静电场原理与方法

《静电场原理与方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《静电场原理与方法（60页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、q点电荷电场点电荷电场S球面上各球面上各处场强强大小均大小均为 从从该球面穿出的球面穿出的电通量通量 电场线的疏密表示的疏密表示电场的的强强弱，若弱，若场中某面元上有中某面元上有条条电场线垂直穿垂直穿过，则 根据电场线的性质根据电场线的性质在电场中在电场中没有电荷处电场线是连续的、不没有电荷处电场线是连续的、不相交的，可以肯定包围点电荷相交的，可以肯定包围点电荷q q的的任意封闭曲面任意封闭曲面SS上的电通量也是上的电通量也是 q根据电场迭加原理，将上述结果推广到任意点电荷根据电场迭加原理，将上述结果推广到任意点电荷系构成的静电场：若闭合曲面包围的电荷的代数和系构成的静电场：若闭合曲面包围的电

2、荷的代数和为为 返回返回高斯定理的应用高斯定理的应用求场强求场强O r由高斯定理有由高斯定理有 由高斯定理有由高斯定理有 RE0rO r由高斯定理有由高斯定理有 由高斯定理有由高斯定理有 RE0rR 无限大无限大 均匀带电平面的电场均匀带电平面的电场由高斯定理有由高斯定理有 两面积两面积S、间距间距d平行板电容器当平行板电容器当带电荷量带电荷量Q时，板时，板间电场由电场间电场由电场叠加原理可得为叠加原理可得为例例: :半半径径为为r的的圆圆板板，在在与与其其中中心心O距距离离为为d处处置置一一点点电电荷荷q，试求板上电通量试求板上电通量 球冠面上的电通量与圆板的电通量相同！球冠面上的电通量与圆

3、板的电通量相同！距距q为为R处电场强度大小为处电场强度大小为球冠面积为球冠面积为例例: :在在相相距距d的的两两根根平平行行细细长长导导线线上上均均匀匀地地分分布布有有异异种种电电荷荷，其其线线密密度度为为及及 求在对称平面上与导线所在平面相距为求在对称平面上与导线所在平面相距为x的一点的一点P的电场强度的电场强度 无限长无限长 均匀带电导线的电场均匀带电导线的电场由高斯定理有由高斯定理有 例例: :如如图图，有有“无无限限长长”均均匀匀带带电电圆圆柱柱面面，半半径径为为R，电电荷荷面面密密度度为为，试试求求其其场场强，并作强，并作E（r）图）图 rE0R例例: :如如图图，在在一一厚厚度度为

4、为d的的无无穷穷大大平平板板层层内内均均匀匀地地分分布布有有正正电电荷荷，其其密密度度为为，求求在在平板层内及平板层外的电场强度平板层内及平板层外的电场强度E，并作，并作E（r）图）图 rE0d/2例例: :一一点点电电荷荷q位位于于一一立立方方体体中中心心，立立方方体体边边长长为为a，试试问问通通过过立立方方体体一一面面的的电电通通量量是是多多少少？如如果果点点电电荷荷移移至至立立方方体体的的一一个个角角上上，这这时时通通过过立立方方体体每每个个面面的的电电通通量量各各是多少？是多少？ 点电荷位于立方体中心时，通过立方体一个表面的电通量为点电荷位于立方体中心时，通过立方体一个表面的电通量为

5、点电荷位于立方体顶点时，点电荷位于立方体顶点时，通过立方体一个表面的电通量为通过立方体一个表面的电通量为 静电场的两大外观表现静电场的两大外观表现对引入电场的任何带电体产生力的作用对引入电场的任何带电体产生力的作用.当带电体在电场中移动时当带电体在电场中移动时, ,电场力做功电场力做功, ,说明电说明电场具有能量场具有能量. . 描述静电场的基本规律描述静电场的基本规律对一个孤立系统，电荷可在系统各部分之间迁移，但其总量保对一个孤立系统，电荷可在系统各部分之间迁移，但其总量保持不变持不变原来为零的始终为零，原来为某一量原来为零的始终为零，原来为某一量Q Q的，则始终的，则始终为为Q Q，此即电

6、荷守恒定律，此即电荷守恒定律 在真空中的任何静电场中，通过任一闭合曲面的在真空中的任何静电场中，通过任一闭合曲面的电通量等于这闭合曲面所包围的电荷的代数和的电通量等于这闭合曲面所包围的电荷的代数和的0分之一，这就是真空中静电场的高斯定理分之一，这就是真空中静电场的高斯定理 等效处理方法等效处理方法等效对称替代法等效对称替代法等效电像变换法等效电像变换法 球在第一次与板接触后获得电量为球在第一次与板接触后获得电量为q，说明有量，说明有量值为值为q的正电荷从板上转移到球上，由电荷守恒可的正电荷从板上转移到球上，由电荷守恒可知，此时板上电量为知，此时板上电量为(Q-q),球与板这一系统中的总电量是按

