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1、镶镶 嵌嵌课题学习课题学习埃舍尔埃舍尔的作品的作品鸟分割的平面鸟分割的平面 通过观察上面的图片，你发现它们有哪些共同特征？【1 1】不重叠不重叠【2】完全覆盖完全覆盖 从数学角度看，用一些从数学角度看，用一些不重不重叠叠摆放的图形把平面的一部分摆放的图形把平面的一部分完完全覆盖全覆盖，通常把这类问题叫做覆，通常把这类问题叫做覆盖平面（或平面镶嵌）的问题盖平面（或平面镶嵌）的问题教学目的教学目的1,通过生活中的实例通过生活中的实例,帮助学生理解镶嵌的数学意义帮助学生理解镶嵌的数学意义;2,通过引导从具体通过引导从具体.特殊到一般的问题解决特殊到一般的问题解决,培养学生的观培养学生的观察能力察能力
2、.探究能力以及把实际问题转化为数学问题的能力探究能力以及把实际问题转化为数学问题的能力;3,通过学生实验活动通过学生实验活动,搜集搜集.画画.设计一些平面镶嵌图设计一些平面镶嵌图,让学让学生体会镶嵌在日常生活中的广泛应用。生体会镶嵌在日常生活中的广泛应用。重点与难点重点与难点重点：镶嵌的含义以及它在实际生活中的广泛应用重点：镶嵌的含义以及它在实际生活中的广泛应用难点：如何正确理解镶嵌难点：如何正确理解镶嵌(一一)提出问题提出问题1)回想你家里地板的铺设情况回想你家里地板的铺设情况,并说说是用什么并说说是用什么形状的地砖形状的地砖.地板铺成的地板铺成的?2)观看下面地板的拼合图案观看下面地板的拼
3、合图案 3）由此你能想到：为什么这些形状的地砖能铺成无缝隙）由此你能想到：为什么这些形状的地砖能铺成无缝隙的地板呢的地板呢? 1）它们是何种正多边形拼成的？）它们是何种正多边形拼成的？ 2）围绕图中某一点的所有角的和是多少？）围绕图中某一点的所有角的和是多少？仅用一种正多边形镶嵌，哪几种正仅用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面？多边形能镶嵌成一个平面？探究问题（一）探究问题（一）收收 集集 整整 理理 数数 据据正正n边形形拼拼图每个内角的度数每个内角的度数使用正多使用正多边形的个形的个数数k结论能镶嵌能镶嵌能镶嵌能镶嵌不能镶嵌不能镶嵌不能镶嵌不能镶嵌能镶嵌能镶嵌 K= 6K=
4、4K= 3K= 4K= 36090108108120n =3n =6n =4n =5分分 析析 数数 据据正正n边形形拼拼图每个内角的度数每个内角的度数与与360的关系的关系结论n=3n=4n=5n=6能镶嵌能镶嵌不能镶嵌不能镶嵌不能镶嵌不能镶嵌能镶嵌能镶嵌 660= 360 490= 360 4108 360 3120= 360 3108 360能镶嵌能镶嵌得出结论： 如果一个正多如果一个正多边形可以形可以进行行镶嵌，那么内角嵌，那么内角一定是一定是360的的约数（或数（或360一定是一定是这个多个多边形形内角的整数倍）！内角的整数倍）！用两种正多边形镶嵌,哪些能镶嵌成一个平面?探究问题（二
5、）探究问题（二）2m+3n=12m=3n=2 m60 +n90 =360。 。设在一个顶点周围有设在一个顶点周围有 m 个正三角形的角个正三角形的角,n 个正方边形的角，个正方边形的角，则有则有 m,n 为正整数为正整数解为解为m+2 n=6m=2n=2m=4n=1 m60 +n120 =360。 。设在一个顶点周围有设在一个顶点周围有 m 个正三角形的角个正三角形的角,n 个正六边形的角，个正六边形的角，则有则有 m,n 为正整数为正整数解为解为2 m+5 n=12m=1n=2 m60 +n150 =360。设在一个顶点周围有设在一个顶点周围有 m 个正三角形的角个正三角形的角,n 个正十二
