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1、函数对称性与周期性杨少辉杨少辉知知识点一：点一：对称性的代数表达式；称性的代数表达式；1、函数 的图像关于直线 对称当 时， ；如： 、 等；2、函数 的图像关于点 对称当 时， ；如： 等；注意：若注意：若 有意有意义，则 ；总结：若函数方程中含有 且 的系数相反，则函数 具有对称性；若 则有对称轴；若 则有对称中心；知知识点二：点二：简单的复合函数的奇偶性；的复合函数的奇偶性；基本思想：基本思想：转化成化成 的的对称性来研究；称性来研究；（2） 为偶函数（1） 为奇函数 知知识点三：函数点三：函数对称性的一个称性的一个应用；用；（1）若 的图像关于 对称，且在区间 上为增（减）函数；若 则
2、： （ ） ；例1、已知 满足： ，且在 上为增函数；若不等式对 恒成立，求a的取值范围？例2、函数 为定义在R上的减函数，的图像关于点 对称，若实数 满足： ；点 为原点，当 时， 的取值范围是_；例3、已知等差数列 同时满足：（1）（2）则 的前2011项和 = _；知知识点四：函数的周期性；点四：函数的周期性；1、定义：对于定义域内的任意的 都存在非零常数 使得 ，则称 为函数 的一个周期，函数 为周期函数；（注意：如无特殊说明所说周期为最小正周期；）2、常见的周期表达式：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）总结：若已知 的一个函数方程，且“式1”与“式2”中 的系数相同，一般可以
3、推出周期；3、对称性与周期性的关系；（1）若 关于对称轴 对称（2）若 关于 对称（3）若 关于 对称例例题讲解：函数的解：函数的综合合应用；用；例1、若 是定义在R上的奇函数，且满足 ，则下列命题正确的有_；（1） ；（2） 周期为4；（3） 对称中心为 ；（4） 对称轴为 ； （变式1）已知 是R上的偶函数， 是奇函数，且 ，则： _；（变式2）已知定义在R上的函数 满足： 为奇函数， 为偶函数，则： = _； = _；例2、已知 是定义在R上的奇函数，且满足（1） ； （2） 在区间 上为增函数； （3） 时， 有四个 不等实根 ；则： = _；（变式）已知定义在R上的函数 满足： 且 ，则 在 上的所有实跟之和为_；例3、已知 是定义在R上的偶函数，且 ，当 时， ；若关于 的方程 在区间恰有3个不等的实根，则a的取值范围是_；（变式）已知 ；且函数 恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是_；谢谢指指导！