7、比例球与板这一系统中的总电量是按比例分配到球上与板上的分配到球上与板上的 当多次操作直至最终板上电量又一次为当多次操作直至最终板上电量又一次为Q但不能但不能向与之接触的球迁移时（此时两者等电势），球上电向与之接触的球迁移时（此时两者等电势），球上电量达到最大量达到最大: 例例:一个金属球借助导电薄板从起电机上获得电荷，板在每次与球接一个金属球借助导电薄板从起电机上获得电荷，板在每次与球接触后又从起电机上带电至电量为触后又从起电机上带电至电量为Q如果球在第一次与板接触后带如果球在第一次与板接触后带电量为电量为q，求球可获得的最大电量，求球可获得的最大电量.例例: : 如图所示，半径相同的两个金属

8、球如图所示，半径相同的两个金属球A、B相距很远，原来不带电，相距很远，原来不带电，C球先与远球先与远处电池正极接触，（负极接地），接着与球处电池正极接触，（负极接地），接着与球A接触，再与接触，再与B球接触；然后又与电池球接触；然后又与电池正极接触，重复上述过程，反复不已已知正极接触，重复上述过程，反复不已已知C球第一次与电池接触后的带电量为球第一次与电池接触后的带电量为q，第一次与，第一次与A球接触后球接触后A球的带电量为球的带电量为Q1，求，求A球与球与B球最后的带电量球最后的带电量Q与与Q；设设 ，至少经过几次与，至少经过几次与C球接触后，球接触后，A球的带电量可达最后带电量的一半？球的

9、带电量可达最后带电量的一半？ CAB 设设A A、B B球半径为球半径为R, ,C球半径为球半径为r, ,C球与球与A A球第球第1 1次接触后有次接触后有 电荷不再从电荷不再从C C球移向球移向A A球，故球，故 C球与球与B球接触最终球接触最终亦有亦有 由由式及题给条件式及题给条件 若第次若第次C与与A接触后接触后A又获电量又获电量Q2， n次次C、A接触后有接触后有 返回返回r2r1mOMQq带电球壳内场强为零带电球壳内场强为零!r点电荷点电荷q在两侧场强等值反向在两侧场强等值反向!qEqEq整个带电球内部场强为整个带电球内部场强为0;外表面场强大小为外表面场强大小为设球壳除设球壳除A外

10、其余部分在外其余部分在A处的场强为处的场强为EAA在在A A内侧有内侧有在在A A外侧有外侧有例例:均匀带电球壳半径为均匀带电球壳半径为R，带正电，电量为，带正电，电量为Q，若在球面上划出很，若在球面上划出很小一块，它所带电量为小一块，它所带电量为q试求球壳的其余部分对它的作用力试求球壳的其余部分对它的作用力 例例: 一个半径为一个半径为a的孤立的带电金属丝环，其中心电势为的孤立的带电金属丝环，其中心电势为U0将此环将此环靠近半径为靠近半径为b的接地的球，只有环中心的接地的球，只有环中心O位于球面上，如图试求球位于球面上，如图试求球上感应电荷的电量上感应电荷的电量 O点点O1点电势均为点电势均

11、为0;环上电荷在环上电荷在O O点的总电势为点的总电势为U U0 0球上感应电荷在球上感应电荷在O O1 1点引起的电势点引起的电势U Ub bO1a bOO点点O1点电势均由环上电荷及点电势均由环上电荷及球上感应电荷共同引起！球上感应电荷共同引起！环上电荷在环上电荷在O O1 1点的总电势为点的总电势为例例: :正正点点电电荷荷1和和正正点点电电荷荷2分分别别放放置置在在A、B两两点点，两两点点间间相相距距L现现以以L为为直直径径作作一一半半圆圆，电电荷荷在在此此半半圆圆上上有有一一电电势势最最小小的的位位置置P，设设PA与与AB的夹角为的夹角为，则，则 （用三角函数表示）（用三角函数表示）

12、 切向场强为切向场强为0位置为位置为电势最小的位置！电势最小的位置！例例: :电电荷荷均均匀匀分分布布在在半半球球面面上上，它它在在这这半半球球的的中中心心O处处电电场场强强度度等等于于E0两两个个平平面面通通过过同同一一条条直直径径，夹夹角角为为，从从半半球球中中分分出出一一部部分分球球面面，如如图图所所示示试试求求所所分分出出的的这这部部分分球球面面上上（在在“小小瓣瓣”上上）的的电电荷荷在在O处的电场强度处的电场强度E E0E半球面均匀分布电荷半球面均匀分布电荷在在O点引起的场强可视点引起的场强可视为为“小瓣小瓣”球面电荷球面电荷与与“大瓣大瓣”球面电荷球面电荷在在O点引起的电场的矢点引

13、起的电场的矢量和量和.由对称性及半球几何关系可知由对称性及半球几何关系可知E大大与与E小小垂直，如图所示垂直，如图所示: :例例: :有有两两个个异异种种点点电电荷荷，其其电电量量之之比比为为n，相相互互间间距距离离为为d试试证证明明它它们们的的电电场场中中电电势势为为零零的的等等势势面面为为一一球球面面，并并求求此此等等势势面面的的半半径径及及其其中心与电量较小电荷的距离中心与电量较小电荷的距离r Oyx-qnq以小电量电荷所在位置为坐以小电量电荷所在位置为坐标原点，建立直角坐标标原点，建立直角坐标-q与与nq在坐标为（在坐标为（x、y）的点电势迭加为零，即有的点电势迭加为零，即有 球心坐标

