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1、第四章微分方程 积分问题积分问题 微分方程问题微分方程问题 推广 4.1 微分方程的基本概念 微分方程的基本概念微分方程的基本概念引例引例 几何问题几何问题物理问题物理问题案例案例1. 一曲线通过点一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处在该曲线上任意点处的的解解: 设所求曲线方程为设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式则有如下关系式:(C为任意常数为任意常数)由由 得得 C = 1,因此所求曲线方程为因此所求曲线方程为由由 得得切线斜率为切线斜率为 2x , 求该曲线的方程求该曲线的方程 . 一、一、 引出微分方程的两个实例引出微分方程的两个实例引例引例2. 列车在平直路
2、上以列车在平直路上以的速度行驶的速度行驶, 制动制动时时获得加速度获得加速度求制动后列车的运动规律求制动后列车的运动规律.解解: 设列车在制动后设列车在制动后 t 秒行驶了秒行驶了s 米米 ,知知由前一式两次积分由前一式两次积分, 可得可得利用后两式可得利用后两式可得因此所求运动规律为因此所求运动规律为说明说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住能停住 , 以及制动后行驶了多少路程以及制动后行驶了多少路程 . 即求即求 s = s (t) .常微分方程常微分方程偏微分方程偏微分方程定义定义1 含未知函数及其导数的方程叫做微分方程含未知函数及其导
3、数的方程叫做微分方程 .定义定义2 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶。微分方程的阶。(本章内容本章内容)二、微分方程的基本概念二、微分方程的基本概念分类分类例例1 1 如如 ( (一一阶) )( (一一阶) )( (二二阶) )( (一一阶) )引例引例2 2 使方程成为恒等式的函数.通解通解 解中所含独立的任意常数的个数与方程解中所含独立的任意常数的个数与方程 确定通解中任意常数的条件.n 阶方程的初始条件阶方程的初始条件(或初值条件或初值条件):的阶数相同的阶数相同. .特解特解引例引例1 1 通解通解: :特解特解: :定义定义3 3
4、微分方程的解微分方程的解 不含任意常数的解, 初始条件初始条件 其图形称为积分曲线其图形称为积分曲线. .例例1. 验证函数验证函数是微分方程是微分方程的解的解,的特解的特解 . 解解: : 这说明这说明是方程的解是方程的解 . 是两个独立的任意常数,利用初始条件易得利用初始条件易得: 故所求特解为故所求特解为故它是方程的通解故它是方程的通解.并求满足初始条件并求满足初始条件 一、可分离变量微分方程一、可分离变量微分方程 4.2 可分离变量的微分方程 与齐次微分方程一般形式一般形式 解法解法:（1 1分离变量分离变量分离变量分离变量（2 2两边积分两边积分两边积分两边积分得得 （其中（其中 分
5、分别是是 的一个原函数）的一个原函数）以上这种求解过程叫做分离变量法。以上这种求解过程叫做分离变量法。例例1. 求微分方程求微分方程的通解的通解.解解: 分离变量，得分离变量，得两边积分，得两边积分，得得得( C 为任意常数为任意常数 )故原方程的通解故原方程的通解为 注意：注意： 这说明微分方程的通解并不是微分方程的所有解。明微分方程的通解并不是微分方程的所有解。也是也是该微分方程的解，但不是通解。微分方程的解，但不是通解。例例2. 求微分方程求微分方程的通解的通解.解解: 分离变量得分离变量得两边积分两边积分得得即即( C 为任意常数为任意常数 )或说明说明: 在求解过程中在求解过程中每一
