 达到任意的精度。在实际计算达到任意的精度。在实际计算 中，一般用中，一般用 来控制迭代过程结束来控制迭代过程结束。注注2 2：定理条件非必要条件，可将定理条件非必要条件，可将a, b缩小，定义缩小，定义局部收敛性局部收敛性：定义定义 若存在若存在 的某的某 邻域邻域 B = x

3、| | x | , 使使由由 x0 B 开始的迭代都收敛开始的迭代都收敛, 则称迭代法具有则称迭代法具有局部收敛性局部收敛性。定理定理 设设(x)在在 的某的某 邻域内具有连续的一阶导数，邻域内具有连续的一阶导数， 且且 | ( ) | 1， 则迭代法则迭代法xn+1 = (xn)具有局部收敛性具有局部收敛性。证明证明 省略省略。3 3编程停机判断编程停机判断时，由（时，由（2.2.22.2.2）式知）式知 比较小，此时停机，比较小，此时停机，（取定初值（取定初值x0）计算，当）计算，当 由由二二. .迭代法的收敛阶迭代法的收敛阶( (收敛速度收敛速度) )则称则称xn p阶收敛阶收敛, ,相应的迭代法称为相应的迭代法称为p阶方法阶方法. . 特别特别, , p=1=1时叫线性收敛时叫线性收敛, ,此时要求此时要求00C1;0,0,使使 定义定义2.2.22.2.2: : 设设定理定理 设设(x)在在 的某邻域的某邻域 内有充分多阶连续导数，内有充分多阶连续导数，则迭代法则迭代法xn+1 = (xn)为为p阶收敛阶收敛的充要条件是的充要条件是 ( ) = ( ) = = (p-1)( ) =0， (p)( ) 0.证明证明 利用利用Taylor展开式（略）展开式（略）