14、球心坐标球半径球半径例例: :半半径径分分别别为为R1和和R2的的两两个个同同心心半半球球相相对对放放置置，如如图图所所示示，两两个个半半球球面面均均匀匀带带电电，电电荷荷密密度度分分别别为为1和和2，试试求求大大的的半半球球面面所所对对应应底底面面圆直径圆直径AOB上电势的分布上电势的分布 AB大半球面上电荷量为大半球面上电荷量为大半球面上电荷在底面引起的电势为整个大半球面上电荷在底面引起的电势为整个大球大球面上电荷引起电势的一半面上电荷引起电势的一半, ,即即小半球面上电荷量为小半球面上电荷量为小半球面上电荷在其底面引起的电势为整个小球小半球面上电荷在其底面引起的电势为整个小球面上电荷引起

15、电势的一半面上电荷引起电势的一半, ,即即根据电场叠加原根据电场叠加原理理, ,直径直径ABAB上电上电荷分布为荷分布为: :小半球面上电荷在球面外引起的电势亦为小半球面上电荷在球面外引起的电势亦为整个小球面上电荷引起电势的一半整个小球面上电荷引起电势的一半,即即例例: : 一一半半径径为为R、带带电电量量为为Q的的均均匀匀带带电电球球面面，试试求求其其上上的的表表面面张张力力系系数数，定定义为面上单位长度线段两侧各向对方施加的作用力义为面上单位长度线段两侧各向对方施加的作用力 RETT在球面上取一面元在球面上取一面元面元受力如示面元受力如示面元周边所受张力合力大小为面元周边所受张力合力大小为

16、面元处于平衡面元处于平衡, ,则则返回返回例例: :如如图图，电电场场线线从从正正电电荷荷q1出出发发，与与正正点点电电荷荷及及负负点点电电荷荷的的连连线线成成角，则该电场线进入负点电荷角，则该电场线进入负点电荷q2的角度的角度是多大？是多大？ +q1q2以点电荷以点电荷+q1与与-q2为中心，为中心，取一半径取一半径r很小的球面，可很小的球面，可视为其上电场线均匀分布，视为其上电场线均匀分布，穿出穿出2角所对的球冠面的角所对的球冠面的电场线应完全穿入电场线应完全穿入2角所角所对的球冠面，两面上电通对的球冠面，两面上电通量相等：量相等： -4qq例例: :准确地画出两点电荷准确地画出两点电荷q

17、及及4q的电场线分布示意图的电场线分布示意图. 若若两电荷相距两电荷相距a，场强为零的点在两点电荷连线延长线，场强为零的点在两点电荷连线延长线距距+q为为x远处远处: 由上题，从由上题，从+q出发，出发，与两电荷连线所成与两电荷连线所成角度在角度在0,之间的之间的电场线进入电场线进入-4q终止终止时与两电荷连线夹时与两电荷连线夹角在角在0,/3之间，之间，如图如图:O点电势为点电势为0：由高斯定理知由高斯定理知例例:如如图图，两两个个以以O为为球球心心的的同同心心金金属属球球壳壳都都接接地地，半半径径分分别别是是r、R现现在在离离O为为l（rlR）的的地地方方放放一一个个点点电电荷荷q问问两两

18、个个球球壳壳上上的的感感应电荷的电量各是多少？应电荷的电量各是多少？ . 例例: :如如图图所所示示，将将表表面面均均匀匀带带正正电电的的半半球球，沿沿线线分分成成两两部部分分，然然后后将将这这两两部部分分移移开开很远的距离，设分开后的球表面仍均匀带电，试比较点与点电场强度的大小很远的距离，设分开后的球表面仍均匀带电，试比较点与点电场强度的大小 AE1E2ABCDO若正四面体的四个面电势相同，四面体就是一个等势体，若正四面体的四个面电势相同，四面体就是一个等势体，其中心点电势即可确定，现正四面体其中心点电势即可确定，现正四面体ABCD各面静电势均各面静电势均不同，其中心点的电势难以直接确定不同

19、，其中心点的电势难以直接确定.例例:如如图图所所示示，正正四四面面体体ABCDABCD各各面面为为导导体体，但但又又彼彼此此绝绝缘缘已已知知带带电电后后四四个个面面的的静静电电势势分分别别为为、和和, ,求求四四面面体体中中心心点点的的电电势势0 0 进行等效替代进行等效替代：另有同样的三个四个：另有同样的三个四个面的静电势分别为面的静电势分别为1、 2 、 3和和4的正的正四面体，将它们适当地叠在一起，使四个四面体，将它们适当地叠在一起，使四个面的电势均为面的电势均为1+2 +3+4 ，中心点，中心点O共共点，这个叠加而成的四面体是等势体，其点，这个叠加而成的四面体是等势体，其中心中心O点电