6、步不一定是同解每一步不一定是同解变形变形, 因此可能增、减解.( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )例例3. 解初值问题解初值问题解解: 分离变量得分离变量得两边积分得两边积分得即即由初始条件得由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数为任意常数 )故所求特解为故所求特解为练习练习:解解: 分离变量分离变量即即( C 0 )二、齐次微分方程二、齐次微分方程 一般形式一般形式 要解要解该方程，可作方程，可作变量代量代换： 即即 将将代入方程，得代入方程，得 分离分离变量，得量，得 两两边积分，得分，得 求出求出积分后，再用分后，再用代替代替u u，便得，便得齐次方程的解次方程的解 例例4
7、 4 求微分方程求微分方程 的通解。的通解。 令令 即即 将其代入方程，得将其代入方程，得 分离分离变量，得量，得 两两边积分，得分，得 代入，便得原方程的通解：代入，便得原方程的通解： 解：原方程可解：原方程可变形形为 它是它是齐次方程。次方程。 即即 将将 例例5 5 求方程求方程 的通解。的通解。 令令 即即将其代入方程，得将其代入方程，得 分离分离变量，得量，得 两两边积分，得分，得 解：原方程可解：原方程可变形形为 它是它是齐次方程。次方程。 即即 将将 代入得原方程的通解：代入得原方程的通解： 4.3 4.3 一阶线性微分方程一阶线性微分方程一般形式一般形式:假设假设 Q(x) 0
8、, 假设假设 Q(x) 0, 称为一阶线性非齐次方程称为一阶线性非齐次方程 .称为一阶线性齐次方程称为一阶线性齐次方程 ;如如 方程方程 都是一都是一阶线性微分方程，其中性微分方程，其中 (2) 是是齐次的，次的，(1) (3) 是非是非齐次的。次的。4.3 4.3 一阶线性微分方程一阶线性微分方程1. 解齐次方程解齐次方程解法：分离变量解法：分离变量两边积分得两边积分得故通解为故通解为下面来研究这类方程的解法：下面来研究这类方程的解法：该方程的本质是可分离变量的微分方程。该方程的本质是可分离变量的微分方程。齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解2. 解非齐次方程解非齐次方程用常
9、数变易法用常数变易法:那那么么故原方程的通解故原方程的通解即即即即作变换作变换求得求得 一阶线性方程解法：解法： 方法方法1 用常数变易法用常数变易法.方法方法2 用通解公式用通解公式 (1) (1)先求出对应的齐次线性方程的通解；先求出对应的齐次线性方程的通解； (2) (2)根据所求出的齐次方程的通解设出非齐次线性根据所求出的齐次方程的通解设出非齐次线性方程的解将齐次方程的通解中的任意常数方程的解将齐次方程的通解中的任意常数 设为设为待定函数待定函数 即可）即可）(3)(3)将所设解代入非齐次线性方程，求出将所设解代入非齐次线性方程，求出 ，即可写出非齐次线性方程的通解。即可写出非齐次线性
10、方程的通解。例例1 1求方程求方程 的通解。的通解。 分离分离变量，得量，得 两两边积分，得分，得 解法解法1 1 原方程可原方程可变为 即即 它是一阶线性非齐次方程它是一阶线性非齐次方程,它对应的齐次方程为它对应的齐次方程为 即即 所以所以齐次方程的通解次方程的通解为 .( C 为任意常数为任意常数 ) .则设 为非非齐次方程的解次方程的解,将其代入方程得将其代入方程得 于是于是 即 所以原方程的通解所以原方程的通解为 （ 为任意常数任意常数) .将其代入通解公式将其代入通解公式 解法解法2 2 原方程中原方程中例例2 2 求方程求方程 的通解。的通解。解：原方程可化解：原方程可化为以以 为
11、自自变量，量， 为因因变量的量的 一一阶线性非性非齐次微分方程次微分方程先求它先求它对应的的齐次方程次方程 的通解的通解为 再再设 为非非齐次方程的解，将其次方程的解，将其带入得入得 于是于是 那么那么 所以原方程的通解所以原方程的通解为 （C C 为任意常数为任意常数 ）例例3. 设河边点设河边点 O 的正对岸为点的正对岸为点 A , 河宽河宽 OA = h, 一鸭子从点一鸭子从点 A 游向点游向点为平行直线为平行直线,游动方向始终朝着点游动方向始终朝着点O ,提示提示: 如图所示建立坐标系如图所示建立坐标系. 设时刻设时刻t 鸭子位于点鸭子位于点P (x, y) ,设鸭子设鸭子(在静水中在
