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1、数学哲学与数学史数学哲学与数学史数学史部分数学史部分第一章第一章 数学的起源和早期发展数学的起源和早期发展数学的发源地：数学的发源地：古代非洲的古代非洲的尼罗河尼罗河( (Nile)埃及埃及文明；文明；西亚的西亚的底格里斯河底格里斯河( (Tigris) )和和幼发拉底河幼发拉底河( (Euphrates)巴比伦巴比伦文明；文明；中南亚的中南亚的印度河印度河( (India) )和和恒河恒河( (Ganges)印度印度文明文明东亚的东亚的黄河黄河和和长江长江中国中国文明文明. . 数学产生于农业文明：数学产生于农业文明： 历法，测量土地，财富计算，产品交历法，测量土地，财富计算，产品交换，观测
2、天体，建造皇宫等换，观测天体，建造皇宫等一、古埃及的数学一、古埃及的数学尼罗河尼罗河 BC4000年的年的古埃及古埃及文明，已有文明，已有象形象形文字文字（Hieroglyphic，意为，意为“圣刻圣刻” ）；）； BC3000年，年，埃及埃及成为统一的奴隶制国家成为统一的奴隶制国家. . 英国牛津博物馆英国牛津博物馆( (Oxford Museum in Britain) )的的古埃及第一王朝古埃及第一王朝（约（约BC3400年年以前）一个王室的权标上象形文字以前）一个王室的权标上象形文字. .1 1、记数法、记数法以十为基数的以十为基数的象形象形文字文字 介于两符号之间的各数由这些符号的介
3、于两符号之间的各数由这些符号的组合组合表示表示. . 但是，他们的符号但是，他们的符号缺乏位置上的意缺乏位置上的意义义，这使得这种记数法是很麻烦的，为了，这使得这种记数法是很麻烦的，为了表示大数，必须用相应多个符号表示大数，必须用相应多个符号. .特点：特点：、最早采用、最早采用10进制进制的国家之一；的国家之一； 、但没有采用、但没有采用位置位置计数法计数法. . 2、书写材料书写材料纸草纸草 papyrus 是英文是英文 “ “paper” 的语源的语源. . 现今保存下来的有现今保存下来的有两卷纸草两卷纸草记录了记录了古埃古埃及及的数学资料，它们都产生于约的数学资料，它们都产生于约BC1
4、700年左右年左右. . 它们的作者可能是政治机关或它们的作者可能是政治机关或教堂的教堂的书记书记（秘书），它们的内容就是（秘书），它们的内容就是题集题集和和解答解答. . 古埃及纸草书卷古埃及纸草书卷莫斯科莫斯科纸草纸草(Moscow Papyrus) （现存于现存于莫斯科美术博物馆莫斯科美术博物馆，一说现，一说现存于存于莫斯科普希金精细艺术博物馆莫斯科普希金精细艺术博物馆）25个数学问题（个数学问题（俄国俄国贵族贵族戈兰尼采戈兰尼采夫夫于于1893年在年在埃及埃及发现），长约发现），长约525cm，宽约宽约8cm，成书于约，成书于约BC1890年年. . 兰德兰德纸草纸草(Rhind Pa
5、pyrus) （大英博物馆大英博物馆）85个数学问题个数学问题. . 最初发现于最初发现于埃及埃及的的底比斯古都底比斯古都废虚废虚. . （苏格兰苏格兰人人兰德兰德 H. Rhind 于于1858年购年购买于买于埃及埃及），长约），长约525cm，宽约，宽约33cm. .零星的材料：零星的材料：卡呼恩卡呼恩（Kahun）纸草书）纸草书和和柏林柏林纸草书，纸草书，阿赫姆阿赫姆（Akhmin）木板）木板书（约书（约BC2000年左右）以及年左右）以及克索斯克索斯时代时代的羊皮书一卷的羊皮书一卷-埃及数学的补充信息埃及数学的补充信息. .注意：注意：希腊人希腊人认为他们的数学是从认为他们的数学是从埃