20、势点电势40=1+2 +3+4 例例:如如图图所所示示，在在半半径径为为R、体体密密度度为为的的均均匀匀带带电电球球体体内内部部挖挖去去半半径径为为r的的一一个个小小球，小球球心与大球球心球，小球球心与大球球心O相距为相距为a，试求点的场强，并证明空腔内电场均匀，试求点的场强，并证明空腔内电场均匀 r1OAE1EAE2r2带电球内半径为带电球内半径为r处处场强场强aBABPOMABAP处带宽设为处带宽设为带面积为带面积为均匀带电球电荷面密度为均匀带电球电荷面密度为P处带上电荷量为处带上电荷量为P处弧上电荷线密度为处弧上电荷线密度为例例:如如图图所所示示，在在半半径径为为R的的细细圆圆环环上上分

21、分布布有有不不能能移移动动的的正正电电荷荷，总总电电量量为为Q，AB是是它它的的一一条条直直径径，如如果果要要使使AB上上的的场场强强处处处处为为零零，则则圆圆环环上上的的电电荷荷应应该该如如何何分分布？布？ 均匀带电金属球表面每一个面元受到整均匀带电金属球表面每一个面元受到整个球面其余部分电荷对它的静电力大小个球面其余部分电荷对它的静电力大小是是 则单位面积静电力则单位面积静电力 设想另半球对此半球的作用力与压强亦为设想另半球对此半球的作用力与压强亦为P P的气体作的气体作用在半球上的压力相平衡，则用在半球上的压力相平衡，则 例例:两两个个半半球球合合在在一一起起组组成成一一个个完完整整的的

22、金金属属球球，球球的的半半径径为为R，如如图图所示，求两个半球间的静电斥力所示，求两个半球间的静电斥力. +EQE-QEr1r2dd例例:在在强强度度为为E的的均均匀匀电电场场中中放放着着一一个个均均匀匀的的金金属属球球，其其半半径径为为R，由由于于感感应应，在在球上产生了表面密度为球上产生了表面密度为的电荷，的电荷，与图中标出的角与图中标出的角有关系求关系式有关系求关系式() 例例:如如图图所所示示，平平面面上上有有一一段段长长为为l的的均均匀匀带带电电直直线线AB，在在该该平平面面取取直直角角坐坐标标Oxy，原原点点O为为AB中中点点，AB沿沿x轴轴试试证证明明该该平平面面上上任任一一点点

23、P的的电电场场线线方方向向沿沿APB的的角平分线；角平分线；试求该平面上的电场线方程试求该平面上的电场线方程试求该平面上的等势线方程试求该平面上的等势线方程. PCEPBAh元电荷在元电荷在P点引点引起的场强起的场强各点合场强均沿该点对各点合场强均沿该点对AB张角的角平分线张角的角平分线 !利用双曲线性质：双曲线上各点切线沿该点与双曲线利用双曲线性质：双曲线上各点切线沿该点与双曲线两焦点夹角平分线，而所研究的电场其各点电场线切两焦点夹角平分线，而所研究的电场其各点电场线切线沿各点对线沿各点对A A、B B张角平分线，则电场线为一簇焦距为张角平分线，则电场线为一簇焦距为l l /2 2的的双曲线

24、双曲线利用椭圆性质：椭圆上各点法线为该点与椭圆两焦点利用椭圆性质：椭圆上各点法线为该点与椭圆两焦点夹角平分线，所研究的电场其各点电场线切线沿各点夹角平分线，所研究的电场其各点电场线切线沿各点对对A A、B B张角平分线，而等势线与电场线处处垂直，则张角平分线，而等势线与电场线处处垂直，则其等势线即为一簇焦距为其等势线即为一簇焦距为 l l /2 2的的椭圆椭圆返回返回例例:如图，无限大的接地导体板，在距板如图，无限大的接地导体板，在距板d处的处的A点有一个电量为点有一个电量为Q的的正电荷，求板上的感应电荷对点电荷正电荷，求板上的感应电荷对点电荷Q的作用力的作用力 QA-Q由于导体板接地，板上电

25、势为零，在点电荷由于导体板接地，板上电势为零，在点电荷Q Q的作用下，板的右侧出现感应电荷的作用下，板的右侧出现感应电荷. .由于导体为一等势面，从点电荷由于导体为一等势面，从点电荷Q Q出出发的电场线应处处与导体面正交而终发的电场线应处处与导体面正交而终止，因而导体板右侧电场线分布大致止，因而导体板右侧电场线分布大致如图所示如图所示联想到等量异种电荷的电场：联想到等量异种电荷的电场：导体板上感应电荷对板右侧电场的影响，可导体板上感应电荷对板右侧电场的影响，可用与点电荷用与点电荷Q关于导体面成镜像对称的另一关于导体面成镜像对称的另一虚设点电荷虚设点电荷-Q替代，板上感应电荷对替代，板上感应电荷

26、对Q的作的作用亦等效于像电荷用亦等效于像电荷-Q对对Q发生的作用发生的作用由库仑定律，板上感应电荷对点电荷由库仑定律，板上感应电荷对点电荷Q Q的的作用力大小为作用力大小为ROrPq由导体表面感应由导体表面感应电荷总电量在电荷总电量在O点点引起的电势与点引起的电势与点电荷电荷q在在O点引起点引起的电势之和为零的电势之和为零得得 根据唯一性原理可知，等效的像电荷量即为根据唯一性原理可知，等效的像电荷量即为像电荷位置，应令其在球面上任意点引起的电势与像电荷位置，应令其在球面上任意点引起的电势与q在同一在同一点电势叠加为零，即满足点电势叠加为零，即满足 对任意角位置等式均成立必有对任意角位置等式均成