12、静水中)的游速大小为的游速大小为b求鸭子游动的轨迹方程求鸭子游动的轨迹方程 . O ,水流速度大小为水流速度大小为 a ,两岸两岸 那么那么则鸭子游速则鸭子游速 b 为为且鸭子且鸭子定解条件定解条件由此得微分方程由此得微分方程即即鸭子的实际运动速度为鸭子的实际运动速度为( 只要求出此初值问题即可只要求出此初值问题即可 )( 齐次方程齐次方程 )4.4 可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程一、一、 型方程型方程这种方程只须逐次积分这种方程只须逐次积分2次即可求得其通解次即可求得其通解.例例1 求求 的通解的通解.解解 逐次积分得逐次积分得这就是所求的通解这就是所求的通解二、不显含未知函数的方
13、程二、不显含未知函数的方程形如形如的方程的一个特点是不显含未知函数的方程的一个特点是不显含未知函数y.若作变换若作变换则原方程可化为一个关于变量则原方程可化为一个关于变量x,p的一阶微分方程的一阶微分方程若上式可解若上式可解,设通解为设通解为 ,则有则有积分便得通解积分便得通解解解 令令代入方程并分离变量得代入方程并分离变量得积分，得积分，得再积分再积分,得得所求特解为所求特解为三、不显含自变量的方程三、不显含自变量的方程形如形如的方程的一个特点是不显含自变量的方程的一个特点是不显含自变量x可设可设 ，把，把p当作新的未知函数，把当作新的未知函数，把y当作自变量当作自变量代入方程有代入方程有如
14、果此微分方程是可解的，设其通解为如果此微分方程是可解的，设其通解为分离变量后再积分，便得方程的通解分离变量后再积分，便得方程的通解解：此方程不显含自变量解：此方程不显含自变量x,令令 ，那么，那么代入原方程得代入原方程得例例3 求方程求方程 的通解。的通解。 得得与与由由 得得 得原方程的通解得原方程的通解为故由故由 得到的解得到的解包含包含 于之中。于之中。由由 得得分离分离变量并量并积分，分， 当取当取 时， 4.5 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程的一般形式二阶常系数线性微分方程的一般形式它对应的二阶线性齐次微分方程它对应的二阶线性齐次微分方程二阶常系数
15、线性二阶常系数线性非齐次微分方程非齐次微分方程定义定义1:是定义在区间是定义在区间 I 上的上的 n 个函数,使得使得则称这则称这 n个函数在个函数在 I 上线性相关上线性相关, 否则称为线性无关否则称为线性无关.例如，例如， 在在( , )上上都有都有故它们在任何区间故它们在任何区间 I 上都线性相关。上都线性相关。若存在不全为若存在不全为 0 的常数的常数4.5.1 二阶常系数线性微分方程解的性质二阶常系数线性微分方程解的性质两个函数在区间两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件上线性相关与线性无关的充要条件:线性相关线性相关存在不全为存在不全为 0 的的使使( 无妨设无妨设线性
16、无关线性无关常数常数考虑考虑:中有一个恒为中有一个恒为 0, 那那么么必线性必线性相关相关定理定理1二阶齐次线性微分方程解的叠加原理）二阶齐次线性微分方程解的叠加原理） 如果如果y1 , y2是二阶齐次线性微分方程是二阶齐次线性微分方程 的两个解的两个解,则它们的线性组合则它们的线性组合也是方程的解；也是方程的解； 且当且当 y1 , y2 线性无关时，线性无关时，为方程的通解，其中为方程的通解，其中C1,C2是任意常数是任意常数是二阶非齐次方程是二阶非齐次方程的一个特解的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解是相应齐次方程的通解,定理定理 2. （非齐次线性微分方程解的结构）（非齐次线
17、性微分方程解的结构） 那那么么是非齐次方程的通解是非齐次方程的通解 .证证: 将将代入方程代入方程左端左端, 得得一、二阶常系数齐次线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程其中其中p，q是常数是常数考虑二阶常系数齐次线性方程考虑二阶常系数齐次线性方程由于指数函数求导后仍为指数函数由于指数函数求导后仍为指数函数,利用这个性质，利用这个性质，假设二阶常系数齐次方程具有形如假设二阶常系数齐次方程具有形如 的解的解,将将 代入方程使得代入方程使得 4.5.2 二阶常系数齐次线性微分方程的解法二阶常系数齐次线性微分方程的解法 由于由于 成立当且仅当成立当且仅当从而从而 是是 的解的充要条件的解的充要条