6、及埃及来的，然而来的，然而埃及埃及数学只限于非常实用者，数学只限于非常实用者，古埃及人没有古埃及人没有命题证明命题证明的思想，他们的的思想，他们的数学完全是数学完全是实用数学实用数学，完全找不到，完全找不到推理推理的数学痕迹，而古希腊却有的数学痕迹，而古希腊却有. . 3、古埃及的算术知识：古埃及的算术知识：（1） 古埃及人的计算具有古埃及人的计算具有迭加迭加的特点：的特点：任何自然数都可由任何自然数都可由2的各次幂的和的各次幂的和组成组成. .例如：例如： 计算计算 2731 *1 31 *2 62 4 124 *8 248 + *16 496 - 837837 例：例：计算计算74526，
7、只要连续地把除数，只要连续地把除数26加倍，直到再加倍就超过加倍，直到再加倍就超过745为止为止. . 1 26 1 26 2 52 2 52 745 = 416+329 745 = 416+329 *4 104 *4 104 = 416+208+121= 416+208+121 *8 208 *8 208 = 416+208+104+17= 416+208+104+17+ *16 416 + *16 416 将上述带（将上述带（* *）号的各项相）号的各项相- - 加，得商为加，得商为16+8+4=2816+8+4=28 2828 其余数为其余数为17.17. （2）、）、 分数的记法和计算
8、分数的记法和计算 单位分数单位分数的广泛使用成为的广泛使用成为埃及埃及数学的一个数学的一个重要而有趣的特色，埃及人将所有的真分重要而有趣的特色，埃及人将所有的真分数都表示为一些数都表示为一些单位分数单位分数（分子为（分子为1的分的分数）的数）的和和的形式（的形式（2/3例外）例外）. .埃及人表示分数的符号是相当复杂的埃及人表示分数的符号是相当复杂的. . 用用 （读作（读作ro）表示分数线，将）表示分数线，将 或或点的记号放在数的上方用来表示分数点的记号放在数的上方用来表示分数. . 例如：例如：某些特殊的分数记号，如某些特殊的分数记号，如 兰德纸草书兰德纸草书中数表：将所有分子为中数表：将
9、所有分子为2而分而分母从母从5 -101的奇数表示为的奇数表示为单位分数之和单位分数之和. . 2/5=1/3+1/15 2/7=1/4+1/28 2/9=1/6+1/18. 2/97=1/56+1/679+1/776 2/99=1/66+1/198 2/101=1/101+1/202+1/303+1/606利用此表可进行利用此表可进行分数计算分数计算 例如例如，要用，要用521，可写成单位分数之和，可写成单位分数之和运算程序如下：运算程序如下： 5/21=1/21+2/21+2/21 =1/21+1/14+1/42+1/14+1/42 =1/21+2/14+2/42 =1/21+1/7+1/
10、21 =1/7+2/21 =1/7+1/14+1/42 注意：注意：加倍程序加倍程序和和单位分数单位分数概念概念 兰德纸草书兰德纸草书第第70题：题：求求100( (7+1/2+1/4+1/8) )的商的商. .答答：12+2/3+1/42+1/126.解解：将除数逐渐加倍：将除数逐渐加倍：15+1/2+1/431+1/263，是除数的，是除数的8倍倍; ;另外，除数与另外，除数与8+4+2/3相乘得相乘得 ，比被除数比被除数100小小1/4.调整调整：因除数的：因除数的8倍是倍是63，故，故( (7+1/2+1/4+1/8)2/63=1/4由由2/n数表查得数表查得2/63=1/42+1/1
11、26，于是于是100(7+1/2+1/4+1/8) = 8+4+2/3+2/63 = 12+2/3+1/42+1/126. .埃及埃及人为什么对人为什么对单位分数单位分数情有独钟，原情有独钟，原因尚不清楚因尚不清楚. . 这种运算方法这种运算方法冗长繁复冗长繁复妨碍了数学的进妨碍了数学的进一步发展，这也是古埃及一步发展，这也是古埃及算术算术和和代数代数不不能发展到更高水平的原因之一能发展到更高水平的原因之一. .但是这种方法对于解决但是这种方法对于解决食物分配食物分配和和土地土地分配分配问题却十分方便问题却十分方便. . 例如，平均分食物的例如，平均分食物的7个面包个面包8个人分个人分. .7
