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1、第3课时 圆的方程1圆的定义圆的定义(1)在平面内，到在平面内，到定点定点的距离等于的距离等于 的的点的集合叫做圆点的集合叫做圆(2)确定一个圆的要素是确定一个圆的要素是 和和 基础知识梳理定长定长半径半径圆心圆心2圆的方程基础知识梳理圆的标准方程圆的标准方程圆的一般方程圆的一般方程方程方程圆心坐圆心坐标标(a，b)半径半径r(xa)2(yb)2r2(r0)x2y2DxEyF0方程x2y2DxEyF0表示圆的充要条件是什么？【思考提示】充要条件是D2E24F0.基础知识梳理1方程a2x2(a2)y22axa0表示圆，则()Aa1Ba2Ca1或2 Da1答案：A三基能力强化2(2009年高考重庆
2、卷改编)圆心在x轴上，半径为1，且过点(2,1)的圆的方程是()Ay2(x2)21 Bx2(y2)21C(x1)2(y3)21 Dx2(y3)21答案：A三基能力强化Ax2y22x4y0Bx2y22x4y0Cx2y22x4y0 Dx2y22x4y0答案：C三基能力强化4(教材习题改编)以直线3x4y120夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程是_答案：x2y24x3y0三基能力强化5若圆x2y2(a21)x2aya0关于直线xy10对称，则实数a_.答案：3三基能力强化在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点：(1)确定圆的方程首先明确是标准方程还是一般方程(2)根据几何关系(如题中的相切、
3、弦长等)建立方程求得a、b、r或D、E、F.(3)待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数课堂互动讲练考点一考点一求圆的方程求圆的方程课堂互动讲练例例例例1 1根据下列条件求圆的方程(1)经过坐标原点和点P(1,1)，并且圆心在直线2x3y10上；(2)已知一圆过P(4，2)、Q(1,3)两点，【思路点拨】设出圆的标准方程或一般方程，利用待定系数法求解，关键是用好所给三个独立条件课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练所以(y1y2)2(y1y2)24y1y2E24F48, 解、组成的方程组，得D2，E0，F12或D10，E8，F4，故所求圆的方程为x2y22x120或x2y210x8y40
4、.课堂互动讲练【名师点评】一般地，已知圆心或半径的条件，选用圆的标准式方程，否则选用一般式方程另外，还有几何法可以用来求圆的方程要充分利用圆的有关几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”“半径、弦心距、弦长的一半构成勾股关系”等课堂互动讲练求轨迹方程的大致步骤：(1)建立平面直角坐标系，设出动点坐标；(2)确定动点满足的几何等式，并用坐标表示；(3)化简得方程，一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，如有特殊情况，可适当予以说明，即删去增加的解或补上失去的解课堂互动讲练考点二考点二与圆有关的轨迹问题与圆有关的轨迹问题课堂互动讲练例例例例2 2设定点M(3,4)，动点N在圆x2y24上运
5、动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹【思路点拨思路点拨】先设出先设出P点、点、N点点坐标，根据平行四边形对角线互相平坐标，根据平行四边形对角线互相平分，用分，用P点坐标表示点坐标表示N点坐标，代入圆点坐标，代入圆的方程可求的方程可求课堂互动讲练课堂互动讲练【规律小结】解决轨迹问题，应注意以下几点：(1)求方程前必须建立平面直角坐标系(若题目中有点的坐标，就无需建系)，否则曲线就不可转化为方程(2)一般地，设点时，将动点坐标设为(x，y)，其他与此相关的点设为(x0，y0)等(3)求轨迹与求轨迹方程是不同的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指出方程的曲线是什么
6、图形课堂互动讲练求与圆有关的最值问题多采用几何法，就是利用一些代数式的几何意义进行转课堂互动讲练考点三考点三与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题为动直线斜率的最值问题；为动直线斜率的最值问题；(2)形如形如taxby的最值问题，可转化为直线在的最值问题，可转化为直线在y轴上的截距的最值问题；轴上的截距的最值问题；(3)形如形如m(xa)2(yb)2的最值问题，可转化的最值问题，可转化为两点间的距离平方的最值问题为两点间的距离平方的最值问题课堂互动讲练课堂互动讲练例例例例3 3已知实数x、y满足方程x2y24x10.(2)求yx的最大值和最小值；(3)求x2y2的最大值和最小值【思路点拨】课堂互
7、动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练(3)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练互动探究互动探究课堂互动讲练课堂互动讲练(2)x2y可看作是直线x2yb在x轴上的截距，当直线与圆相切时，b取得最大值或最小值课堂互动讲练在解决有关的实际问题时，关键要明确题意，掌握建立数学基本模型的方法，将实际问题转化为数学问题解决课堂互动讲练考点四考点四与圆有关的实际应用与圆有关的实际应用课堂互动讲练例例例例4 4(解题示范)(本题满分12分)有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同，某地居民从
8、两地之一购得商品后运回的费用是：A地每公里的运费是B地每公里运费的3倍已知A、B两地距离为10公里，顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较课堂互动讲练低求低求P地居民选择地居民选择A地或地或B地购物总地购物总费用相等时，点费用相等时，点P所在曲线的形状，所在曲线的形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点？民应如何选择购物地点？【思路点拨思路点拨】根据条件，建立根据条件，建立适当坐标系，求出点适当坐标系，求出点P的轨迹方程，的轨迹方程，进而解决相关问题进而解决相关问题课堂互动讲练【解】如图，以A、B所在的直线为x轴，线段
9、AB的中点为原点建立直角坐标系，|AB|10，A(5,0)，B(5,0).2分设P(x，y)，P到A、B两地购物的运费分别是3a、a(元/公里)当由P地到A、B两地购物总费用相等时，课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练【名师点评】在解决实际问题时，关键要明确题意，掌握建立数学基本模型的方法将实际问题转化为数学问题解决课堂互动讲练(本题满分12分)设有一个半径为3 km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，A向东而B向北前进，A出村后不久，改变前进方向，沿着切于村落边界的方向前进，后来恰好与B相遇设A、B两人的速度都一定，其比为31，问两人在何处相遇？课堂互动讲练高考检阅高考检阅解：以村落中
10、心为原点，A、B开始前进方向为x轴、y轴建立直角坐标系设A、B两人速度分别为3v km/h，v km/h.设A出发x0小时后，在点P处改变前进方向，又经y0小时在点Q处与B相遇，则P、Q两点的坐标分别是(3vx0,0)，(0，v(x0y0). 4分课堂互动讲练如图，|OP|2|OQ|2|PQ|2，(3vx0)2v(x0y0)2(3vy0)2.化简得(x0y0)(5x04y0)0. 6分又x0y00，5x04y0.课堂互动讲练课堂互动讲练1确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心(a，b)和半径r，一般步骤为：规律方法总结(1)根据题意，设所求的圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2；(2)根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；(3)解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去就得到所求圆的方程规律方法总结2形如Ax2BxyCy2DxEyF0的方程表示圆的充要条件(1)x2和y2项的系数相同，且不等于0，即AC0；(2)没有xy项，即B0；规律方法总结随堂即时巩固点击进入点击进入课时活页训练点击进入点击进入