27、立必有例例:如如图图所所示示，设设在在一一接接地地导导体体球球的的右右侧侧P点点，有有一一点点电电荷荷q，它它与与球球心心的的距距离离为为d，球的半径为，球的半径为R，求导体球上的感应电荷为多少？点电荷，求导体球上的感应电荷为多少？点电荷q受到的电场力为多大？受到的电场力为多大？ 例例:半半径径为为R2的的导导电电球球壳壳包包围围半半径径为为R的的金金属属球球，金金属属球球原原来来具具有有电电势为势为U，如果让球壳接地，则金属球的电势变为多少？，如果让球壳接地，则金属球的电势变为多少？ U金属球上电量设为金属球上电量设为Q球壳接地后设感应电荷的像电荷电球壳接地后设感应电荷的像电荷电量为量为q，

28、由高斯定理，由高斯定理 壳接地后球的电势为壳接地后球的电势为Q与与q引起的引起的电势叠加电势叠加Ecqab-qq-qEaEbc像电荷在像电荷在c点引起的场强大小点引起的场强大小 例例:两两个个电电量量q相相等等的的正正点点电电荷荷位位于于一一无无穷穷大大导导体体平平板板的的同同一一侧侧，且且与与板板的的距距离离均均为为d，两两点点电电荷荷之之间间的的距距离离为为2d求求在在两两点点电电荷荷联联线线的中点处电场强度的大小与方向的中点处电场强度的大小与方向 例例:如如图图所所示示，质质子子加加速速器器使使每每个个质质子子得得到到的的动动能能为为E很很细细的的质质子子束束从从加加速速器器射射向向一一

29、个个远远离离加加速速器器的的半半径径为为r的的金金属属球球，并并留留在在球球上上球球中中心心并并不不处处在在加加速速器器发发射射出出的的质质子子运运动动方方向向的的直直线线上上，而而与与该该直直线线的的垂垂直直距距离离为为d，且且dr，加加速速器器工工作作足足够长时间后，球能充电到多高的电势？计算中取够长时间后，球能充电到多高的电势？计算中取E=2keV， 设质子初速度为设质子初速度为v0，当金属球充电到电势为，当金属球充电到电势为U时，质子与时，质子与金属球相切而过，设此时速度设为金属球相切而过，设此时速度设为v，由于质子在向球运，由于质子在向球运动时，只受库仑力且力的方向沿球径向，故对球心

30、动时，只受库仑力且力的方向沿球径向，故对球心O，冲，冲量矩为零，质子角动量守恒：量矩为零，质子角动量守恒： Umv0mvdr由动能定理：由动能定理： 例例:需要净化空气中的灰尘，但在一般条件下灰尘沉积下来是较缓慢的，为此可需要净化空气中的灰尘，但在一般条件下灰尘沉积下来是较缓慢的，为此可利用这样一个事实，即灰尘是带电的为模拟净化过程，提出两种装置利用这样一个事实，即灰尘是带电的为模拟净化过程，提出两种装置 第一个装置是，将含有灰尘空气的玻璃圆桶（高第一个装置是，将含有灰尘空气的玻璃圆桶（高h1 m，半径，半径R0.1 m，如，如图示）放在场强图示）放在场强E11104 V/m的电场中，场强方向

31、沿着圆柱形桶的轴向经时的电场中，场强方向沿着圆柱形桶的轴向经时间间t1120 s后，可以观察到容器中所有的灰尘均已沉积在底部后，可以观察到容器中所有的灰尘均已沉积在底部 第二个装置是这样的：沿圆柱桶的轴线紧拉着一根细导线，且将此导线跟高第二个装置是这样的：沿圆柱桶的轴线紧拉着一根细导线，且将此导线跟高压电源相连，电源电压是这样选取的，使在容器壁上场强值恰好等于第一个装压电源相连，电源电压是这样选取的，使在容器壁上场强值恰好等于第一个装置的场强值置的场强值1104 V/m已知在这种情况下场强已知在这种情况下场强E1/r，r为离轴线的距离为离轴线的距离假设尘粒是同种的，其所带电荷量也相等，试确定第

32、二个装置中尘粒沉积到容假设尘粒是同种的，其所带电荷量也相等，试确定第二个装置中尘粒沉积到容器壁所需时间由于空气中的尘粒不多，体电荷可以忽略，认为尘粒沉积过程器壁所需时间由于空气中的尘粒不多，体电荷可以忽略，认为尘粒沉积过程动态平衡，空气阻力与速度成正比，不计重力动态平衡，空气阻力与速度成正比，不计重力 解答解答h2R第一个装置中，电场力恒定，故尘粒匀速下降时有第一个装置中，电场力恒定，故尘粒匀速下降时有 第二个装置中，在距离轴心第二个装置中，在距离轴心r处尘粒速度设为处尘粒速度设为vr，则，则 读题读题 电容器相关研究电容器相关研究+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+