18、件为为r是代数方程是代数方程 的根的根 方程方程 称为称为 的特征方程，其根称为的特征方程，其根称为 的特征根的特征根分三种情形来考虑分三种情形来考虑:(1)如果特征方程如果特征方程 有两个相异实根有两个相异实根r1与与r2, 根据定理根据定理1，此时方程，此时方程 的通解为的通解为这时可得方程的两个线性无关的解这时可得方程的两个线性无关的解(2)如果特征方程如果特征方程 有重根，有重根，这时可得到方程的一个解，这时可得到方程的一个解，可以再求一个与之线性无关的解可以再求一个与之线性无关的解,因此方程因此方程 的通解为的通解为(3)如果特征方程如果特征方程 有共轭复根有共轭复根 则方程有两个线
19、性无关的解则方程有两个线性无关的解为了得到实值解为了得到实值解,利用欧拉利用欧拉(Euler)公式公式将将y1与与y2 分别写成分别写成由齐次线性微分方程解的叠加原理知由齐次线性微分方程解的叠加原理知也是方程也是方程 的解的解,显然它们是线性无关的显然它们是线性无关的.于是方程的通解为于是方程的通解为实根实根 特特 征征 根根通通 解解 由上述讨论，求方程由上述讨论，求方程 的通解的步骤为：的通解的步骤为： (1)写出微分方程的特征方程写出微分方程的特征方程 (2)求出特征根求出特征根 ， (3)根据特征根的情况按下表写出所给微分方程根据特征根的情况按下表写出所给微分方程的通解。的通解。 以上
20、求解的方法称为特征方程法以上求解的方法称为特征方程法.例例1 试求方程试求方程 的通解的通解.解解 特征方程特征方程 具有两个不同的实根具有两个不同的实根因而因而, 和和 构成原方程的基本解组构成原方程的基本解组.原方程的通解为原方程的通解为例例2 求微分方程求微分方程 的通解的通解它具有共轭复根它具有共轭复根解解 特征方程为特征方程为因此所求方程的通解为因此所求方程的通解为例例3 求微分方程求微分方程 特征根为特征根为解解 原方程的特征方程为原方程的特征方程为则所求方程的通解为则所求方程的通解为满足初始条件足初始条件的特解的特解. 由 得又因又因为 从而从而 故所求方程的特解故所求方程的特解
21、为 由 得4.5.3 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程由定理已知二阶常系数非齐次线性方程由定理已知二阶常系数非齐次线性方程(其中其中p,q是常数是常数,f(x)是已知的连续是已知的连续)的通解是它的一的通解是它的一个特解与它所对应的齐次线性方程个特解与它所对应的齐次线性方程的通解之和的通解之和而方程而方程 的通解问题在上面已经完全解的通解问题在上面已经完全解决了决了.因而因而,求方程求方程 的通解关键是求的通解关键是求出它的一个特解出它的一个特解y*.本本书只只讨论 的情形，的情形，这里里 是常数是常数, 是是m次多次多项式。式。这时方程方程具有形如具有形如的特解，其中
22、的特解，其中 是与是与同次的特定多同次的特定多项式，式，是特征方程的重根依次取是特征方程的重根依次取0,10,1或或2. 2. 这种求通解的方法称种求通解的方法称为“特定系数法特定系数法”而而k k按按 不是特征方程的根不是特征方程的根, ,是特征方程的是特征方程的单根或者根或者例例4 试求方程试求方程 的通解的通解.解：（解：（1求方程求方程 的通解；的通解；因因为它的特征方程它的特征方程的根的根为 故所求故所求齐次方程的通解次方程的通解为因因为(2)求非求非齐次方程的一个特解次方程的一个特解y*：而而2不是特征方程的根，从而可不是特征方程的根，从而可设代入原方程并比代入原方程并比较同次同次幂的系数可得的系数可得即即解得解得 故故 (3)原方程的通解原方程的通解为 例例5 试求方程试求方程 的通解的通解.解：（解：（1求方程求方程 的通解；的通解；因因为它的特征方程它的特征方程的根的根为 故所求故所求齐次方程的通解次方程的通解为因因为(2)求非求非齐次方程的一个特解次方程的一个特解y*：而而2不是特征方程的根，从而可不是特征方程的根，从而可设代入原方程并比代入原方程并比较同次同次幂的系数可得的系数可得即即解得解得 故故 (3)原方程的通解原方程的通解为
