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1、8.2.1 8.2.1 二向应力状态分析二向应力状态分析解析法解析法向应力状态分析 确定任意方向面上的应力确定任意方向面上的应力 应用平衡的方法应用平衡的方法 平面应力状态的解析法平面应力状态的解析法正负号规则正负号规则平衡原理的应用平衡原理的应用 微元局部的平衡方程微元局部的平衡方程应力变换及其实质应力变换及其实质向应力状态分析正正 应应 力力拉为正拉为正压为负压为负 正正 负负 号号 规规 则则 平面应力状态的解析法平面应力状态的解析法向应力状态分析剪剪 应应 力力 使微元或使微元或其局部顺时针其局部顺时针方向转动为正；方向转动为正；反之为负。反之为负。正负号规则正负号规则 平面应力状态的
2、解析法平面应力状态的解析法向应力状态分析q q 角角 由由 x正向正向反时针转到转到x正向者为正；正向者为正；反之为负。反之为负。yxqq正负号规则正负号规则 平面应力状态的解析法平面应力状态的解析法向应力状态分析平衡原理的应用平衡原理的应用微元局部的平衡方程微元局部的平衡方程 平衡对象用q 斜截 面截取的微元局部FF 平衡方程平衡方程 参加平衡的量参加平衡的量应力应力 乘以其作用的面积乘以其作用的面积t tyxdAq qxy向应力状态分析q qq q - -cos)cos(dAx- - q qq qydA(sin ) sindA x+ + q qq qdA(cos ) sinxy+ + q
3、qq qdA(sin ) cosyx 平面应力状态的解析法平面应力状态的解析法t tyxdAq qxy向应力状态分析- - x ydA + + q qq qxdA(cos ) sin+ + q qq qxydA(cos ) cos- - q qq qydA(sin ) cos- - q qq qyxdA(sin ) sin 平面应力状态的解析法平面应力状态的解析法t tyxdAq qxy向应力状态分析化简得到以下两个方程：化简得到以下两个方程： 平面应力状态的解析法平面应力状态的解析法利用三角恒等式，利用三角恒等式，整理得整理得向应力状态分析x-y坐标系坐标系x-y坐标系坐标系xp-yp坐标系
4、坐标系应力变换的实质应力变换的实质同一点的应力同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式：状态可以有各种各样的描述方式： 平面应力状态的解析法平面应力状态的解析法向应力状态分析向应力状态分析1 1、应力圆方程、应力圆方程8.2.2 8.2.2 二向应力状态分析的图解法二向应力状态分析的图解法 应力圆应力圆（Mohrs Circle for Stresses）向应力状态分析圆心坐标：圆心坐标： 半径：半径： 任一点坐标：任一点坐标： 上述方程所表示的圆上述方程所表示的圆应力圆或莫尔圆应力圆或莫尔圆二二.应力圆的画法：应力圆的画法： 1.设 轴，选取应力比例尺。 2.以 为坐标，得D点， 得E点。
5、向应力状态分析3.连DE交 轴于C点，C点即为应力圆的圆心应力圆的圆心。4.以CD或CE为半径画圆。即得应力圆。5.以CD为基准线基准线，沿反时针方向另取角度 圆交于G点 ，得一射线，与三三.验证验证 的正确性由应力圆可得：由应力圆可得：6.按比例尺量出 值，即为单元体 斜面上的正应力和剪应力向应力状态分析 x x xy yx xy yx y yxyn O C2 2 A1 1B1 2 222( , , ) )EG1 G2 D( y, yx)BD( x, xy)A AL向应力状态分析 x x xy yx xy yx y yxyn O C2 A1 1B1 2 222( , , ) )EG1 G2
6、D( y, yx)BD( x, xy)A AL向应力状态分析()asatassssajajja=-+=-+=+=+=2sin2cos222sin2sin2cos2cos22cosxyxyxCDCDOCCGOCCLLCOL目录目录 x x xy yx xy yx y yxyn O C2 2 A1 1B1 2 222( , , ) )GG1 G2 D( y, yx)BD( x, xy)A AL向应力状态分析、几种对应关系 点面对应点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着单元应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一方向面上的正应力和切应力；体某一方向面上的正应力和切应力； 转向对应转向对应半径旋转方向与斜