33、-+-+-+-+-+-+-+-+-+电介质的介电常数定义为电介质的介电常数定义为到例到例到例到例6示例示例由高斯定理由高斯定理,无限大均匀带电平面的无限大均匀带电平面的电场由电场由 两面积两面积S、间距间距d平行板电容器当带电荷量平行板电容器当带电荷量Q时，板时，板间电场由电场叠加原理可得为间电场由电场叠加原理可得为两板两板间电势差间电势差+Ori由高斯定理由高斯定理,在距球心在距球心ri处场强处场强在距球心在距球心ri处处其上场强视作恒定其上场强视作恒定,则元电势差为则元电势差为电容器两极间电势差为电容器两极间电势差为例例:两个半径均为两个半径均为R的导体球相互接触形成一孤立导体，试求此孤立

34、的导体球相互接触形成一孤立导体，试求此孤立导体的电容导体的电容 O1RO1O2+q1解题方向解题方向: 若能确定若能确定系统电势为系统电势为U时的电时的电量量Q,可由定义求得可由定义求得C考虑其中考虑其中1球球,电势为电势为U时时,电量电量+q1O2R+q1引入同样的第引入同样的第2球球,1球将电势叠加球将电势叠加,为维持为维持U,+q1-q2-q2对称地对称地,为维持球为维持球2电势电势U,亦设置亦设置像电荷予以抵消像电荷予以抵消为抵消像电荷引起的电势为抵消像电荷引起的电势,再设置再设置下一级像电荷下一级像电荷+q3+q3-q4-q4例例:半半径径分分别别为为a和和b的的两两个个球球形形导导

35、体体，相相距距很很远远地地放放置置，分分别别带带有有电电荷荷qa、qb，现现用用一一金金属属导导线线连连接接，试试求求连连接接后后每每球球上上的的电电荷荷量量及及系系统统的电容的电容. 解题方向解题方向: 系统总电量守恒，只要确定导系统总电量守恒，只要确定导线连接后系统的电势线连接后系统的电势, ,可由定义求得可由定义求得C C设连接后两球各带电设连接后两球各带电由电荷守恒有由电荷守恒有 由等势且相距很远由等势且相距很远 解得解得 返回返回i i+1123dh解题方向解题方向: 不平行电容器等效不平行电容器等效为无穷多个板间距离不等的平为无穷多个板间距离不等的平行板电容器并联行板电容器并联!若

36、无穷均分若无穷均分b若无穷均分若无穷均分C等式两边取等式两边取n次方极限得次方极限得例例:如图，两块长与宽均为如图，两块长与宽均为a与与b的导体平板在制成平行板电容器时稍有偏斜，使两的导体平板在制成平行板电容器时稍有偏斜，使两板间距一端为板间距一端为d，另一端为（，另一端为（dh），且且h d，试求该空气电容器的电容，试求该空气电容器的电容 例例:如如图图所所示示，由由五五个个电电容容器器组组成成的的电电路路，其其中中C14F，C26F，C10F，求求AB间的总电容间的总电容 C1C1C2C2C3AMNB设在设在A、B两端加一电压两端加一电压U，并设，并设UMUNM(N)处连接三块极板总电量为

37、处连接三块极板总电量为则有则有 解得解得 于是有于是有 五电容连接后的等效电容为五电容连接后的等效电容为 五电容连接直观电路如图五电容连接直观电路如图 ABC1C1C2C2C3例例:如如图图是是一一个个无无限限的的电电容容网网络络，每每个个电电容容均均为为C，求求A、B两两点点间间的总电容的总电容 设设n个网格的电容为个网格的电容为Cn,则有则有 整理得整理得 该无穷网络等效电容为该无穷网络等效电容为 n AB返回返回例例:如图，一平行板电容器，充以三种介电常数分别为如图，一平行板电容器，充以三种介电常数分别为1、2和和3的均的均匀介质，板的面积为匀介质，板的面积为S，板间距离为，板间距离为2

38、d试求电容器的电容试求电容器的电容 dd等效于等效于C1与串联的与串联的C2、C3 并联并联:例例:在极板面积为在极板面积为S，相距为，相距为d的平行板电容器内充满三种不同的介质，如图所示的平行板电容器内充满三种不同的介质，如图所示如果改用同一种介质充满板间而电容与之前相同，这种介质的介电常数应是多如果改用同一种介质充满板间而电容与之前相同，这种介质的介电常数应是多少？少？如果在如果在3和和1、2之间插有极薄的导体薄片，之间插有极薄的导体薄片，问的结果应是多少？问的结果应是多少？ abcd将电容器划分为如图所示将电容器划分为如图所示a、b、c、d四部分四部分所求等效电容为所求等效电容为a与与b