6、边形个正十二边形的角，则有的角，则有 m,n 为正整数为正整数解为解为2 m+3 n=8m=1n=2m90 +n135 =360。设在一个顶点周围有个设在一个顶点周围有个 m 正四边形的角正四边形的角,n 个正八边形个正八边形的角，则有的角，则有 m,n 为正整数为正整数解为解为设在一个顶点周围有设在一个顶点周围有 m 个正五边形的角个正五边形的角,n 个正十边形的个正十边形的角，则有角，则有3 m+4 n=10m=2n=1m108 +n144 =360 。 。 。 m,n 为正整数为正整数解为解为得出结论：用两种正多用两种正多边形形镶嵌的嵌的规律：律：拼接在同一个点的各个角的和拼接在同一个点
7、的各个角的和恰好等于恰好等于360（周角）。（周角）。用三种正多边形镶嵌,哪些能镶嵌成一个平面？探究问题（三）探究问题（三）现在用三种正多边形：正现在用三种正多边形：正三角形、正方形、正六边三角形、正方形、正六边形能否进行平面镶嵌？如形能否进行平面镶嵌？如果不能镶嵌，为什么？如果不能镶嵌，为什么？如果能，你能把它画出来吗果能，你能把它画出来吗（草图）？（草图）？思考思考:思考同一种任意三角形可否镶嵌成一个平面？ 同一种任意四边形可否镶嵌成一个平面？探究新知探究新知(四四)想一想想一想1）用一种普通的三角形形状的地砖）用一种普通的三角形形状的地砖能镶嵌成一个平面图案吗能镶嵌成一个平面图案吗?能，
8、因为三角形三个内角的能，因为三角形三个内角的和为和为180将三角形三个不同将三角形三个不同的内角绕一点可围成一个平的内角绕一点可围成一个平角，六个内角可围成一个角，六个内角可围成一个360周角，因此，周角，因此，任意一种任意一种三角形能铺满平面。三角形能铺满平面。2）用一种普通的四边形地砖能镶嵌）用一种普通的四边形地砖能镶嵌成一个平面图案吗？成一个平面图案吗？能，因为四边形四个内角和为能，因为四边形四个内角和为360将四边形四个内角将四边形四个内角绕一点可围成一个周角，绕一点可围成一个周角，因此，因此，任意一种四边形能铺满平面。任意一种四边形能铺满平面。如果用两种如果用两种正多边形进正多边形进
9、行镶嵌需要行镶嵌需要满足什么条满足什么条件？件？小颖家正在为新房子小颖家正在为新房子装修，在他的房间里，装修，在他的房间里，他想用正三角形和另他想用正三角形和另一种正多边形镶嵌成一种正多边形镶嵌成地板，他有哪些选择地板，他有哪些选择？你能帮他出出注意？你能帮他出出注意吗？吗？正多正多边形形拼拼 图 和和 它它们的内角度的内角度和和360的关系：的关系： 和和 它它们的内角度的内角度和和360的关系：的关系： 正多正多边形形拼拼 图 和和 和和360+ 2 90= 360 360+2 90=360460+1 120=360正三角形正三角形正四边形正四边形正三角形正三角形正六角形正六角形想一想想一
10、想正三角形和正五正三角形和正五边形能否镶嵌边形能否镶嵌?正三角形和正六正三角形和正六边形能否镶嵌边形能否镶嵌?正方形和正八边正方形和正八边形能否镶嵌形能否镶嵌?你你能能归归纳纳出出其其中中有有什什么么规规律律吗吗?收获与启示u 用一种正多用一种正多边形形镶嵌的嵌的规律：正多律：正多边形的内角形的内角是是360的的约数（或数（或360是是这个正多个正多边形的整数倍）形的整数倍）！u 用多种正多用多种正多边形形镶嵌的嵌的规律：拼接在同一个点律：拼接在同一个点的各个角的和恰好等于的各个角的和恰好等于360（周角）（周角）1. 1. 用一种正多边形镶嵌，哪些可用一种正多边形镶嵌，哪些可以，分别是哪些正多边形？以，分别是哪些正多边形？2. 2. 你能找到用两种正多边形镶嵌，你能找到用两种正多边形镶嵌，还有哪些吗？请你设计一个用两还有哪些吗？请你设计一个用两个正多边形镶嵌的图形。个正多边形镶嵌的图形。课后作业：课后作业：