7、截面法线旋转方向半径旋转方向与斜截面法线旋转方向一致；一致；二倍角对应二倍角对应半径转过的角度是斜截面旋转角度半径转过的角度是斜截面旋转角度的两倍。的两倍。ADa(s sx ,t tx)d(s sy ,t ty)c向应力状态分析点点 面面 对对 应应caA向应力状态分析转向对应、二倍角对应转向对应、二倍角对应2 2ab向应力状态分析 某单元体应力如图所示，其铅垂方向和水平方向各平面上的应力已知，互相垂直的二斜面ab和bc的外法线分别与x轴成300和600角，试求此二斜面ab和bc上的应力。例例例例 题题题题 1 1在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其的和为一常数。向应力状态分析例例例例 题题
8、题题 2 2分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说明低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。低碳钢拉伸时，其上任意一点都是单向应力状态。低碳钢试样拉伸至屈服时沿低碳钢试样拉伸至屈服时沿45o 表面出现滑移线，是由最大切表面出现滑移线，是由最大切应力引起的。应力引起的。x向应力状态分析例例例例 题题题题 3 3 分析圆轴扭转时最大切应力的作用面，说明铸铁圆试样扭转破坏的主要原因。 铸铁圆试样扭转试验时，正是沿着最大拉应力作用面（即45o螺旋面）断开的。因此，可以认为这种脆性破坏是由最大拉应力引起的。向应力状态分析 图示一矩形截面简支梁图示一矩形截面简支梁图示一矩形截面简支梁图示一矩形截面简支梁, ,
9、, ,在跨中有集中力作用。已知在跨中有集中力作用。已知在跨中有集中力作用。已知在跨中有集中力作用。已知:P=100KN,L=2m,b=200mm,h=600mm,:P=100KN,L=2m,b=200mm,h=600mm,:P=100KN,L=2m,b=200mm,h=600mm,:P=100KN,L=2m,b=200mm,h=600mm, =40=40=40=400 0 0 0。求：离左支座。求：离左支座。求：离左支座。求：离左支座L/4L/4L/4L/4处截面上处截面上处截面上处截面上C C C C点在点在点在点在404040400 0 0 0斜截面上的应力。斜截面上的应力。斜截面上的应力
10、。斜截面上的应力。例题例题4:P PL/2L/2L/2L/2L/4L/4L/4L/4L/4L/4L/4L/4h/4h/4b bh h解：解：C C C C C C75向应力状态分析C C C C C C向应力状态分析8-2-3 平面应力状态下的最大应力，主应力平面应力状态下的最大应力，主应力 yyy向应力状态分析O C220A1 1B1 2 222( , , ) )EG1 G2 D( y, yx)BD( x, xy)A AF1111DACA向应力状态分析 圆A1、B1两点位于应力圆上同一直径的两端，即最大正最大正应力应力所在截面与最小正应力所在截面互相垂直，故，应力圆中各正应力极值所在截面的方
11、位可表示如下：向应力状态分析从应力圆中还可看出：应力圆上对应于G1G2两点，剪应力最大，由此可得到，最大、最小剪应力分别为：*从应力圆中可看出：它们所在截面也相垂直从应力圆中可看出：它们所在截面也相垂直目录目录O C220A1 1B1 2 222( , , ) )EG1 G2 D( y, yx)BD( x, xy)A AF向应力状态分析平面应力状态的几种特殊情况轴向拉伸压缩轴向拉伸压缩向应力状态分析平面应力状态的几种特殊情况扭扭 转转向应力状态分析弯 曲向应力状态分析例例例例 题题题题 1 1 已知矩形截面梁已知矩形截面梁, ,某截面上的剪力某截面上的剪力Q=120kNQ=120kN及弯矩及弯
12、矩M=10kNm.M=10kNm.绘出表示绘出表示1 1、2 2、3 3、4 4点应力状态的单元体，并求点应力状态的单元体，并求出各点的主应力。出各点的主应力。b=60mm,h=100mm.b=60mm,h=100mm.1、画各点应力状态图、画各点应力状态图2、计算各点主应力、计算各点主应力1点2点(处于纯剪状态处于纯剪状态)3点(一般平面状态一般平面状态)4点向应力状态分析例例例例 题题题题 2 2 自受力构件内取一单元体自受力构件内取一单元体, ,其上承受应力如图示其上承受应力如图示, , . .试求此点的主应力及主平面试求此点的主应力及主平面. .ad面面,db面是该点的主面是该点的主平面平面.向应力状态分析例例3：分别用解析法和图解法求图示单元体的分别用解析法和图解法求图示单元体的(1)指定斜截面上的正应力和剪应力指定斜截面上的正应力和剪应力;(2)主应力值及主方向，并画在单元体上；主应力值及主方向，并画在单元体上； (3)最大剪应力值。最大剪应力值。单位：单位：MPa向应力状态分析解：(一)使用解析法求解向应力状态分析向应力状态分析