39、串联、串联、c与与d串联后两部串联后两部分并联而成，由分并联而成，由C可得可得插入导体薄片插入导体薄片所求等效电容为所求等效电容为1与与2并联与并联与3串联，由串联，由C可得可得例例:球形电容器由半径为球形电容器由半径为r的导体球和与它同心的球壳构成，球壳内的导体球和与它同心的球壳构成，球壳内半径为半径为R，其间一半充满介电常数为，其间一半充满介电常数为的均匀介质，如图所示，求电的均匀介质，如图所示，求电容容. 球形电容器的电容球形电容器的电容 本题电容器等效于介电常数为和本题电容器等效于介电常数为和的两个半球电的两个半球电容器容器并联并联，每个半球电容各为，每个半球电容各为 该球形电容器的等

40、效电容为该球形电容器的等效电容为 Rr例例:如图所示为共轴的两导体圆柱面组成的电容器长如图所示为共轴的两导体圆柱面组成的电容器长l、半径分别为、半径分别为r和和R两圆两圆筒间充满介电常数为筒间充满介电常数为的电介质求此电容器的电容的电介质求此电容器的电容 设圆柱面电容器电容为设圆柱面电容器电容为C，它由，它由n个电个电容为容为nC的元圆柱面电容串联而成，元圆柱的元圆柱面电容串联而成，元圆柱面电容器可视为平行板电容器，第面电容器可视为平行板电容器，第i个元电个元电容为容为 riri-11234+q1-q2+q2-q1+解题方向解题方向:利用电容对两板间利用电容对两板间的电压及极板上的电量的制约的

41、电压及极板上的电量的制约 例例:四块同样的金属板，每板面积为四块同样的金属板，每板面积为S，各板带电量分别为，各板带电量分别为q1、-q1、q2、-q2各板各板彼此相距为彼此相距为d，平行放置如图，平行放置如图，d比板的线尺寸小得多，当板比板的线尺寸小得多，当板1、板、板4的外面用导线的外面用导线连接，求板连接，求板2与板与板3之间的电势差之间的电势差 例例: 如图所示，两块金属平板平行放置，相距如图所示，两块金属平板平行放置，相距D=1 cm，一板上电荷面密度，一板上电荷面密度1=3C/m2，另一板上电荷面密度，另一板上电荷面密度2=6C/m2 ，在两板之间平行地放置一块厚，在两板之间平行地

42、放置一块厚d=5 mm的石蜡板，石蜡的介电常数的石蜡板，石蜡的介电常数=2求两金属板之间的电压求两金属板之间的电压 +2+1Dd如果在每个金属板上附加面密度如果在每个金属板上附加面密度为为C/m2的电荷，电容器的带电就的电荷，电容器的带电就成为成为“标准状况标准状况”了了两板带两板带等量异种电荷等量异种电荷:附加电荷在板间引起的电场互相抵消，并不影响原来附加电荷在板间引起的电场互相抵消，并不影响原来的板间电场，也不会改变电容器的电势的板间电场，也不会改变电容器的电势 等效电容为等效电容为:例例:电容为电容为C的平行板电容器的一个极板上有电量的平行板电容器的一个极板上有电量q，而另一个极板，而另

43、一个极板上有电量上有电量+4q，求电容器两极板间的电势差，求电容器两极板间的电势差 如果在每个金属板上附加如果在每个金属板上附加q的电荷，电容的电荷，电容器的带电就成为两板带等量异种电荷器的带电就成为两板带等量异种电荷q 的的“标准状况标准状况”：例例:三三个电容分别为个电容分别为C1、C 2、C 3的未带电的电容器，如图方式相连，再接到点的未带电的电容器，如图方式相连，再接到点A、B、D上这三点电势分别为上这三点电势分别为A、UB、D则公共点则公共点O的电势是多大？的电势是多大？ C1C3C2ODBA解题方向解题方向:考虑电容器电容、考虑电容器电容、电压与电量之间的关系电压与电量之间的关系

44、设三个电容带电量分别为设三个电容带电量分别为例例:如图所示的两块无限大金属平板如图所示的两块无限大金属平板A、B均接地，现在两板之间放入点电荷均接地，现在两板之间放入点电荷q，使，使它距它距A板板r，距，距B板板R求求A、B两板上的感应电荷电量各如何？两板上的感应电荷电量各如何？ 解题方向解题方向:与设想将与设想将q均匀细分均匀细分n份，份，均匀分布在距板均匀分布在距板r处的处的平面平面M后等效后等效BAM+这是两个电容这是两个电容并联并联!两电容器电容之比两电容器电容之比并联电容总电量并联电容总电量每个电容带电量每个电容带电量设三块板上电量依次为设三块板上电量依次为q1、q2、q3，由电荷守

45、恒：，由电荷守恒：1、2两板间的电场是三板上电荷引起电场的叠加：两板间的电场是三板上电荷引起电场的叠加：3、2两板间的电场也是三板上电荷引起电场的叠加：两板间的电场也是三板上电荷引起电场的叠加：例例:三块相同的平行金属板，面积为三块相同的平行金属板，面积为S，彼此分别相距，彼此分别相距d1和和d2起初板起初板1上带有电量上带有电量Q，而板，而板2和板和板3不带电然后将板、分别接在电池正、负极上，电池提供的不带电然后将板、分别接在电池正、负极上，电池提供的电压为电压为U若板若板1、3用导线连接如图，求用导线连接如图，求1、2、3各板所带电量各板所带电量 ？ 返回返回S4断开，断开， S1、S2、