12、/8 = 1/2+1/4+1/8 （3 3）、完成了基本的）、完成了基本的算术四则运算算术四则运算（4 4）、已经有了）、已经有了求近似平方根求近似平方根的方法的方法4、古埃及的代数、古埃及的代数：、有、有渐进的代数渐进的代数，但叙述方式是，但叙述方式是文词文词（即（即文词代数文词代数阶段），很少引用符号；阶段），很少引用符号；、比例比例的概念也已有萌芽；的概念也已有萌芽；三角函数三角函数观念的萌芽观念的萌芽、一元一次方程求解一元一次方程求解即形如即形如 或或某些二次方程某些二次方程、等差级数等差级数和和等比级数等比级数的概念及其的概念及其求和求和 例例1、兰德纸草书兰德纸草书中有一方程问题：
13、有一数中有一方程问题：有一数量，它的量，它的2/3加它的加它的1/2，加它的，加它的1/7，再加全，再加全部共为部共为33. . 用现代的记号是：用现代的记号是： 只不过只不过分数部分分数部分写为写为 28/97=1/4+1/97+1/56+1/679+1/776+1/194+1/388. .古埃及人把古埃及人把未知数未知数称为称为“堆堆”（aha) ) 例例2、兰德纸草书中兰德纸草书中的第的第24题：已知题：已知“堆堆”与七与七分之一分之一“堆堆”相加为相加为19，求，求“堆堆”的值的值. . “ “假位法假位法”（method of false position）先先假设一个特殊的数作为假
14、设一个特殊的数作为“堆堆”的值（多半是假的值（多半是假值），将其代入等式左边去运算，然后比较得值），将其代入等式左边去运算，然后比较得数与应得的结果，再通过比例的方法算出正确数与应得的结果，再通过比例的方法算出正确的答案的答案. .在上例中，用数在上例中，用数7作为未知数作为未知数x的实验值，于是的实验值，于是有，左边有，左边= = 而应得的结果是而应得的结果是19，这两个结果之比为，这两个结果之比为19/8=2+1/4+1/8，将，将7乘以（乘以（2+1/4+1/18）即得）即得正确的正确的“堆堆”值为值为16+1/2+1/8.例例3、算术级数问题：、算术级数问题：5个人分个人分100个面包
15、，要个面包，要求每个人所得的份数构成一个算术级数，并求每个人所得的份数构成一个算术级数，并且前三个所得总数的且前三个所得总数的1/7等于后二人所得之和等于后二人所得之和-下伪法下伪法（regula falsi） 解解： 先令第一项最大，这使得公差是负数先令第一项最大，这使得公差是负数. .令首项和公差分别为令首项和公差分别为a和和d, ,写出了写出了于是公差为最小项的于是公差为最小项的11/2倍，设最小项为倍，设最小项为1.于是得级数：于是得级数：但和为但和为60, ,为满足条件，各项为满足条件，各项5/3，最后得：最后得：例例4、几何级数几何级数（等比级数等比级数）. .兰德纸草书兰德纸草书
16、第第79题：是在数字题：是在数字 7，49，343，2401，16807 旁边各注有图旁边各注有图人人，猫猫，鼠鼠，大麦大麦，量器量器等字等字样，而且给出总数为样，而且给出总数为19607.问这个题目产生的是什么数列？总数是多少问这个题目产生的是什么数列？总数是多少？-有答案无解法有答案无解法. .“出门望九堤，堤有九木，木有九巢，巢有出门望九堤，堤有九木，木有九巢，巢有九鸟，鸟有九毛，毛有九色九鸟，鸟有九毛，毛有九色.”.”5、古埃及的几何：、古埃及的几何： 在在兰德兰德纸草书和纸草书和莫斯科莫斯科纸草书中确实包纸草书中确实包含有许多几何性质的问题，内容大都与土含有许多几何性质的问题，内容大