46、S3接通的条件下，三电容器并联在接通的条件下，三电容器并联在电源上，电路情况如图所示：电源上，电路情况如图所示： C1C2C3S4S2S3RS1每个电容器电量为每个电容器电量为 断开断开 S1、S2、S3接通接通S4的条件下，三电容的条件下，三电容器串联在电源上，电路情况如图所示：器串联在电源上，电路情况如图所示： C1C2C3S4R由电荷守恒：由电荷守恒： q1-q2q2-q1q3-q3由电势关系：由电势关系： 例例:如图所示的电路中，如图所示的电路中，C14C0，C22C0，C3C0，电池电动势为，不计内阻，电池电动势为，不计内阻，C0与为已知量先在断开与为已知量先在断开S4的条件下，接通

47、的条件下，接通S1、S2、S3，令电池给三个电容器充电；，令电池给三个电容器充电；然后断开然后断开S1、S2、S3，接通，接通S4，使电容器放电，求：放电过程中，电阻，使电容器放电，求：放电过程中，电阻R上总共产上总共产生的热量及放电过程达到放电总量一半时，生的热量及放电过程达到放电总量一半时，R上的电流上的电流 电容器带电时，上极电容器带电时，上极板所受电场力矩与质板所受电场力矩与质量为量为m的砝码重力矩平的砝码重力矩平衡，即衡，即 例例:静电天平的原理如图所示，一空气平行板电容器两极板的面积都静电天平的原理如图所示，一空气平行板电容器两极板的面积都是是S，相距为，相距为x，下板固定，上板接

48、到天平的一头，当电容器不带电，下板固定，上板接到天平的一头，当电容器不带电时，天平正好平衡然后把电压时，天平正好平衡然后把电压U加到电容器的两极上，则天平的加到电容器的两极上，则天平的另一头须加上质量为另一头须加上质量为m的砝码，才能达到平衡求所加的电压的砝码，才能达到平衡求所加的电压U xSm练习练习(a)两块边长为两块边长为15 cm的正方形平板，相距为的正方形平板，相距为5 cm，组成一个空气平行板电，组成一个空气平行板电容器容器8.8510-12 F/m试求该电容器的电容电容器平板被竖直固定在绝缘支试求该电容器的电容电容器平板被竖直固定在绝缘支撑物上（撑物上（b）涂有导电漆的球形木髓小

49、球被长为）涂有导电漆的球形木髓小球被长为10 cm的一段丝线悬挂，丝线上的一段丝线悬挂，丝线上端固定于端固定于A板上，如图所示，木髓小球开始时和板上，如图所示，木髓小球开始时和A板接触它的质量板接触它的质量m0.1 g，半，半径径r0.3 cm，求木髓小球的电容，求木髓小球的电容 平板电容器的平板电容器的B板接地，板接地，A板与电势为板与电势为60000V范德格喇夫起电机做瞬时接触，然后平板电容器再次绝缘这时可观察到范德格喇夫起电机做瞬时接触，然后平板电容器再次绝缘这时可观察到木髓小球离开木髓小球离开A板运动到板运动到B板，然后再返回到板，然后再返回到A板，往复几次以后，木髓小球处于板，往复几

50、次以后，木髓小球处于平衡位置，并且悬挂丝线与平衡位置，并且悬挂丝线与A板夹角为板夹角为 (a)解释木髓小球为什么会这样运动并求出它最后的平衡位置；解释木髓小球为什么会这样运动并求出它最后的平衡位置； (b)计算两平行板之间最终电势差；计算两平行板之间最终电势差； (c)试求木髓小球在静止前来回摆动的次数试求木髓小球在静止前来回摆动的次数k； (d)作一草图，表示两板电势差与小球在两板间来回次数的函数关系作一草图，表示两板电势差与小球在两板间来回次数的函数关系UABf (k) 接接范范德德格格喇喇夫起电机夫起电机AB解答解答(a)由平行板电容器公式由平行板电容器公式得空气平行板电容器电容：得空气

51、平行板电容器电容： (b)由孤立导体球电容器公由孤立导体球电容器公式得木髓球电容器电容：式得木髓球电容器电容： (a) 球带电后被球带电后被A板静电推斥，与板静电推斥，与B板接触时放电而后受重力作用摆回板接触时放电而后受重力作用摆回A板充电，再被推到板充电，再被推到B板放电，如此往复板放电，如此往复k次，使板间电压减小、场强减小，次，使板间电压减小、场强减小，直至小球所受电场力与重力及丝线张力平衡而静止在将要接触直至小球所受电场力与重力及丝线张力平衡而静止在将要接触B板但未放电板但未放电的位置，则丝线与的位置，则丝线与A板夹角为板夹角为 (b)由于球平衡，有由于球平衡，有 (c)初时初时A板与球电势均为板与球电势均为U0=60000 V，球推开后，球推开后A的电势变成的电势变成U1，板上电，板上电量量CU1，球上电量，球上电量C0 U0，由电荷守恒：，由电荷守恒： 电势差电势差次数次数2260000V8840V(d)读题读题