17、都与土地面积和谷堆体积的计算有关地面积和谷堆体积的计算有关. 由此可知，古埃及的由此可知，古埃及的几何几何很发达很发达. 几何几何问题多是讲问题多是讲度量法度量法，涉及到田地的面积，涉及到田地的面积，谷仓的容积和有关金字塔的计算等谷仓的容积和有关金字塔的计算等. 著名的著名的“金字塔之迷金字塔之迷”就是其中的代表就是其中的代表. （1）、法老胡夫的金字塔）、法老胡夫的金字塔(Pyramid)： 兴建于兴建于齐阿斯齐阿斯王朝（王朝（BC2900年左右），高年左右），高146.5米，塔基宽米，塔基宽 233米，底边长度的误差为米，底边长度的误差为1.6厘米，正方程度与水平程度的平均误差厘米，正方程
18、度与水平程度的平均误差1/10000，塔高与塔基之比非常近似于圆的周，塔高与塔基之比非常近似于圆的周长与其半径之比长与其半径之比. .用以砌塔的巨石达用以砌塔的巨石达230万块，万块，重量从重量从2.5吨到吨到50吨不等吨不等. .如把这些石头凿成平如把这些石头凿成平均一立方英尺的小块并排列成行，其长度相均一立方英尺的小块并排列成行，其长度相当于地球周长的当于地球周长的2/3. 10万人用了万人用了20年的时间年的时间才建成的才建成的. .N.Khufu Pyramid（2）、阿蒙神庙）、阿蒙神庙(Oman Tamples)：阿蒙阿蒙埃及埃及的的太阳神太阳神. .王殿总面积王殿总面积5000平
19、方平方米，有米，有134根圆柱，中间最高的根圆柱，中间最高的12根高达根高达21米米. .、正方形、正方形, ,矩形矩形, ,三角形三角形, ,梯形面积公式梯形面积公式. .其他其他几何图形近似计算几何图形近似计算. . 如：任意四边形的面积如：任意四边形的面积、已经知道、已经知道毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理的特殊情况的特殊情况. .、圆的面积很好的近似、圆的面积很好的近似. . Rhind 50: :假设一直径为假设一直径为9的圆形土地，其面的圆形土地，其面积积= =边长为边长为8的正方形土地的正方形土地. . 由此可知，圆面积为由此可知，圆面积为 ，其中，其中 为直为直径，相当于取径，相当
20、于取=3.1605，误差为，误差为0.6%.、体积的计算、体积的计算 正四棱台的体积正四棱台的体积最高成就最高成就. . 直棱柱直棱柱( (圆柱圆柱) )的体积等于底面积乘以高的体积等于底面积乘以高. .、半球表面积的计算公式、半球表面积的计算公式. .、知道相似三角形、知道相似三角形. .、在求圆面积以及把圆分为若干相等部分、在求圆面积以及把圆分为若干相等部分的问题上，已经有了正确的知识的问题上，已经有了正确的知识. .结束语：结束语：静止静止的特性的特性-产生于约产生于约BC1700年左右的年左右的兰德兰德纸草书和纸草书和莫斯科莫斯科纸草书中的数学，在数千年漫纸草书中的数学，在数千年漫长的
21、岁月中很少变化长的岁月中很少变化. .加法加法运算和运算和单位分数单位分数始终是始终是埃及算术埃及算术的砖块，的砖块，使古埃及人的计算显得笨重繁复使古埃及人的计算显得笨重繁复. .古埃及人的古埃及人的面积面积、体积体积算法对算法对精确的公式精确的公式和和近近似关系似关系往往不作明确的区分，这又使他们的实往往不作明确的区分，这又使他们的实用几何带上了用几何带上了粗糙粗糙的色彩的色彩. .公元前四世纪公元前四世纪希腊人希腊人征服埃及以后，这一古老征服埃及以后，这一古老的数学文化完全被蒸蒸日上的的数学文化完全被蒸蒸日上的希腊希腊数学所代替数学所代替. .古埃及相关资料：古埃及相关资料：古埃及象形文字古埃及象形文字古埃及彩色象形文字古埃及彩色象形文字古古埃埃及及象象形形文文字字 字字母母一一兰兰德德草草书书中中问问题题79的的解解作业作业（1） 金字塔之谜金字塔之谜（2）普林斯顿第）普林斯顿第322号泥版号泥版（3）古埃及的几何知识）古埃及的几何知识注意：本作业为第四周作业，三选一，注意：本作业为第四周作业，三选一，两周之后交两周之后交.
